2022年广东省广州大学附中中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省广州大学附中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 北京时间年月日早上点，在百度搜索引擎输入“央视晚会”，出现相关结果约个，将“”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派去．

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是

A. 顶点坐标是 B. 对称轴是直线
C. 当时，随的增大而减小 D. 该图象与轴有两个交点

7. 为应对市扬对新冠疫苗越来越大需求，白云大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生速度，现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，现在生产万份疫苗所需的间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，设现在每天生产万份，据题意列方程

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，，，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在等边三角形的，边上分别任取一点，，且，、相交于点下列四个结论：若，则；若，，则；；若，则的最小值为，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若在轴上，则点的坐标是______．
12. 分解因式：______．
13. 如图，的三个顶点，和分别在平行线，上，平分，交线段于点，若，，则的大小为______ ．

14. 如图，在中，，，，点为边的中点以点为圆心，为半径画圆弧，交边于点，则图中阴影部分图形的面积为______ ．
15. 如图，在矩形中，的角平分线交于点，连接，恰好平分，若，则的长为______．
    
     

16. 如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为______ ．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解不等式组：．
18. 己知：如图，点、在线段上，，，求证：≌．
    
     

19. 已知：．
    化简．
    若点与点关于轴对称，求的值．
20. 受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型．某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查，调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
    
    抽取的总人数是______，在扇形统计图中，“手机”所对应的扇形的圆心角的度数为______；
    补全条形统计图；
    在上网课时，老师在、、、四位同学中随机抽取一名学生回答问题．请用列表法或画树状图的方法求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
21. 为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出加快推进旧房改造工作的实施方案推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
    根据方案该市的旧房改造户数从年底的万户增长到年底的万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
    该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造户，计划投入改造费用平均元户，且计划改造的户数每增加户，投入改造费平均减少元户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
22. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，反比例函数的图象交矩形的边，于、两点，连接，．
    当点是的中点时， ______ ，点的坐标为______ ；
    设点的横坐标为．
    请用含的代数式表示点的坐标，
    求证：．

23. 如图，点为正方形边上一点，是的外接圆，与交于点．
    
    尺规作图，在上求作点，使∽；保留作图痕迹
    在的条件下证明：直线与相切；若，，求半径的长．
24. 如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
    观察猜想：
            图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 
    探究证明：
           把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； 
    拓展延伸：
           把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
    求该抛物线的解析式；
    点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，过点作于，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和线段的长度；
    把抛物线沿射线方向平移个单位，是新抛物线对称轴上一点，为平面上任意一点，直接写出所有使得以、、、为顶点的四边形为菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故本选项错误；
B、不能进一步计算，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，正确．
故选：．
根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则计算后利用排除法求解．
本题查了合并同类项、积的乘方，二次根式的化简，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
合并同类项只把系数相加减，字母与字母的次数不变．
 

4.【答案】

【解析】解：乙和丙的平均成绩较好，
从乙和丙中选择一人参加比赛，
，
选择乙参赛，
故选：．
首先比较出较小的平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】

【解析】解：点，两点在双曲线上，且，
，
，
的取值范围是，
故选：．
根据已知得，从而得出的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
 

6.【答案】

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
选项错误，选项正确，
抛物线开口向上，顶点为，
抛物线与轴无交点，选项错误，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，选项错误．
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式然后逐项判断．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是将抛物线解析式化为顶点式．
 

7.【答案】

【解析】解：现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，且现在每天生产万份疫苗，
更新技术前每天生产万份疫苗．
依题意得：．
故选：．
由现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗及现在每天生产万份疫苗，可得出更新技术前每天生产万份疫苗，利用工作时间工作总量工作效率，结合现在生产万份疫苗所需的间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，，
，，
，
故选：．
构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数值求出、，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定 、 的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．

【解答】
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知 ，
根据二次函数的图象确知 ， ，
函数 的大致图象经过二、三、四象限，
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
如图，过作交于，

∽，∽，
，，
，
，
；故正确；
过作于，
则，
，
，
，
，或，故错误；
在等边中，，，
在与中，
，
≌，
，，
，
∽，
，
，
故正确；
以为边作等边三角形，连接，
，，
，



，

点，，，四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，
设于圆交点，即为的最小值，
，，
垂直平分，
，
，
在中，，
，，
，
即的最小值为，故正确．
综上：正确的有．
故选：．
根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到正确；过作于，解直角三角形得到错误；在根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到正确；以为边作等边三角形，连接，证明点，，，四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，设于圆交点，即为的最小值，根据度角的直角三角形即可求出结果．
本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：在轴上，
，
解得，
点的坐标是，
故答案为．
让横坐标为可得的值，进而可得的坐标．
本题考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：在轴上的点的横坐标为．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
；
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
首先根据，，求出的大小；然后根据，求出的大小，再根据平分，求出的大小；最后根据三角形内角和定理，求出的大小为多少即可．
此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．
 

