2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）（2021春•威海期末）是　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（5分）（2021春•威海期末）已知向量，，且，则　　A．3 B． C． D．3．（5分）（2021春•威海期末）已知，则　　A． B． C． D．4．（5分）（2021春•威海期末）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为　　A． B． C． D．5．（5分）（2021春•威海期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　　A．1 B． C．4 D．136．（5分）（2021春•威海期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则7．（5分）（2021春•威海期末）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥，侧棱长为2，底面边长为3，设球为其外接球，则球对应的球面上经过，两点的测地线长为　　A． B．2 C． D．48．（5分）（2021春•威海期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2021春•威海期末）下列命题正确的是　　A． B．若，则，，，四点共线 C．任意向量， D．若向量，满足，则，共线10．（5分）（2021春•威海期末）下列等式正确的是　　A． B． C． D．11．（5分）（2021春•威海期末）已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1，则　　A．该四棱台的侧棱长为 B．二面角的大小为 C．该四棱台的体积为 D．与所成角的余弦值为12．（5分）（2021春•威海期末）将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，则　　A．4为函数的一个周期 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．方程在上有两个实根，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2021春•威海期末）设向量，为单位正交基底，若，，且，则　　．14．（5分）（2021春•威海期末）在中，已知，若，则的面积为 　　．15．（5分）（2021春•威海期末）现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为 　　．16．（5分）（2021春•威海期末）在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角的终边在直线上，则　　；已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2021春•威海期末）已知四棱锥的底面是正方形，平面．（Ⅰ）设平面平面，求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．18．（12分）（2021春•威海期末）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为．（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图像，求在，上的值域．19．（12分）（2021春•威海期末）某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：①；②；③．（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．20．（12分）（2021春•威海期末）已知菱形的边长为2，为对角线（异于，上一点．（Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底，表示，并求；（Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角．21．（12分）（2021春•威海期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，．（ⅰ）求二面角的正切值；（ⅱ）求直线到平面的距离．22．（12分）（2021春•威海期末）如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为，容器甲的底面直径的长为，容器乙的两底面直径，的长分别为和．分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为．（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将放在容器甲中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度；（Ⅱ）将放在容器乙中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．
2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）（2021春•威海期末）是　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解答】解：，是第三象限角．故选：．2．（5分）（2021春•威海期末）已知向量，，且，则　　A．3 B． C． D．【解答】解：由平行关系有，解得．故选：．3．（5分）（2021春•威海期末）已知，则　　A． B． C． D．【解答】解：原式．故选：．4．（5分）（2021春•威海期末）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：函数的图像关于点对称，所以，故：，，整理得：，当时，的最小值为．故选：．5．（5分）（2021春•威海期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　　A．1 B． C．4 D．13【解答】解：，，，，，，，，由余弦定理得，．故选：．6．（5分）（2021春•威海期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【解答】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，，，则与平行或相交，故错误；对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，，，则由面面平行的判定定理得，故正确．故选：．7．（5分）（2021春•威海期末）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥，侧棱长为2，底面边长为3，设球为其外接球，则球对应的球面上经过，两点的测地线长为　　A． B．2 C． D．4【解答】解：如图，设点是点在平面上的投影，则，点在直线上，设球的半径为，，，，则，在中，，解得．，可得，球对应的球面上经过，两点的测地线长为．故选：．8．（5分）（2021春•威海期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，如图所示，面在正方体上的截面为，且为中点，因为平面，而平面平面，所以平面，又点为底面上的一个动点，则点在上，所以与平面所成的角为，当点与点重合时，最小，此时，当点与点重合时，最大，此时，所以．