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2022年山东省泰安市肥城市中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2022年山东省泰安市肥城市中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省泰安市肥城市中考数学一模试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 在四个实数−3、3、2、−1.4中，大小在−1和2之间的数是( )
A. −3 B. 3 C. 2 D. −1.4
2. 下列运算正确的是( )
A. 3x2+4x2=7x4 B. 2x3⋅3x3=6x3
C. 2a÷2a−2=a3 D. (−12a2b)3=−16a6b3
3. 如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
5. 2020年年初，新型冠状病毒侵袭全国．全国人民在中国共产党领导下，众志成城，在抗疫斗争中取得决定性胜利．我市某中学在“我为抗疫献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：
金额(元)
20
30
35
50
100
学生数(人)
3
7
5
15
10
则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是( )
A. 30，35 B. 50，35 C. 50，50 D. 15，50
6. 反比例函数y=kx(k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y=kx−k的图象大致是( )
A. B. C. D.
7. 小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5 cm，弧长是6π cm，那么这个的圆锥的高是( )
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 2 cm
8. 定义运算：m☆n=mn2−mn−1.例如：4☆2=4×22−4×2−1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
9. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm，且tan∠EFC=34，那么矩形ABCD的周长为( )
A. 18
B. 25
C. 32
D. 36
10. 如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B.已知⊙O的半径为83，BC=3，那么sinA=( )
A. 19
B. 34
C. 89
D. 35
11. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是( )
A. (103+20)m B. (103+10)m C. 203m D. 40m
12. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14−312；④DHHC=23−1.则其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．令年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元，把数据4000亿元用科学记数法表示为______元．
14. “两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么DE的长是______．
16. 在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，过点D作DE切圆О于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，则阴影面积为______．
17. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点(2,0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③a−b+c=0；④若(−52,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19. 已知：A=(xx−1−xx2−1)÷x2−xx2−2x+1
(1)化简A；
(2)当x是满足不等式组2x+5≥31−3x2>−4的整数时，求A的值．
四、解答题（本大题共7小题，共56分）
20. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m=______，n=______；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在______分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
21. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为(3,2)，连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
22. 某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
23. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
(1)求∠CPE的度数；
(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
25. 如图，在矩形ABCD中，AD=kAB(k>0)，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
(1)如图1，若k=1，则AF与AE之间的数量关系是______；
(2)如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF=1时，求EG的长．
一张正方形纸的内部被针扎了2010个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何3点都不共线．作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三角形，并且在这些三角形的内部和边上都不再有小孔．请问一共作了多少条线段？共得到了多少个三角形？答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在四个实数−3、3、2、−1.4中，大小在−1和2之间的数是：2．
故选：C．
直接利用1<2<2，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出2的取值范围是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.3x2+4x2=7x2，故本选项不合题意；
B.2x3⋅3x3=6x6，故本选项不合题意；
C.2a÷2a−2=a3，故本选项符合题意；
D.(−12a2b)3=−18a6b3，故本选项不合题意．
故选：C．
分别根据合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，单项式除单项式的运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，单项式乘单项式，同底数幂的除法、负整数指数幂以及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：俯视图有3列，从左往右分别有2，1，2个小正方形，其俯视图是．
故选：A．
俯视图是从图形的上面看所得到的图形，根据小正方体的摆放方法，画出图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，∠A=30°，
∴∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠ADC=60°，
∴∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】C
【解析】解：这组数据中，捐款金额为50元的人数最多，故众数为50，
∵共有40个数，
∴中位数是第20、21个数的平均数，
∴该班同学捐款金额的中位数是(50+50)÷2=50(元)；
故选：C．
根据众数、中位数的概念求解．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=kx−k的图象在第一、三、四象限，
故选：D．
根据反比例函数的图象和性质可得k>0，从而可判断出−k<0，然后再判断一次函数y=kx−k的图象所在象限即可．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，关键是掌握反比例函数y=kx，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
7.【答案】A
【解析】解：设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，
解得：r=3，
则圆锥的高是：52−32=4cm．
