05解答题-四川省泸州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编

这是一份05解答题-四川省泸州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编，共40页。试卷主要包含了两点，直线x＝3与x轴交于点C，三点，，其对称轴为直线x＝2等内容，欢迎下载使用。
05解答题-四川省泸州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
九．二次函数综合题（共5小题）
21．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

23．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．

24．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

25．（2018•泸州）如图，已知二次函数y＝ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

一十．全等三角形的判定与性质（共4小题）
26．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

27．（2020•泸州）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．

28．（2019•泸州）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．

29．（2018•泸州）如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：∠F＝∠C．

一十一．平行四边形的性质（共1小题）
30．（2022•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．

一十二．切线的性质（共2小题）
31．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

32．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

一十三．圆的综合题（共1小题）
33．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．

一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
34．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．

35．（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．

一十五．解直角三角形的应用（共1小题）
36．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
37．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．

一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
38．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

39．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

40．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

一十八．条形统计图（共1小题）
41．（2021•泸州）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．

一十九．列表法与树状图法（共4小题）
42．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝　 　，a＝　 　；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

43．（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行驶路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
44．（2019•泸州）某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．
根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）该市5月1日至8日中午时气温的平均数是　 　℃，中位数是　 　℃；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．
45．（2018•泸州）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．

参考答案与试题解析
九．二次函数综合题（共5小题）
21．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
22．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
（一）当A与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
∵在Rt△AOC中，G是AC中点，
∴OG＝AG，
∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，
∴∠DEC＝∠GOA，
（二）当O与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
∵OG＝AG，
∴＝与＝答案相同，同理＝与或＝答案相同，
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．
23．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；

（2）①如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴＝＝，
∴BF＝×OB＝×4＝，
∴OF＝BF﹣OB＝﹣4＝，
将x＝﹣代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（﹣）+4＝，
∴E（﹣，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；

②Ⅰ、当点R在直线l右侧时，
∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q（1，1），
如图2，设点P（x，﹣x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ＝﹣x2+x+4﹣1＝﹣x2+x+3，
∵PG⊥l，
∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH（AAS），
∴RH＝GQ＝﹣x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R（﹣x2+x+4，2﹣x）
由①知，直线BD的解析式为y＝﹣x+2，
∴﹣（﹣x2+x+4）+2＝2﹣x，
∴x＝2或x＝﹣4（舍），
当x＝2时，y＝﹣x2+x+4＝﹣×4+2+4＝4，
∴P（2，4），
Ⅱ、当点R在直线l左侧时，记作R'，
设点P'（x，﹣x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P'作P'G'⊥l于G'，过点R'作R'H'⊥l于H，
∴P'G'＝x﹣1，G'Q＝﹣x2+x+4﹣1＝﹣x2+x+3，
同Ⅰ的方法得，△P'QG'≌△QR'H'（AAS），
∴R'H'＝G'Q＝﹣x2+x+3，QH'＝P'G'＝x﹣1，
∴R'（x2﹣x﹣2，x），
由①知，直线BD的解析式为y＝﹣x+2，
∴﹣（x2﹣x﹣2）+2＝x，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣（舍），
当x＝﹣1+时，y＝﹣x2+x+4＝2﹣4，
∴P'（﹣1+，2﹣4），
即满足条件的点P的坐标为（2，4）或（﹣1+，2﹣4）．


24．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

【解答】解：（1）由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，
同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；
（2）联立，解得：x＝﹣，
直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），
S△AOC＝＝6，
由题意得：×＝3，
解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），
∴m＝﹣2；
（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，
①当△DEB∽△AOC时，则，
如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，

则Rt△BEG∽Rt△EDF，
则，则BG＝3EF，
设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，
则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，
∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，
解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），
则点E（4，﹣6）；
②当△BED∽△AOC时，，
过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，

则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，
设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，
则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；
故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．
25．（2018•泸州）如图，已知二次函数y＝ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得
0＝a•42﹣（2a﹣）×4+3
解得
a＝﹣
∴函数解析式为：y＝
设直线AB解析式为y＝kx+b
把A（4，0），B（0，3）代入

解得
∴直线AB解析式为：y＝﹣
（2）由已知，
点D坐标为（m，﹣）
点E坐标为（m，﹣）
∴AC＝4﹣m
DE＝（﹣）﹣（﹣）＝﹣
∵EC∥y轴
∴
∴AE＝
∵∠DFA＝∠DCA＝90°，∠FBD＝∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1＝4S2
∴AE＝2DE
∴
解得m1＝，m2＝4（舍去）
故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M，设点G的横坐标为n，

