2022年江苏省盐城市亭湖区、盐都区、阜宁县、大丰区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年江苏省盐城市亭湖区、盐都区、阜宁县、大丰区中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年江苏省盐城市亭湖区、盐都区、阜宁县、大丰区中考数学二模试卷

题号
一
二
三
四
总分
得分






一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 实数−2022是2022的(    )
A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 以上都不正确
2. “疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是(    )
A. 2a2+3a2=5a4 B. (−2ab)3=−6ab3
C. (3a+b)(3a−b)=9a2−b2 D. a3⋅(−2a)=−2a3
4. “柳条初弄绿，已觉春风驻”.每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为(    )
A. −1.05×103 B. 1.05×10−3 C. 1.05×10−4 D. 105×10−5
5. 如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面观察该图形，得到的平面图形是(    )
A.
B.
C.
D.
6. 甲、乙、丙、丁四人各进行了6次跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则跳远成绩最稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. “劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为(    )
A. 400(1+2x)=484 B. 400(1+x)2=484
C. 400(1+x)=484 D. 400(1+x2)=484
8. 一天早上，小万沿花园匀速按顺时针方向散步，已知小万从花园的点A处开始散步，将小万看作动点B，花园的中心为O.设在散步过程中，小万，点O，点A所形成的夹角(∠AOB)的度数为y°(此处y≤180)，y随时间x变化的图象如图，则花园的形状可能是(    )
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 分解因式：x2−4y2=______．
11. 关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0没有实数根，则k的取值范围是______．
12. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB=______．

13. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．小贤从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中黑球的个数最有可能是______．

14. 如图，在扇形AOB中，点C在线段OB上，连接AC，将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在AB上，若OA=2，则图中阴影部分的面积为______．



15. 为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引人阳光体育一小时活动．下面左图是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成右图的数学问题：已AB//CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°.则∠E的度数是______．

16. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P为矩形ABCD内一点，满足∠APB=90°，连接C、P两点，并延长CP交直线AB于点E.若点P是线段CE的中点，则BE=______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）
17. 计算：38+|−6|−22．

四、解答题（本大题共10小题，共96分）
18. 化简(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1．
19. 如图，AD是△ABC的中线，tanB=13，cosC=22，AC=2.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
20. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)．
(1)小红的爸爸被分到B组的概率是______；
(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)
21. 已知A(−4,m+10)、B(n,−4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx图象的交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．

22. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A=50°，则当∠ADE=______°时，四边形BECD是菱形．
23. 甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：(单位：年)
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下面问题：
(1)填空：

平均数
众数
中位数
甲厂
______
______
6
乙厂
9.6
______
8.5
丙厂
9.4
4
______
(2)这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？
(3)你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？
24. 某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；
(2)若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是200元、100元．该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具(两种均买)，请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
(1)∠ACB=______°，理由是：______；
(2)猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
(3)若AB=8，AD=6，求BD．



26. 若二次函数y=ax2+bx+a+2的图象经过点A(1,0)，其中a、b为常数．
(1)用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；
(2)点B(−12,1)、C(2,1)为坐标平面内的两点，连接B、C两点．
①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；
②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．

27. 以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题1～4．
试题分析
(Ⅰ)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC外一点，且AD=AC.求∠BDC的度数．
小明：我发现试题中有三个等腰三角形，设∠ADB=α，易知∠CAD=90°−2α，又因为AD=AC，得∠ADC=45°+α，即可算出∠BDC的度数．
小丽：我发现AB=AC=AD.则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上……
猜想证明
(Ⅱ)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、A在BC同侧．
猜想：若∠BDC=______°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上．
对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：
以点A为圆心，AB长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点D可能在⊙A内，或点D在⊙A上，或点D在⊙A外．故只要证明点D不在⊙A内，也不在⊙A外，就可以确定点D一定在⊙A上．
(Ⅲ)进一步猜想：
如图2，在△ABC中，∠BAC=β，AB=AC，点D、A在BC同侧．若∠BDC=______°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上．
(Ⅳ)对(Ⅲ)中的猜想进行证明．
问题1.完成(Ⅰ)中的求解过程；
问题2.补全猜想证明中的两个猜想：(Ⅱ) ______；(Ⅲ) ______；
问题3.证明上面(Ⅲ)中的猜想；
问题4.如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，∠BOC=90°，点A处为投影机，投影角∠BAC=45°，折线B−O−C为影像接收区．若影像接收区最大时(即OB+OC最大)，投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时OB的长______．
答案和解析