故选：A．
一只扇形的弧长是6πcm，则底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知：1☆x=x2−x−1=0，
∴Δ=1−4×1×(−1)=5>0，
故选：A．
根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，
∴tan∠EFC=CECF=34，
设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得DE=EF=(3k)2+(4k)2=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=BFAB=tan∠EFC=34，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE=AF2+EF2=(10k)2+(5k)2=55k=55，
解得：k=1，
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(8k+10k)=36(cm)，
故选：D．
根据tan∠EFC=34，设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，由∠BAF=∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
作 ⊙O 的直径 DK ，连接 CK ，求出 △KCD ∽ △DBC ，求出 CD ，再解直角三角形求出即可．
【解答】
解：如图，作 ⊙O 的直径 DK ，连接 CK ，
∵CB 垂直于过点 D 的切线，垂足为 B ，
∴∠KDB=90° ， ∠KCD=90° ，
∴∠CDB=90°−∠KDC=∠K ，
∵∠KCD=∠B=90° ，
∴△KCD ∽ △DBC ，
∴CDDK=BCCD ，
∵⊙O 的半径为 83 ， BC=3 ，
∴CD163=3CD ，
即 CD=4 ，
∴sinA=sinK=CDDK=34 ，
故选 B ．
11.【答案】A
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：3，
∴DFCF=1：3，
设DF=xm，CF=3x m，
∴CD=DF2+CF2=2x=20m，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=103m，
∴DH=BF=(103+30)m，
∵∠ADH=30°，
∴AH=33DH=33×(103+30)=(10+103)m，
∴AB=AH+BH=(20+103)m，
故选：A．
过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH=BF，BH=DF，设DF=xm，CF=3xm，根据勾股定理得到CD=DF2+CF2=2x=20m，求得BH=DF=10m，CF=103m，AH=33DH=33×(103+30)=(10+103)m，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°，
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF，
在△DEC和△FGC中，
CE=CG∠ECD=∠GCFCD=CF,
∴△DEC≌△FGC(SAS)，
∴DE=GF，
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，
∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，
∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM−EM=22−66
∴S△DEC=12CE×DM=14−312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG=CE=22−66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，
∴DE//CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴DHHC=DECG=6322−66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC=14−312；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得DHHC=DECG=3+1．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
13.【答案】4×1011
【解析】解：4000亿=400000000000=4×1011．
故答案为：4×1011．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】x+y=1000119x+47y=999
【解析】解：由题意可得，
x+y=1000119x+47y=999，
故答案为：x+y=1000119x+47y=999．
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得x+y=1000，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得119x+47y=999，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
15.【答案】3−1
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=1，
∴AB=AC2+BC2=2，
∴∠BAC=30°，
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，
∵AD⊥ED，
∴BC//DE，
∴∠CBF=∠BED=30°，
在Rt△BCF中，CF=33BC=33，BF=2CF=233，
∴EF=2−233，
在Rt△DEF中，FD=12EF=1−33，
∴ED=3FD=3−1．
故答案为：3−1．
先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC//DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF，BF=2CF，则可得EF，在Rt△DEF中根据含30度角的直角三角形即可解决问题．
本题考查了折叠问题，勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】32
【解析】解：连接OF，OD，OE，
∵DE与半⊙O相切于点F，
∴∠OFD=∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠C=90°，AD=DC=BC=2，
∵∠DAB=∠OFD=90°，OA=OF，OD=OD，
∴Rt△OAD≌Rt△OFD(HL)，
∴AD=DF=2，
∵∠ABC=∠OFE=90°，OB=OF，OE=OE，
∴Rt△OBE≌Rt△OFE(HL)，
∴BE=EF，
设BE=EF=x，
∴CE=BC−BE=2−x，DE=DF+EF=2+x，
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
∴22+(2−x)2=(2+x)2，
∴x=12，
∴CE=2−x=32，
∴阴影面积=△DCE的面积
=12CE⋅CD
=12×32×2
=32，
故答案为：32．
连接OF，OD，OE，根据切线的性质可得∠OFD=∠OFE=90°，根据正方形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠C=90°，AD=DC=BC=2，从而可证Rt△OAD≌Rt△OFD，Rt△OBE≌Rt△OFE，然后利用全等三角形的性质可得AD=DF=2，BE=EF，再设BE=EF=x，从而表示出CE，DE的长，最后在Rt△DCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，三角形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】①②③④
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵对称轴x=12，
∴−b2a=12>0，
∴a，b异号，
∴b>0，
∴abc<0，①正确．
∵对称轴x=12，
∴−b2a=12，
∴a+b=0，②正确，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x1,0)，则对称轴x=12(x1+x2)，
即12=12(x1+2)，解得，x1=−1，
把(−1,0)代入抛物线解析式得，a−b+c=0，③正确，
根据抛物线的对称性，设点(x,y1)与(−52,y1)关于对称轴对称，则12=12(x−52)，解得x=72，
∵72>52，且(72,y1)，(52,y2)这两个点都在对称轴右侧，
∴根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小可得，y1
故答案为：①②③④
根据抛物线开口方向与y轴的交点位置及对称轴的位置判断①；根据对称轴x=12，可判断②；根据抛物线与x轴的另一个交点可判断③；利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用抛物线的增减性判断④(−52,y1)
