2022年云南省大理州大理市中考数学一模试卷（含解析）

2022年云南省大理州大理市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作．

A.  B.  C.  D.  

2. 如图，已知，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列用相同的正方体堆放在一起组成的几何体中，主视图和左视图不相同的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为

A.  B.  C.  D.

6. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 如图，已知，和相交于点，：：，则：为

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型科普，文学，体育，其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是

A. 样本容量为
B. 类型所对应的扇形的圆心角为
C. 类型所占百分比为
D. 类型的人数为人

9. 如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

10. 的正整数次幂：，，，，，，，观察归纳，可得的个位数字是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，点在边长为的正方形的边上，连接，将沿直线翻折，点的对应点为，延长交边于点，若，则的值为

A.
B.
C.
D.

12. 若关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数的和为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 年月日时分，执行我国首次火星探测任务的“天问一号”探测器在火星着落，在火星上首次留下中国印迹．火星是太阳系九大行星之一，火星的半径约为米，用科学记数法表示“”为______．
14. 分解因式：          ．
15. 使代数式有意义的的取值范围是______ ．
16. 如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，的面积是则的值是______．
    
    
     

17. 要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥接缝处忽略不计，若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是______．
18. 在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48分）

19. 某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了名学生的测试成绩，得分用表示，共分成组：：，：，：，：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：
    初二的测试成绩在组中的数据为：，，．
    初三的测试成绩：，，，，，，，，，，，，，，．

______，______；
通过以上数据分析，你认为______填“初二”或“初三”学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；
若初二、初三共有名学生，请估计此次测试成绩达到分及以上的学生约有多少人？

20. 第二十四届冬奥会于年月日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有“花样滑冰”、“高山滑雪”、“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”这四张卡片除正面图案外，其余都相同将这四张卡片背面朝上，洗匀．
    
    从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为______；
    从中随机抽取两张，请你用列表或画树状图的方法，求两张卡片的图案上是“高山滑雪”和“钢架雪车”运动项目的概率．
21. 如图，四边形是平行四边形，，、分别交于点，．
    求证：≌；
    当四边形是菱形时，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

22. 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同以每棵树上桃子的数量个为横坐标、桃子的平均质量克个为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线附近如图所示．
    求直线的函数关系式；
    市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格元与平均质量克个满足函数表达式在的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？

23. 如图，已知二次函数的图象经过点．
    求的值和图象的顶点坐标；
    若横坐标为的点在该二次函数的图象上，且点到轴的距离不大于，请求出的取值范围．
    
    
     

24. 如图，的半径为，点是的直径延长线上的一点，为上的一点，，．
    求证：直线是的切线；
    求的面积；
    点在上运动不与、重合，过点作的垂线，与的延长线交于点．
    当点运动到与点关于直径对称时，求的长；
    当点运动到什么位置时，取到最大值，并求出此时的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】
解：如果水库的水位高于正常水位 时，记作 ，那么低于正常水位 时，应记作 ．
故选 B ．   

2.【答案】

【解析】解：如图，，，
，
故选：．
先根据平行线的性质，得到的度数，再根据邻补角进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；邻补角互补．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项符合题意；
选项，和不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据单项式除以单项式的法则判断选项；根据二次根式的加减判断选项；根据积的乘方判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查整式的除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：主视图和左视图都相同，底层为三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；
B.主视图和左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C.主视图底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
D.主视图和左视图相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，可得主视图，从左面看到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的外角和定理，属于基础题．
利用多边形的外角和是 ，正多边形的每个外角都是 ，即可求出答案．
【解答】
解： ，
所以这个正多边形是正十边形．
故选： ．   

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设原来平均每人每周投递快件 件，则现在平均每人每周投递快件 件，根据人数 投递快递总数量 人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于 的分式方程，此题得解．