1.【答案】B
【解析】解：−2022和2022互为相反数，
故选：B．
根据绝对值，相反数，倒数的定义判断即可．
本题考查了实数的性质，绝对值，相反数，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．

2.【答案】A
【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：A．
结合轴对称图形的概念进行求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘以单项式，熟练掌握 公式及法则是解本题的关键．
各项利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，以及单项式乘以单项式法则判断即可．
【解答】
解： A 、原式 =5a2 ，不符合题意；
B 、原式 =−8a3b3 ，不符合题意；
C 、原式 =9a2−b2 ，符合题意；
D 、原式 =−2a4 ，不符合题意，
故选 C ．   
4.【答案】B
【解析】解：0.00105=1.05×10−3．
故选：B．
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5.【答案】D
【解析】解：从正面看有2层，第一层是三个小正方形，第二层在左边有两个正方形，故D符合题意，
故选：D．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

6.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
∴S丁2 ∴跳远成绩最稳定的是丁，
故选：D．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

7.【答案】B
【解析】解：第一年的产量为400(1+x)，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400(1+x)(1+x)，
则列出的方程是400(1+x)2=484．
故选：B．
可先用x的代数式表示出第一年的产量，那么第二年的产量×(1+增长率)=484，把相应数值代入即可求解．
考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b是解决问题的关键．

8.【答案】A
【解析】解：∵小万，点O，点A所形成的夹角(∠AOB)的度数为y°，观察图象得出：y与时间x的函数关系为一次函数，
根据弧长公式：l=nπr180，可得：n=180πrl，设小万散步速度为v，
前一半路程中y与x的表达式为y=180πrl=180vπrx，
后一半路程中y与x的表达式为y=180−180vπrx，
∴花园的形状为圆形，
故选：A．
根据图象判断y与x的函数关系，再结合扇形的弧长公式即可得出答案．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

9.【答案】x≠2
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．直接利用分式的定义进而分析得出答案．
【解答】
解： ∵ 代数式 xx−2 有意义，
∴ 实数 x 的取值范围是： x−2≠0 ，即 x≠2 ．
故答案为： x≠2 ．   
10.【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
故答案为：(x+2y)(x−2y)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

11.【答案】k<−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0没有实数根，
∴Δ=22−4×k×(−1)<0，k≠0，
解得：k<−1．
故答案为：k<−1．
由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．

12.【答案】105°
【解析】解：如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°，
∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°−∠CDA−∠A=80°，
∴∠ACB=∠CDB+∠ACD=25°+80°=105°．
故答案为：105°．
根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即可．
本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．

13.【答案】20个
【解析】解：由统计图知，随着摸球次数的逐渐增大，黑球的频率逐渐稳定于0.5，
所以估计从袋子中随机摸一个球，是黑球的概率约为0.5，
则袋中黑球的个数约为40×0.5=20(个)，
故答案为：20个．
由统计图知，随着摸球次数的逐渐增大，黑球的频率逐渐稳定于0.5，据此得估计从袋子中随机摸一个球，是黑球的概率约为0.5，再乘以球的总个数即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

14.【答案】2π3−3
【解析】解：连接OD，交AC于E，

∵将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在AB上，OA=2，
∴AC垂直平分OD，AD=OA=2=OD，
∴OE=DE=1，△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
由勾股定理得：AE=OA2−OE2=22−12=3，
∴阴影部分的面积S=S扇形AOD−S△AOD
=60π×22360−12×2×3
=2π3−3，
故答案为：2π3−3．
连接OD，交AC于E，根据翻折变换得出AD=AO=2=OD，求出△AOD是等边三角形，求出AE的长，根据图形得出阴影部分的面积=扇形AOD的面积−三角形AOD的面积，再求出扇形AOD和三角形AOD的面积即可．
本题考查了扇形的面积计算，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，翻折变换等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．