本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线的位置与a，b，c的符号之间的关系，熟练掌握如下知识是解题的关键：①抛物线开口向上，a>0；抛物线开口向下，a<0，②抛物线与y轴交于正半轴，c>0；抛物线与y轴交于原点，c=0；抛物线与y轴交于负半轴，c<0，③抛物线的对称轴在y轴左侧，a，b同号；抛物线的对称轴在y轴右侧，a，b异号，④抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，抛物线开口向下时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
18.【答案】(0,−21010)
【解析】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，
∴A1(0,1)，A2(1,1)；
根据勾股定理得：OA2=12+12=2，
∴OA3=2OA2=2，
∴A3(2,0)，A4(2,−2)，
根据勾股定理得：OA4=22+22=22，
∴OA5=2OA4=4，
∴A5(0,−4)，
∴A6(−4,−4)，
根据勾股定理得：OA6=2OA5=42，
∴OA7=2OA6=8，
∴A7(−8,0)，A8(−8,−8)，
根据勾股定理得：OA8=2OA7=82，
∴OA9=2OA8=16，
∴A9(0,16)，
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴A2021的坐标与A5(0,−4)的规律相同，
∵−4=−22=−25−12，
∴A2021的纵坐标为−22021−12=−21010，
∴A2021的坐标为(0,−21010)，
故答案为：(0,−21010).
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找的规律计算即可．
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标的特点熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)A=x(x+1)−x(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x(x−1)=x2(x+1)(x−1)⋅x−1x=xx+1；
(2)2x+5≥3①1−3x2>−4②，
由①得：x≥−1，
由②得：x<3，
∴不等式组的解集为−1≤x<3，即整数解为−1，0，1，2，
当x=−1，0，1时，原式没有意义；
则当x=2时，原式=23．
【解析】(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
(2)求出不等式组的解集确定出整数解得到x的值，代入(1)中结果计算即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】(1)8， 0.35 ；
(2)补全图形如下：
(3) 84.5～89.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23．
【解析】
【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与中位数的定义．用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比．
(1) 根据频率 = 频数 ÷ 总数求解可得；
(2) 根据所求结果即可补全图形；
(3) 根据中位数的概念求解可得；
(4) 首先根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解： (1)m=40×0.2=8 ， n=14÷40=0.35 ，
故答案为： 8 ， 0.35 ；
(2) 见答案；
(3) 由于 40 个数据的中位数是第 20 、 21 个数据的平均数，而第 20 、 21 个数据均落在 84.5～89.5 ，
∴ 测他的成绩落在分数段 84.5～89.5 内，
故答案为： 84.5～89.5 ；
(4) 见答案．
21.【答案】解：(1)如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，
∵点B(3,2)在反比例函数y=ax的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
∵B(3,2)，
∴EF=2，
∵BD⊥y轴，OC=CA，
∴AE=EF=12AF，
∴AF=4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=6x图象上，
∴A(32,4)，
∵一次函数y=kx+b经过AB，
∴3k+b=232k+b=4，
∴k=−43b=6，
∴一次函数的表达式为y=−43x+6；
(2)如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B(3,2)，
∴直线OB的解析式为y=23x，
∴G(32,1)，
A(32,4)，
∴AG=4−1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=12×3×3=92．
【解析】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．
(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)先求出OB的解析式，进而求出AG长度，用三角形的面积公式即可得出结论．
22.【答案】解：(1)设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利(x−5)元，
根据题意得：900x+400x−5=100，
整理得：x2−18x+45=0，
解得：x=15或x=3(舍去)，
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x−5=15−5=10(元)，
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
(2)设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，
由题意得：w=(15−a)(100+20a)=−20a2+200a+1500=−20(a−5)2+2000，
∵−20<0，开口向下，
当a=5时，二次函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利(x−5)元，根据题意列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；
(2)设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴∠BAP=∠BCP，PA=PC，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
(2)解：AP=CE，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=180°−120°=60°，
∵AP=PC=PE，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠CPF=∠EDF是解题的关键．
(1)先证出△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质得到∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，根据全等三角形的性质得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据等腰三角形的性质得到∠DAP=∠AEP，等量代换得到∠DCP=∠AEP，推出△EPC是等边三角形，即可得到结论．
24.【答案】解：(1)令y=0，得y=x−6=0，
解得x=6，
∴B(6,0)，
令x=0，得y=x−6=−6，
∴D(0,−6)，
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C(0,6)，
把B、C点坐标代入y=−x2+bx+c中，得
−36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+5x+6；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，
则MN=−m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=−3m2+12m+36═−3(m−2)2+48，
∴当m=2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为(2,0)；
(3)由(2)知，M(2,12)，N(2,−4)，
当∠QMN=90°时，QM//x轴，则Q(0,12)；
当∠MNQ=90°时，NQ//x轴，则Q(0,−4)；
当∠MQN=90°时，设Q(0,n)，则QM2+QN2=MN2，
即4+(12−n)2+4+(n+4)2=(12+4)2，
解得，n=4±55，
∴Q(0,4+55)或(0,4−55).