14.【答案】

【解析】解：，点为边的中点，
，
，
，
，
图中阴影部分图形的面积
故答案为
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，然后根据扇形的面积公式计算．
本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据矩形的性质，角平分线定义证明，可得，然后证明，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

16.【答案】

【解析】解：过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，如图：

作图可知：四边形和四边形是平行四边形，
，，且，，
且，
四边形是平行四边形，
，
关于直线的对称点，
，
，
，即此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度，
而、为定值，
此时四边形的周长最小，
关于直线的对称点，
，
四边形是平行四边形，，，
，
设直线解析式为，则，
解得，
直线解析式为，
令得，
，
，
，
即将抛物线向右移个单位后，四边形的周长最小，
此时抛物线为，
故答案为：．
过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，四边形和四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可证，最小，最小值为的长度，故此时四边形的周长最小，求出，，可得直线解析式为，从而，，故将抛物线向右移个单位后，四边形的周长最小，即可得到答案．
本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到的坐标．
 

17.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，，
，，
在和中，
，
≌．

【解析】先证出，再由平行线的性质证出，，即可证明≌．
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：

；
点与点关于轴对称，
，
当时，．

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
根据关于轴对称的点横坐标互为相反数求出的值，代入计算即可求出的值．
此题考查了分式的化简求值，以及关于轴对称的点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】人 

【解析】解：抽取的总人数为人，
在扇形统计图中，“手机”所对应的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：人，；
手机对应人数为人，
补全图形如下：

根据题意画树状图如下：

共有种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率为．
根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，用乘以“手机”人数所占比例即可；
用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，即可补全统计图；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为，
根据题意，得．
解得舍去负值．
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为．
设增加户，申报投入费用为元，
则．
当时，元．
答：旧房改造申报的最高投入费用是元．

【解析】设该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为，根据“从年底的万户增长到年底的万户，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设增加户，申报投入费用为元，根据总费用人均费用人数，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】 

【解析】解：点是的中点，则点，
将点代入反比例函数表达式得：，解得；
故反比例函数的表达式为，
当时，，
故点的坐标为，
故答案为：，；
由题意得，点的坐标为，
则，
则反比例函数表达式为，
当时，，
即点的坐标为；
由知，，，
，，
．
用待定系数法即可求解；
由题意得，点的坐标为，则，则反比例函数表达式为，进而求解；证明即可．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行线分线段成比例等，有一定的综合性，难度适中．
 

23.【答案】解：如图，图中点即为所作：


证明：连接，

，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
点是上的一点，
是的切线；
解：连接，

是的外接圆，，
是的直径，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，，
∽，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
．

【解析】根据尺规作图的作法，作出即可．
连接，由正方形的性质得出，由平行线的性质得出，证出，则可得出结论；
连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，由勾股定理可求出答案．
本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：； 
是等腰直角三角形．
理由如下：
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；

方法：如图，

同的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法：由知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．

【解析】

【分析】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解 的关键是判断出 ， ，解 的关键是判断出 ≌ ，解 的关键是判断出 最大时， 的面积最大．
利用三角形的中位线得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 得出 ，最后用互余即可得出结论；
先判断出 ≌ ，得出 ，同 的方法得出 ， ，即可得出 ，同 的方法即可得出结论；
方法 ：先判断出 最大时， 的面积最大，进而求出 ， ，即可得出 最大 ，最后用面积公式即可得出结论．方法 ：先判断出 最大时， 的面积最大，而 最大是 ，即可得出结论．
【解答】
解： 点 ， 是 ， 的中点，
， ，
点 ， 是 ， 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
见答案   

25.【答案】解：将点，代入，
，
解得，
；
如图，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
与轴的交点为，
，轴，
，
设，则，
，
，
，
，
当时，有最大值，此时；
设向右平移个单位，则向下平移个单位，
沿射线方向平移个单位，
，
，
对称轴为直线，
设，，
，，
，
如图，当与是对角线，
，
，
，
，
，
或
或；
如图，当与是对角线，
，
，
，
，
，
或；
综上所述：点坐标为或或或

【解析】将点，代入，即可求解；
延长交轴于点，求出直线的解析式为，由，设，则，，则，可得，当时，有最大值，此时；
设向右平移个单位，则向下平移个单位，由抛物线沿射线方向平移个单位，可得，平移后的函数为，设，，分两种情况讨论：当与是对角线，，由，可得，求得或；当与是对角线，，由，得，可得或
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数是图象及性质，平移变换的特点，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．