15.【答案】30°
【解析】解：如图所示：延长DC交AE于点F，
∵AB//CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠EAB=∠EFC=80°，
∴∠E=110°−80°=30°．
故答案为：30°．
直接利用平行线的性质得出∠EAB=∠EFC=80°，进而利用三角形的外角得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，作出正确辅助线是解题关键．

16.【答案】8−27
【解析】解：根据题意作出图形如下，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CBE=90°，
∵点P是CE的中点，
∴PB=PC=PE，
∴∠BCE=∠PBC，
∴∠CPB+∠ABP=∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBC=∠ECB，
∵∠APB=∠CBE=90°，
∴△APB∽△CBE，
∴BPBE=ABCE，
设BE=x，PB=PE=PC=y，
∴yx=8x2+62，即y2x2=64x2+36，
∴y2=64x2x2+36，
∵CE2=BE2+BC2，即4y2=x2+36，
∴256x2x2+36=x2+36，
∴(x2+36)2=256x2，
∴x2+36=16x，
解得x=8+27>8(舍)或x=8−27．
故答案为：8−27．
设BE=x，PB=PE=PC=y，证明△APB∽△CBE，由比例线段得出y与x的关系式，再由勾股定理得x、y的另一个关系式，综合两个关系式求得x的值便可．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键在于应用相似三角形解决问题．

17.【答案】解：原式=2+6−4
=4．
【解析】根据立方根的定义，绝对值的代数意义，有理数的乘方计算即可．
本题考查了立方根的定义，绝对值，考核学生的计算能力，属于简单题，算对38的值是解题的关键．

18.【答案】解：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1
=x−2x−1÷(x−2)2(x+1)(x−1)   
=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2 
=x+1x−2．
【解析】首先计算括号内的分式，把第二个分式的分子和分母分解因式，然后把除法转化为乘法计算即可．
本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

19.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC=22，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC⋅cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB=13，即AEBE=13，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4；
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴CD=12BC=2，
∴DE=CD−CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC=22．
【解析】(1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=22，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=13，求出BE的长即可；
(2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．

20.【答案】13
【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为13；
故答案为13；
(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P(他与小红爸爸在同一组)=39=13．
(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，即可求出概率．
(2)用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．

21.【答案】解：(1)把A(−4,m+10)代入y=mx，
得m=(m+10)×(−4)，
解得m=−8，
∴A(−4,2)，
∴m=−4×2=−8，
所以反比例函数解析式为y=−8x，
把B(n,−4)代入y=−8x，得−4n=−8，
解得n=2，
把A(−4,2)和B(2,−4)代入y=kx+b，得−4k+b=22k+b=−4，
解得k=−1b=−2，
所以一次函数的解析式为y=−x−2；

(2)y=−x−2中，令y=0，则x=−2，
即直线y=−x−2与x轴交于点C(−2,0)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6；
【解析】(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n的值，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)先求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．

22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//DC，AB=CD，
∴∠OEB=∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中，
∠OEB=∠ODC∠BOE=∠CODBO=CO，
∴△BOE≌△COD(AAS)；
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
(2)90
【解析】解：(1)见答案
(2)当∠ADE=90°时，四边形BECD是菱形，理由如下：
∵∠A=50°，∠ADE=90°，
∴∠AED=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CBE=∠A=50°，
∴∠BOE=90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形，
故答案为：90．
(1)由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；
(2)先根据三角形的内角和定理得到∠AED=40°，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠A=50°，求得∠BOE=90°，然后根据菱形的判定定理即可得到结论．
此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