【解答】
解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件，
依题意，得：．
故选：．

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
．
，
，
，
，
．
故选：．
由，可得，由：：，可得又可证，则，由此得：的值为：．
本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形面积比等于相似比的平方．熟练掌握以上考点是正确解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：人，
样本容量为人，
故A正确，
，
类型所对应的扇形的圆心角为，
故B正确，
，
类型所占百分比为，
故C错误，
人，
类型的人数为人，
故D正确，
说法错误的是，
故选：．
根据类人占可计算样本容量，根据占可计算其所对扇形的圆心角度数，根据类人总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去，，三类人数即可得类人数．
本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由题知，为直径，
，
，
，
，
为三角形的中位线，
，
又，
，
，
，点是中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由数字的变化可知，的个位数字按，，，循环出现，
，
的个位数字是，
故选：．
根据个位数字的循环规律得出结论即可．
本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出循环规律是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
故选：．
根据，，可得，由折叠可知，，所以，，所以，即可证明≌，再根据，，推出，即求出的值．
本题考查了折叠的性质，解直角三角形，熟练正确解直角三角形的方法是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
由得，
由得．
方程组有且只有个整数解，
，
即可取、、、．
，
．
关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且，
且，
整数的取值为，，
所有整数的和为．
故选：．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有个整数解确定出的取值，再由关于的方程有两个不相等的实数根，求出满足题意整数的值，进而求出和．
此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况，熟练掌握各自运算方法是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取 ，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式 ，
故答案为： ．   

15.【答案】，

【解析】解：代数式有意义，
，，
解得：，．
故答案为：，．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
 

16.【答案】

【解析】解：设点的坐标为，，
由题意可知：，
，
又点在反比例函数图象上，
故有．
故答案为：．
根据的面积等于，即可得到线段与线段的乘积，进而得到点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：设圆锥的母线长为，扇形的圆心角为，
圆锥的底面圆周长为，
圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
由题意得：，
解得：，
则，
解得，，即扇形的圆心角为，
故答案为：．
根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

18.【答案】或

【解析】解：如图，在▱中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
在▱中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出．
 

19.【答案】    初三

【解析】解：由直方图可知，初二的测试成绩个数据按从小到大的顺序排列，第个数落在组的第二个，
初二的测试成绩在组中的数据为：，，，
中位数，
初的三测试成绩：，，，，，，，，，，，，，，．
按从小到大排列是：，，，，，，，，，，，，，，，
众数；
故答案为：，；
根据以上数据，我认为初三对防疫知识的掌握更好．
理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、最高分、众数均高于初二，说明初三掌握的较好．
故答案为：初三；
人，
答：此次测试成绩达到分及以上的约有人．
根据中位数、众数的定义，可以得到、的值；
根据题目中的数据，可以从中位数、最高分、众数来说明理由，注意本题答案不唯一，符合实际即可；
利用样本估计总体，用乘以样本中测试成绩达到分及以上的所占的百分比即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】

【解析】解：从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为，
故答案为：；
画树状图如下，

共种等可能情况，其中两张卡片的图案上是“高山滑雪”和“钢架雪车”运动项目的有种结果，
两张卡片的图案上是“高山滑雪”和“钢架雪车”运动项目的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
解：四边形是菱形．理由如下：
如图，连接，，，

由知≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是菱形．

【解析】由平行四边形的性质可得，，再由，可得，进而判断≌；
连接，，，先证明四边形是平行四边形，当四边形是菱形，根据菱形对角线的性质判断即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．
 

22.【答案】解：设直线的函数关系式为：，
把和代入得：
，
解得：，
直线的函数关系式为；
设该树上的桃子销售额为元，由题意，得；
，
，
当时，桃子的销售额最大，最大值为元．

【解析】先设出直线的函数关系式，再用待定系数法求解即可；
根据每棵树上的桃子销售额每个桃子的平均价格该棵树上的桃子数以及每个桃子的平均价格与平均质量满足函数表达式列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数的应用以及用待定系数法求函数解析式，关键是根据每棵树上的桃子销售额每个桃子的平均价格该棵树上的桃子数列出函数解析式．
 

23.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
解得，
，
该函数图象的顶点坐标为；
横坐标为的点在该二次函数的图象上，且点到轴的距离不大于，
，
解得或，
即的取值范围为或．

【解析】根据二次函数的图象经过点，即可得到的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标；
根据题意和中的函数解析式，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

，，
，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；
解：，，
是等边三角形，
，
作于点，则，如图，

，
，
．
当点运动到与点关于直径对称时，于点，如图，，，

为的直径，
，
，
，
，
，
点在上运动过程中，，
在中，，
，
当最大时，取得最大值，
当为直径，即时，最大，最大值为．

【解析】由等腰三角形的性质求出，，求出，则可求出答案；
证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，作于点，则，由勾股定理求出的长，由三角形的面积公式可求出答案；
由垂径定理可求出，由直角三角形的性质可求出答案；
由锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了的切线的判定，等边三角形的判定与性质，垂径定理，直角三角形性质，轴对称的性质，熟练掌握切线的判定及直角三角形性质是解题的关键．