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为(0,12)或(0,−4)或(0,4+55)或(0,4−55).
【解析】(1)由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
(3)分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
25.【答案】解：(1)AF=AE；
(2)AF与AE之间的数量关系是AF=kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=180°−90°=90°，
∴∠ABE=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF，
∵AD=kAB，
∴ABAD=1k，
∴AEAF=1k，
∴AF=kAE．
(3)解：①如图1，当点F在DC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵AD=2AB=4，
∴AB=2，
∴CD=2，
∵CF=1，
∴DF=CD−CF=2−1=1．
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，
∴AF=AD2+DF2=42+12=17，
∵DF//AB，
∴∠GDF=∠GBA，∠GFD=∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴GFGA=DFBA=12，
∵AF=GF+AG，
∴AG=23AF=2317．
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×17=172．
在Rt△EAG中，∠EAG=90°，
∴EG=AE2+AG2=(172)2+(2173)2=5176；
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF=CD+CF=2+1=3，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，
∴AF=AD2+DF2=42+32=5．
∵DF//AB，
∵∠GAB=∠GFD，∠GBA=∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴AGFG=ABFD=23，
∵GF+AG=AF=5，
∴AG=2，
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×5=52，
在Rt△EAG中，∠EAG=90°，
∴EG=AE2+AG2=(52)2+22=412．
综上所述，EG的长为5176或412．
【解析】
【分析】
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及分类讨论的思想等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1) 证明 △EAB ≌ △FAD(AAS) ，由全等三角形的性质得出 AF=AE ；
(2) 证明 △ABE ∽ △ADF ，由相似三角形的性质得出 ABAD=AEAF ，则可得出结论；
(3)① 如图 1 ，当点 F 在 DC 上时，证得 △GDF ∽ △GBA ，得出 GFGA=DFBA=12 ，求出 AG=23AF=2317. 由 △ABE ∽ △ADF 可得出 AEAF=ABAD=24=12 ，求出 AE=172. 则可得出答案；
② 如图 2 ，当点 F 在 DC 的延长线上时，同理可求出 EG 的长．
【解答】
解： (1)AF 与 AE 之间的数量关系是 AE=AF ．
∵AD=AB ，四边形 ABCD 矩形，
∴ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90° ，
∴∠FAD+∠FAB=90° ，
∵AF⊥AE ，
∴∠EAF=90° ，
∴∠EAB+∠FAB=90° ，
∴∠EAB=∠FAD ，
∵∠EAF=∠BAD=90° ，
∴△EAB ≌ △FAD(AAS) ，
∴AF=AE ；
故答案为： AF=AE ．
(2) 见答案；
(3) 见答案．
26.【答案】解：把2010个小孔和正方形的4个顶点所组成的集合称之为M，显然，M中的点都是一些三角形的公共顶点，
下面我们从两个方面来计算所有三角形的内角和，
①设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为n⋅180°，
②另一方面，这些三角形的内角的顶点都是M中的点，也即它们的内角都是由M中的点提供的，正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，
所以得到的n个三角形的内角和又应为：4×90°+2010×360°=2011×360°，
综合两个方面可得n⋅180°=2011×360°，则n=4022，即有4022个三角形．
这4022个三角形共有4022×3条边，
其中有4条边是原正方形的4条边，不用另行作出，其他各边都是作出的线段，每条线段恰为两个三角形的公共边，故作出的线段总数为(4022×3−4)÷2=6031．
综上所述可得一共作了6031条线段，共得到4022个三角形．
【解析】利用三角形的内角和解决问题，根据题意可得出正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，从而可得出所有三角形的内角和表达式，从而设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为n⋅180°，联立可得出n的值，也可得出所作的线段数．
此题考查了立体图形的知识，解答本题的关键是得出在组成三角形的过程中，正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，从而根据三角形的内角和得出方程，难度较大．
2022年山东省泰安市肥城市中考数学一模试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 在四个实数−3、3、2、−1.4中，大小在−1和2之间的数是( )
A. −3 B. 3 C. 2 D. −1.4
2. 下列运算正确的是( )
A. 3x2+4x2=7x4 B. 2x3⋅3x3=6x3
C. 2a÷2a−2=a3 D. (−12a2b)3=−16a6b3
3. 如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
5. 2020年年初，新型冠状病毒侵袭全国．全国人民在中国共产党领导下，众志成城，在抗疫斗争中取得决定性胜利．我市某中学在“我为抗疫献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：
金额(元)
20
30
35
50
100
学生数(人)
3
7
5
15
10
则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是( )
A. 30，35 B. 50，35 C. 50，50 D. 15，50
6. 反比例函数y=kx(k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y=kx−k的图象大致是( )