23.【答案】8；5；8；8
【解析】解：(1)甲厂：平均数为110(4+5+5+5+5+7+9+12+13+15)=8，众数为8；
乙厂：众数为8，中位数为8.5；
丙厂：中位数为8；
故答案是：

平均数
众数
中位数
甲厂
8
5
6
乙厂
9.6
8
8.5
丙厂
9.4
4
8
(2)甲家的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数；
乙家的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数；
丙家的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数．

(3)平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品．
(1)平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数，众数就是一堆数中出现次数最多的数，中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数；
(2)一组数据的平均数、众数、中位数从不同角度表示这种数据集中趋势．
由(1)的结果容易回答(2)，甲厂、乙厂、丙厂，分别利用了平均数、众数、中位数进行广告推销，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据．
(3)根据平均数大的进行选择．
本题是平均数、众数、中位数在实际生活中的应用，选取以哪个数据为主要结合它们的定义来考虑．

24.【答案】解：(1)设“冰墩墩”玩具每只进价x元，“雪容融”玩具每只进价y元，
由题意得：8x+10y=200010x+20y=3100，
解得：x=150y=80，
答：“冰墩墩”玩具每只进价150元，“雪容融”玩具每只进价80元；
(2)设购进“冰墩墩”玩具m只，购进“雪容融”玩具n只，
由题意得：150m+80n=3500，
整理得：15m+8n=350，
∵m、n为正整数，
∴m=2n=40或m=10n=25或m=18n=10，
∴专卖店共有3种采购方案，
当m=2，n=40时，利润为：2×(200−150)+40×(100−80)=900(元)；
当m=10，n=25时，利润为：10×(200−150)+25×(100−80)=1000(元)；
当m=18，n=10时，利润为：18×(200−150)+10×(100−80)=1100(元)；
∵900<1000<1100，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”玩具18只，购进“雪容融”玩具10只，最大利润为1100元．
【解析】(1)设“冰墩墩”玩具每只进价x元，“雪容融”玩具每只进价y元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购进“冰墩墩”玩具m只，购进“雪容融”玩具n只，由题意：该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具(两种均买)，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．

25.【答案】(1)90；直径所对的圆周角是直角；
(2)△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．

(3)解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴AEAB=DCBC=68=34
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：(3x+6)2+(4x)2=82，
解得：x=−2(舍去)或x=1425
∴BD=5x=145
【解析】解：(1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)

(2)△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．

(3)解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴AEAB=DCBC=68=34
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：(3x+6)2+(4x)2=82，
解得：x=−2(舍去)或x=1425
∴BD=5x=145
(1)根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；
(2)根据∠ABC的平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．
(3)证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到(3x+6)2+(4x)2=82解得x后即可求得BD的长．
本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上．

26.【答案】解：(1)∵y=ax2+bx+a+2的图象经过点A(1,0)，
即当x=1时，y=a+b+a+2=0，
∴b=−2−2a，
∴y=ax2−(2a+2)x+a+2，
∴对称轴x=−−(2a+2)2a=a+1a=1+1a，
∴抛物线顶点的横坐标为1+1a；

(2)①抛物线的顶点在线段BC上，且点B(−12,1)、C(2,1)，
∴顶点纵坐标为1，且−12≤1+1a≤2，
当x=1+1a时，y=1，即a(1+1a)2−(2a+2)(1+1a)+a+2=1，
整理得：−1a=1，
解得：a=−1，
检验，当a=−1时，a≠0，
∴a=−1；
②∵对称轴x=1+1a，
当a>0时，对称轴x=1+1a在点A(1,0)的右侧，即xx=1+1a>1，
∵抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点B(−12,1)、C(2,1)，
∴当x=2时，y<1，即4a−2(2a+2)+a+2<1，
解得：a<3，
当x=−12时，y>1，即14a+12(2a+2)+a+2≥1，
解得：a≥−89，
∴0 当a<0，且a≠−1时，对称轴x=1+1a在点A (1,0)的左侧，即x=1+1a<1，抛物线开口向下，且过点A (1,0)，
当x=−12时，y>1，即14a+12(2a+2)+a+2>1，
解得：a>−89，
∵a<0，
∴−89 由①知，当a=−1时，抛物线顶点恰好在线段BC上，
∴当a=−1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，
综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，a的取值范围是0 【解析】(1)将点A(1,0)代入抛物线解析式，可得b=−2−2a，继而求出抛物线对称轴即可求解；
(2)①根据题意将x=1+1a，y=1，代入抛物线解方程即可求解；
②分a>0；a<0且a≠−1；a=−1三种情况进行讨论求解即可得a的取值范围．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，图象上的点的特征，与线段交点的不同情况的讨论，有一定的难度，分类讨论思想的使用是解决本题的关键．