由（2）DE＝﹣
同理HG＝﹣
∵四边形DEGH是平行四边形
∴﹣＝﹣
整理得：（n﹣m）[]＝0
∵m≠n
∴m+n＝4，即n＝4﹣m
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG＝
∴▱DEGH周长L＝2[﹣+]＝﹣
∵a＝﹣＜0
∴m＝﹣时，L最大．
∴n＝4﹣＝
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）．
一十．全等三角形的判定与性质（共4小题）
26．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

【解答】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
27．（2020•泸州）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．

【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
28．（2019•泸州）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．

【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC．
29．（2018•泸州）如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：∠F＝∠C．

【解答】证明：∵DA＝BE，
∴DE＝AB，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠C＝∠F．
一十一．平行四边形的性质（共1小题）
30．（2022•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
一十二．切线的性质（共2小题）
31．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA+∠ACF＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴＝，
∵AF＝2，CF＝4，
∴，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．
32．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴＝，
∴AC＝9，
∴AB＝＝3，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝，EH＝2，
如图，连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝，
∴EF＝﹣2．

一十三．圆的综合题（共1小题）
33．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．

【解答】（1）证明：连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴AB∥DF；

（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝，AC＝2，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，
∵DF∥AB，
∴∠COH＝∠F，
∵∠CHO＝∠ODF＝90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．

一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
34．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB•PA，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，
∴PA＝＝＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．


35．（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．

【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，EF＝FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD＝∠OCP＝90°，
∵∠FOD＝∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴＝，∵OD＝OC，
∴OC2＝OF•OP．

（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．

在Rt△POC中，∵PC2+OC2＝PO2，
∴（4）2+r2＝（r+4）2，
∴r＝2，
∵CM＝＝，
∵DC是直径，
∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF＝CM＝，
在Rt△OEF中，OF＝＝，
∴EC＝2OF＝，
∵EC∥OB，
∴＝＝，
∵GH∥CM，
∴＝＝，
∴GH＝．
一十五．解直角三角形的应用（共1小题）
36．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝，
∴BM＝＝CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝＝＝10（米），
∴CD＝MN＝MB+BN＝×30+10＝40+10（米），
答：C，D两点间的距离为（40+10）米．

一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
37．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．

【解答】解：由题意知：BC＝6AD，AE+BE＝AB＝90m
在Rt△ADE中，tan30°＝，sin30°＝
∴AE＝＝AD，DE＝2AD；
在Rt△BCE中，tan60°＝，sin60°＝，
∴BE＝＝2AD，CE＝＝4AD；
∵AE+BE＝AB＝90m
∴AD+2AD＝90
∴AD＝10（m）
∴DE＝20m，CE＝120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，
∴∠DEC＝90°
∴CD＝＝＝20（m）
答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．

一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
38．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．

39．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
40．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，
在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，
∴DE＝20×sin45°＝20，
在Rt△BED中，BD＝20，
∴sin∠ABD＝＝＝；
（2）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，
∴BE＝＝40，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，
∴CF＝BC﹣BF＝30，
在Rt△CDF中，CD＝＝50，
∴小岛C，D之间的距离为50nmile．

一十八．条形统计图（共1小题）
41．（2021•泸州）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是　14万元　，中位数是　14.5万元　；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．

【解答】解：（1）由题目中的数据可得，
销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，
补全的条形统计图如右图所示；

（2）由条形统计图可得，
样本数据的众数是14万元，中位数是（14+15）÷2＝14.5（万元），
故答案为：14万元，14.5万元；
（3）＝14.65（万元），
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是14.65万元．
一十九．列表法与树状图法（共4小题）
42．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝　80　，a＝　20　；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

【解答】解：（1）m＝12÷15%＝80，
a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20；
故答案为：80；20；
（2）640×＝160（人），
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
43．（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行驶路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：

（2）600×＝150（辆），
即估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行驶路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行驶路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为＝．
44．（2019•泸州）某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．
根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）该市5月1日至8日中午时气温的平均数是　21　℃，中位数是　21.5　℃；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．
【解答】解：（1）5月1日至8日中午时气温的平均数：（19+16+22+17+21+22+25+26）÷8＝21℃
将8天的温度按低到高排列：16，17，19，21，22，22，25，26，因此中位数为＝21.5℃，
故答案为21，21.5；
（2）因为低于20℃的天数有3天，则扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°，
答：扇形统计图中扇形A的圆心角的度数135°；
（3）设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A1，A2，A3，A4，A5，
则抽到2天中午12时的气温，共有（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1A5），（A2A3），（A2A4），（A2A5），（A3A4），（A3A5），（A4A5）共10种不同取法，
其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有（A1A2），（A1A4），（A2A4）3种不同取法，
因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为．
45．（2018•泸州）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．

【解答】解：（1）n＝5÷10%＝50；
（2）样本中喜爱看电视的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人），
1200×＝240，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率＝＝．