A. B. C. D.
7. 小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5 cm，弧长是6π cm，那么这个的圆锥的高是( )
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 2 cm
8. 定义运算：m☆n=mn2−mn−1.例如：4☆2=4×22−4×2−1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
9. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm，且tan∠EFC=34，那么矩形ABCD的周长为( )
A. 18
B. 25
C. 32
D. 36
10. 如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B.已知⊙O的半径为83，BC=3，那么sinA=( )
A. 19
B. 34
C. 89
D. 35
11. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是( )
A. (103+20)m B. (103+10)m C. 203m D. 40m
12. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14−312；④DHHC=23−1.则其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．令年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元，把数据4000亿元用科学记数法表示为______元．
14. “两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么DE的长是______．
16. 在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，过点D作DE切圆О于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，则阴影面积为______．
17. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点(2,0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③a−b+c=0；④若(−52,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19. 已知：A=(xx−1−xx2−1)÷x2−xx2−2x+1
(1)化简A；
(2)当x是满足不等式组2x+5≥31−3x2>−4的整数时，求A的值．
四、解答题（本大题共7小题，共56分）
20. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m=______，n=______；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在______分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
21. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为(3,2)，连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
22. 某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
23. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
(1)求∠CPE的度数；
(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
25. 如图，在矩形ABCD中，AD=kAB(k>0)，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
(1)如图1，若k=1，则AF与AE之间的数量关系是______；
(2)如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF=1时，求EG的长．
一张正方形纸的内部被针扎了2010个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何3点都不共线．作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三角形，并且在这些三角形的内部和边上都不再有小孔．请问一共作了多少条线段？共得到了多少个三角形？答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在四个实数−3、3、2、−1.4中，大小在−1和2之间的数是：2．
故选：C．
直接利用1<2<2，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出2的取值范围是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.3x2+4x2=7x2，故本选项不合题意；
B.2x3⋅3x3=6x6，故本选项不合题意；
C.2a÷2a−2=a3，故本选项符合题意；
D.(−12a2b)3=−18a6b3，故本选项不合题意．
故选：C．
分别根据合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，单项式除单项式的运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，单项式乘单项式，同底数幂的除法、负整数指数幂以及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：俯视图有3列，从左往右分别有2，1，2个小正方形，其俯视图是．
故选：A．
俯视图是从图形的上面看所得到的图形，根据小正方体的摆放方法，画出图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，∠A=30°，
∴∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠ADC=60°，
∴∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】C
【解析】解：这组数据中，捐款金额为50元的人数最多，故众数为50，
∵共有40个数，
∴中位数是第20、21个数的平均数，
∴该班同学捐款金额的中位数是(50+50)÷2=50(元)；
故选：C．
根据众数、中位数的概念求解．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=kx−k的图象在第一、三、四象限，
故选：D．
根据反比例函数的图象和性质可得k>0，从而可判断出−k<0，然后再判断一次函数y=kx−k的图象所在象限即可．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，关键是掌握反比例函数y=kx，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
7.【答案】A
【解析】解：设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，
解得：r=3，
则圆锥的高是：52−32=4cm．
故选：A．
一只扇形的弧长是6πcm，则底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知：1☆x=x2−x−1=0，
∴Δ=1−4×1×(−1)=5>0，
故选：A．
根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，
∴tan∠EFC=CECF=34，
设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得DE=EF=(3k)2+(4k)2=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=BFAB=tan∠EFC=34，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE=AF2+EF2=(10k)2+(5k)2=55k=55，
解得：k=1，
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(8k+10k)=36(cm)，
故选：D．