27.【答案】45 12β  45° 12β°  10
【解析】问题1：解：小明：如图1，

设∠ADB=α，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=α，
∴∠BAD=180°−(∠ABD+∠ADB)=180°−2α，
∴∠CAD=∠BAD−∠BAC=180°−2α−90°=90°−2α，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=180°−∠CAD2=180°−(90°−2α)2=45°+α，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=45°+α−α=45°，
小丽：如图2，

∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，
∴∠BDC=12∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠BDC=45°；
问题2：由问题1可知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、A在BC同侧，
若∠BDC=45°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上，
同理，由问题1可知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、A在BC同侧，
若∠BDC=12β°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上，
故答案为：(Ⅱ)45°，(Ⅲ)12β；
问题3：
证明：若点D在⊙A外，如图3，

∵点E在⊙A上，
∴∠BEC=12∠A=12β，
∵∠BEC>∠BDC，∠BDC=12β，
∴点D在⊙A外不成立，
若点D在⊙A内，如图4，

∵点E在⊙A上
∴∠BEC=12∠A=12β
又∵∠BEC<∠BDC，∠BDC=12β
∴点D在⊙A内不成立
综上所述：点D在⊙A上；
问题4：
∵OB+OC≥2OB×OC，当OB=OC时成立，
∴设OB=OC=a，
如图5，过点B作BF⊥OB交AE于点F，过点C作CD⊥OC交BF于点D，连接DA，以D为圆心，以a为半径作⊙D，

∵BF⊥OB，CD⊥OC，∠BOC=90°，
∴四边形BOCD是矩形，
∵OB=OC，
∴四边形BOCD是正方形，
∴OB=OC=CD=BD=a，
∵∠BAC=45°，∠BDC=90°，由问题3可知，点A在⊙D上，
∴DA=a，
∵OE=18，AE=16，
∴DF=18−a，AF=16−a，
在Rt△ADF中，AD2=DF2+FA2，
∴a2=(18−a)2+(16−a)2，
解得：a=10或58(不符合题意，舍去)，
∴影像接收区最大时OB的长为10，
故答案为：10．
问题1：小明：设∠ADB=α，由等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB=α，由三角形内角和得出∠BAD=180°−2α，进而得出∠CAD=90°−2α，再利用等腰三角形的性质得出∠ADC=45°+α，即可求出∠BDC=45°，小丽：由AB=AC=AD，得出点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，由圆周角定理即可得出∠BDC=45°；
问题2：由问题1可知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、A在BC同侧，若∠BDC=45°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上，同理，由问题1可知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、A在BC同侧，若∠BDC=12β°，则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上；
问题3：分点D在⊙A外，点D在⊙A内，两种情况讨论，即可得出结论；
问题4：OB+OC≥2OB×OC，当OB=OC时成立，设OB=OC=a，过点B作BF⊥OB交AE于点F，过点C作CD⊥OC交BF于点D，连接DA，以D为圆心，以a为半径作⊙D，先证明四边形BOCD是正方形，得出OB=OC=CD=BD=a，由∠BAC=45°，∠BDC=90°，问题3可知，点A在⊙D上，得出DA=a，由勾股定理得出关于a的方程a2=(18−a)2+(16−a)2，解方程即可得出答案．
本题考查了圆的综合应用，掌握等腰三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识是解决问题的关键．