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2021春•威海期末）下列命题正确的是　　A． B．若，则，，，四点共线 C．任意向量， D．若向量，满足，则，共线【解答】解：对于，，故正确；对于，由，得或，，，四点共线，故错误；对于，任意向量，表示向量，而为非负实数，，故错误；对于，由足，可得，则，与共线，故正确．故选：．10．（5分）（2021春•威海期末）下列等式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：对于，，故错误；对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故正确，故选：．11．（5分）（2021春•威海期末）已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1，则　　A．该四棱台的侧棱长为 B．二面角的大小为 C．该四棱台的体积为 D．与所成角的余弦值为【解答】解：选项，设上下底面的中心分别为，，则四边形为直角梯形．其中，，，所以，选项正确．选项：点在底面的射影为的中点，设为，过作，垂足为．则，，所以平面，所以，则为二面角的平面角．因为，，所以，，选项正确．选项：上底面的面积为4，下底面的面积为16，所以棱台的体积为，选项错误．选项：因为，所以与所成角即为与所成角，在等腰梯形中，，，，所以与所成角的余弦值为，选项错误．故选：．12．（5分）（2021春•威海期末）将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，则　　A．4为函数的一个周期 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．方程在上有两个实根，则【解答】解：将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，，故．由于函数的周期为，故正确；令，求得，不是最值，可得函数的图像不关于直线对称，故错误；在上，，，故函数在上单调递增，故正确；方程在上有两个实根，即有2个解，即有2个解．由于，，，则，故正确，故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2021春•威海期末）设向量，为单位正交基底，若，，且，则　2　．【解答】解：根据题意，向量，为单位正交基底，则，，若，，且，则有，即，解可得，故答案为：2．14．（5分）（2021春•威海期末）在中，已知，若，则的面积为 　　．【解答】解：在中，由，若，得，即，可得，．故答案为：．15．（5分）（2021春•威海期末）现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为 　　．【解答】解：将圆锥沿着侧棱展开可得扇形，其圆心角，连接，可得所用金色彩线的最短长度为．故答案为：．16．（5分）（2021春•威海期末）在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角的终边在直线上，则　2　；已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则　　．【解答】解：直线的斜率为2，所以或，即．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则，解得．所以．故答案为：2；．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2021春•威海期末）已知四棱锥的底面是正方形，平面．（Ⅰ）设平面平面，求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．【解答】证明：（Ⅰ）平面，平面，，平面，又平面，平面平面，．（Ⅱ）平面，平面，，四棱锥的底面是正方形，，，，平面，平面，平面，平面平面．18．（12分）（2021春•威海期末）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为．（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图像，求在，上的值域．【解答】解：（Ⅰ），，是函数的两个零点，且的最小值为．，即，则，则，即，由，，得，，即，，即函数的单调递减区间为，，．（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到，再向左平移个单位，得到函数的图像，即，当时，，则，即，即的值域为，．19．（12分）（2021春•威海期末）某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：①；②；③．（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．【解答】解：（1）结论：．证明如下：；（2）证明：．结合（1）的结论，可证得成立．20．（12分）（2021春•威海期末）已知菱形的边长为2，为对角线（异于，上一点．（Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底，表示，并求；（Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，则，因为，所以，解得，则；（Ⅱ）因为，所以，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，则，故与的夹角为．21．（12分）（2021春•威海期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，．（ⅰ）求二面角的正切值；（ⅱ）求直线到平面的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取中点并连接，因为是的中点，所以，且．因为是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面．平面，所以平面．（Ⅱ）连接，因为，，是的中点，所以，所以，所以．同理可得，所以．因为，所以二面角的平面角为，又，所以面．因为平面，所以，因为直三棱柱，所以面，又平面，所以．又，所以面，因为平面，所以，易求，在中可求，．（ⅱ）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，因为，所以，即，解得，所以直线到平面的距离为．22．（12分）（2021春•威海期末）如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为，容器甲的底面直径的长为，容器乙的两底面直径，的长分别为和．分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为．（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将放在容器甲中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度；（Ⅱ）将放在容器乙中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．【解答】解：（Ⅰ）作出容器甲的主视图如下： 则，设玻璃棒与水面的交点为，过作交于点，在中，，因为，所以，则，即浸入水中部分的长度为；（Ⅱ）作出容器乙的主视图如下： 则，，在△中，，，，，根据正弦定理得：，，，，．即玻璃棒没入水中部分的长度为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/13 19:15:21；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604