根据tan∠EFC=34，设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，由∠BAF=∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
作 ⊙O 的直径 DK ，连接 CK ，求出 △KCD ∽ △DBC ，求出 CD ，再解直角三角形求出即可．
【解答】
解：如图，作 ⊙O 的直径 DK ，连接 CK ，
∵CB 垂直于过点 D 的切线，垂足为 B ，
∴∠KDB=90° ， ∠KCD=90° ，
∴∠CDB=90°−∠KDC=∠K ，
∵∠KCD=∠B=90° ，
∴△KCD ∽ △DBC ，
∴CDDK=BCCD ，
∵⊙O 的半径为 83 ， BC=3 ，
∴CD163=3CD ，
即 CD=4 ，
∴sinA=sinK=CDDK=34 ，
故选 B ．
11.【答案】A
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：3，
∴DFCF=1：3，
设DF=xm，CF=3x m，
∴CD=DF2+CF2=2x=20m，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=103m，
∴DH=BF=(103+30)m，
∵∠ADH=30°，
∴AH=33DH=33×(103+30)=(10+103)m，
∴AB=AH+BH=(20+103)m，
故选：A．
过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH=BF，BH=DF，设DF=xm，CF=3xm，根据勾股定理得到CD=DF2+CF2=2x=20m，求得BH=DF=10m，CF=103m，AH=33DH=33×(103+30)=(10+103)m，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°，
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF，
在△DEC和△FGC中，
CE=CG∠ECD=∠GCFCD=CF,
∴△DEC≌△FGC(SAS)，
∴DE=GF，
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，
∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，
∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM−EM=22−66
∴S△DEC=12CE×DM=14−312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG=CE=22−66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，
∴DE//CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴DHHC=DECG=6322−66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC=14−312；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得DHHC=DECG=3+1．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
13.【答案】4×1011
【解析】解：4000亿=400000000000=4×1011．
故答案为：4×1011．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】x+y=1000119x+47y=999
【解析】解：由题意可得，
x+y=1000119x+47y=999，
故答案为：x+y=1000119x+47y=999．
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得x+y=1000，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得119x+47y=999，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
15.【答案】3−1
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=1，
∴AB=AC2+BC2=2，
∴∠BAC=30°，
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，
∵AD⊥ED，
∴BC//DE，
∴∠CBF=∠BED=30°，
在Rt△BCF中，CF=33BC=33，BF=2CF=233，
∴EF=2−233，
在Rt△DEF中，FD=12EF=1−33，
∴ED=3FD=3−1．
故答案为：3−1．
先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC//DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF，BF=2CF，则可得EF，在Rt△DEF中根据含30度角的直角三角形即可解决问题．
本题考查了折叠问题，勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】32
【解析】解：连接OF，OD，OE，
∵DE与半⊙O相切于点F，
∴∠OFD=∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠C=90°，AD=DC=BC=2，
∵∠DAB=∠OFD=90°，OA=OF，OD=OD，
∴Rt△OAD≌Rt△OFD(HL)，
∴AD=DF=2，
∵∠ABC=∠OFE=90°，OB=OF，OE=OE，
∴Rt△OBE≌Rt△OFE(HL)，
∴BE=EF，
设BE=EF=x，
∴CE=BC−BE=2−x，DE=DF+EF=2+x，
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
∴22+(2−x)2=(2+x)2，
∴x=12，
∴CE=2−x=32，
∴阴影面积=△DCE的面积
=12CE⋅CD
=12×32×2
=32，
故答案为：32．
连接OF，OD，OE，根据切线的性质可得∠OFD=∠OFE=90°，根据正方形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠C=90°，AD=DC=BC=2，从而可证Rt△OAD≌Rt△OFD，Rt△OBE≌Rt△OFE，然后利用全等三角形的性质可得AD=DF=2，BE=EF，再设BE=EF=x，从而表示出CE，DE的长，最后在Rt△DCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，三角形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】①②③④
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵对称轴x=12，
∴−b2a=12>0，
∴a，b异号，
∴b>0，
∴abc<0，①正确．
∵对称轴x=12，
∴−b2a=12，
∴a+b=0，②正确，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x1,0)，则对称轴x=12(x1+x2)，
即12=12(x1+2)，解得，x1=−1，
把(−1,0)代入抛物线解析式得，a−b+c=0，③正确，
根据抛物线的对称性，设点(x,y1)与(−52,y1)关于对称轴对称，则12=12(x−52)，解得x=72，
∵72>52，且(72,y1)，(52,y2)这两个点都在对称轴右侧，
∴根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小可得，y1
故答案为：①②③④
根据抛物线开口方向与y轴的交点位置及对称轴的位置判断①；根据对称轴x=12，可判断②；根据抛物线与x轴的另一个交点可判断③；利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用抛物线的增减性判断④(−52,y1)
本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线的位置与a，b，c的符号之间的关系，熟练掌握如下知识是解题的关键：①抛物线开口向上，a>0；抛物线开口向下，a<0，②抛物线与y轴交于正半轴，c>0；抛物线与y轴交于原点，c=0；抛物线与y轴交于负半轴，c<0，③抛物线的对称轴在y轴左侧，a，b同号；抛物线的对称轴在y轴右侧，a，b异号，④抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，抛物线开口向下时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
18.【答案】(0,−21010)
【解析】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，
∴A1(0,1)，A2(1,1)；
根据勾股定理得：OA2=12+12=2，
∴OA3=2OA2=2，
∴A3(2,0)，A4(2,−2)，
根据勾股定理得：OA4=22+22=22，
∴OA5=2OA4=4，
∴A5(0,−4)，
∴A6(−4,−4)，
根据勾股定理得：OA6=2OA5=42，
∴OA7=2OA6=8，
∴A7(−8,0)，A8(−8,−8)，
根据勾股定理得：OA8=2OA7=82，
∴OA9=2OA8=16，
∴A9(0,16)，
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴A2021的坐标与A5(0,−4)的规律相同，
∵−4=−22=−25−12，
∴A2021的纵坐标为−22021−12=−21010，
∴A2021的坐标为(0,−21010)，
故答案为：(0,−21010).
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找的规律计算即可．
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标的特点熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)A=x(x+1)−x(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x(x−1)=x2(x+1)(x−1)⋅x−1x=xx+1；
(2)2x+5≥3①1−3x2>−4②，
由①得：x≥−1，
由②得：x<3，
∴不等式组的解集为−1≤x<3，即整数解为−1，0，1，2，
当x=−1，0，1时，原式没有意义；
则当x=2时，原式=23．
【解析】(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
(2)求出不等式组的解集确定出整数解得到x的值，代入(1)中结果计算即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】(1)8， 0.35 ；
(2)补全图形如下：
(3) 84.5～89.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23．
【解析】
【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与中位数的定义．用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比．
(1) 根据频率 = 频数 ÷ 总数求解可得；
(2) 根据所求结果即可补全图形；
(3) 根据中位数的概念求解可得；
(4) 首先根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解： (1)m=40×0.2=8 ， n=14÷40=0.35 ，
故答案为： 8 ， 0.35 ；
(2) 见答案；
(3) 由于 40 个数据的中位数是第 20 、 21 个数据的平均数，而第 20 、 21 个数据均落在 84.5～89.5 ，
∴ 测他的成绩落在分数段 84.5～89.5 内，
故答案为： 84.5～89.5 ；
(4) 见答案．
21.【答案】解：(1)如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，
∵点B(3,2)在反比例函数y=ax的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
∵B(3,2)，
∴EF=2，
∵BD⊥y轴，OC=CA，
∴AE=EF=12AF，
∴AF=4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=6x图象上，
∴A(32,4)，
∵一次函数y=kx+b经过AB，
∴3k+b=232k+b=4，
∴k=−43b=6，
∴一次函数的表达式为y=−43x+6；
(2)如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B(3,2)，
∴直线OB的解析式为y=23x，
∴G(32,1)，
A(32,4)，
∴AG=4−1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=12×3×3=92．
【解析】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．
(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)先求出OB的解析式，进而求出AG长度，用三角形的面积公式即可得出结论．
22.【答案】解：(1)设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利(x−5)元，
根据题意得：900x+400x−5=100，
整理得：x2−18x+45=0，
解得：x=15或x=3(舍去)，
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x−5=15−5=10(元)，
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
(2)设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，
由题意得：w=(15−a)(100+20a)=−20a2+200a+1500=−20(a−5)2+2000，
∵−20<0，开口向下，
当a=5时，二次函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利(x−5)元，根据题意列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；
(2)设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴∠BAP=∠BCP，PA=PC，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
(2)解：AP=CE，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=180°−120°=60°，
∵AP=PC=PE，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠CPF=∠EDF是解题的关键．
(1)先证出△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质得到∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，根据全等三角形的性质得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据等腰三角形的性质得到∠DAP=∠AEP，等量代换得到∠DCP=∠AEP，推出△EPC是等边三角形，即可得到结论．
24.【答案】解：(1)令y=0，得y=x−6=0，
解得x=6，
∴B(6,0)，
令x=0，得y=x−6=−6，
∴D(0,−6)，
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C(0,6)，
把B、C点坐标代入y=−x2+bx+c中，得
−36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+5x+6；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，
则MN=−m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=−3m2+12m+36═−3(m−2)2+48，
∴当m=2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为(2,0)；
(3)由(2)知，M(2,12)，N(2,−4)，
当∠QMN=90°时，QM//x轴，则Q(0,12)；
当∠MNQ=90°时，NQ//x轴，则Q(0,−4)；
当∠MQN=90°时，设Q(0,n)，则QM2+QN2=MN2，
即4+(12−n)2+4+(n+4)2=(12+4)2，
解得，n=4±55，
∴Q(0,4+55)或(0,4−55).
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为(0,12)或(0,−4)或(0,4+55)或(0,4−55).
【解析】(1)由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
(3)分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
25.【答案】解：(1)AF=AE；
(2)AF与AE之间的数量关系是AF=kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=180°−90°=90°，
∴∠ABE=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF，
∵AD=kAB，
∴ABAD=1k，
∴AEAF=1k，
∴AF=kAE．
(3)解：①如图1，当点F在DC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵AD=2AB=4，
∴AB=2，
∴CD=2，
∵CF=1，
∴DF=CD−CF=2−1=1．
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，
∴AF=AD2+DF2=42+12=17，
∵DF//AB，
∴∠GDF=∠GBA，∠GFD=∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴GFGA=DFBA=12，
∵AF=GF+AG，
∴AG=23AF=2317．
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×17=172．
在Rt△EAG中，∠EAG=90°，
∴EG=AE2+AG2=(172)2+(2173)2=5176；
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF=CD+CF=2+1=3，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，
∴AF=AD2+DF2=42+32=5．
∵DF//AB，
∵∠GAB=∠GFD，∠GBA=∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴AGFG=ABFD=23，
∵GF+AG=AF=5，
∴AG=2，
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×5=52，
在Rt△EAG中，∠EAG=90°，
∴EG=AE2+AG2=(52)2+22=412．
综上所述，EG的长为5176或412．
【解析】
【分析】
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及分类讨论的思想等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1) 证明 △EAB ≌ △FAD(AAS) ，由全等三角形的性质得出 AF=AE ；
(2) 证明 △ABE ∽ △ADF ，由相似三角形的性质得出 ABAD=AEAF ，则可得出结论；
(3)① 如图 1 ，当点 F 在 DC 上时，证得 △GDF ∽ △GBA ，得出 GFGA=DFBA=12 ，求出 AG=23AF=2317. 由 △ABE ∽ △ADF 可得出 AEAF=ABAD=24=12 ，求出 AE=172. 则可得出答案；
② 如图 2 ，当点 F 在 DC 的延长线上时，同理可求出 EG 的长．
【解答】
解： (1)AF 与 AE 之间的数量关系是 AE=AF ．
∵AD=AB ，四边形 ABCD 矩形，
∴ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90° ，
∴∠FAD+∠FAB=90° ，
∵AF⊥AE ，
∴∠EAF=90° ，
∴∠EAB+∠FAB=90° ，
∴∠EAB=∠FAD ，
∵∠EAF=∠BAD=90° ，
∴△EAB ≌ △FAD(AAS) ，
∴AF=AE ；
故答案为： AF=AE ．
(2) 见答案；
(3) 见答案．
26.【答案】解：把2010个小孔和正方形的4个顶点所组成的集合称之为M，显然，M中的点都是一些三角形的公共顶点，
下面我们从两个方面来计算所有三角形的内角和，
①设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为n⋅180°，
②另一方面，这些三角形的内角的顶点都是M中的点，也即它们的内角都是由M中的点提供的，正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，
所以得到的n个三角形的内角和又应为：4×90°+2010×360°=2011×360°，
综合两个方面可得n⋅180°=2011×360°，则n=4022，即有4022个三角形．
这4022个三角形共有4022×3条边，
其中有4条边是原正方形的4条边，不用另行作出，其他各边都是作出的线段，每条线段恰为两个三角形的公共边，故作出的线段总数为(4022×3−4)÷2=6031．
综上所述可得一共作了6031条线段，共得到4022个三角形．
【解析】利用三角形的内角和解决问题，根据题意可得出正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，从而可得出所有三角形的内角和表达式，从而设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为n⋅180°，联立可得出n的值，也可得出所作的线段数．
此题考查了立体图形的知识，解答本题的关键是得出在组成三角形的过程中，正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，从而根据三角形的内角和得出方程，难度较大．
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