2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2021春•广州期末）已知集合，，，0，1，，则　　

A．，， B．，0， C．， D．，

2．（5分）（2021•绵阳模拟）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是　　

A． B． C． D．且

4．（5分）（2021春•广州期末）在中，，，，若把绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•广州期末）已知函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021秋•中山市期末）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是　　

A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，296

7．（5分）（2021春•广州期末）函数的定义域为，，，且为奇函数，当时，，则函数的所有零点之和是　　

A．2 B．4 C．6 D．8

8．（5分）（2021春•广州期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数的最大值为　　

A． B．1 C． D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•广州期末）若，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）（2021春•广州期末）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球中至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是　　

A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 

C．事件与为对立事件 D．事件

11．（5分）（2021春•广州期末）中，，，则下列结论中正确的是　　

A．若为的重心，则 

B．若为边上的一个动点，则为定值4 

C．若、为边上的两个动点，且的最小值为 

D．已知是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1

12．（5分）（2021•湖南模拟）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，，过作平面的垂线，且，，与都在平面的同侧，则　　

A．三棱锥的体积为 B． 

C． D．球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021春•广州期末）已知，，则　　．

14．（5分）（2021春•广州期末）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 　　．

15．（5分）（2021春•广州期末）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　．

16．（5分）（2021春•广州期末）已知正数，满足，则的最小值是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•广州期末）在中，角，，对应的边分别是，，，已知，

（1）求的值；

（2）若，求外接圆的面积．

18．（12分）（2021春•广州期末）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．

（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；

（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差（以各组的区间中点值代表该组的取值）．

19．（12分）（2021春•广州期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：

（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．

20．（12分）（2021春•广州期末）已知点，，，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，当时，的最小值为．

（1）求函数的单调减区间；

（2）求函数在内的值域；

（3）若方程在内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．

21．（12分）（2021春•广州期末）如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．

（1）证明：平面平面；

（2）设和平面所成角为，求的最大值．

22．（12分）（2021春•广州期末）已知，，且函数和的定义域均为，用表示，的较大者，记为，，

（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；

（2）若函数的最小值为3，试求实数的值．

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2021春•广州期末）已知集合，，，0，1，，则　　

A．，， B．，0， C．， D．，

【解答】解：，，，0，1，，

，．

故选：．

2．（5分）（2021•绵阳模拟）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：由，得，

，

复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：．

3．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是　　

A． B． C． D．且

【解答】解：与共线且同向且，

故选：．

4．（5分）（2021春•广州期末）在中，，，，若把绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：绕直线旋转一周，所形成的几何体是：

两个底面半径均为以到的距离为半径，高之差为的圆锥的组合体，

，，

，

几何体的体积，

故选：．

5．（5分）（2021春•广州期末）已知函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据幂函数的性质可知：，又幂函数，当时，，即，，

根据指数函数的性质可知：，又指数函数，当时，，即，，

根据对数函数的性质可知：，又对数函数，当时，，即，，

故：，

故选：．

6．（5分）（2021秋•中山市期末）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是　　

A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，296

【解答】解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，

甲队队员在所有队员中所占权重为，

乙队队员在所有队员中所占权重为，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为，

甲、乙两队全部队员体重的方差为．

故选：．

7．（5分）（2021春•广州期末）函数的定义域为，，，且为奇函数，当时，，则函数的所有零点之和是　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：根据题意，为奇函数，函数的图象关于对称，

则函数的图象关于对称，

当时，，此时若，解可得，，

又由函数的图象关于对称，

则当时，有两解，为，，

则函数的所有零点之和为；

故选：．

8．（5分）（2021春•广州期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数的最大值为　　

A． B．1 C． D．2

【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，

由于，

所以，

由于函数在区间上是单调增函数，

所以，

故，且，

解得

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•广州期末）若，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，可得，故正确；

由，可得，所以，故错误；

若，则，故错误；

由，可得，所以，所以，故正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•广州期末）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球中至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是　　

A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 

C．事件与为对立事件 D．事件

【解答】解：事件 “取出的两球同色”， “取出的两球不同色”， 件与为对立事件，故对，

事件 “取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件与不是互斥事件，故错，

事件 “取出的2球有且只有一个白球”，故事件与不是对立事件，故错，

事件为必然事件，故，故对，

故选：．

11．（5分）（2021春•广州期末）中，，，则下列结论中正确的是　　

A．若为的重心，则 

B．若为边上的一个动点，则为定值4 

C．若、为边上的两个动点，且的最小值为 

D．已知是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1

【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系．

则，，．

，．

对于，由重心坐标公式，可得，，

则，，，，

，故错误；

对于，设，

则，

则，故正确；

对于，不妨设靠近，，则，

得，，

，，．

则，，

．

当时，取得最小值为，故正确；

对于，由，是内部（含边界）一点，

由，可得，即，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，

则的最大值为，故错误．

故选：．

12．（5分）（2021•湖南模拟）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，，过作平面的垂线，且，，与都在平面的同侧，则　　

A．三棱锥的体积为 B． 

C． D．球的表面积为

【解答】解：如图，

长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足，，，

三棱锥的体积为，故正确；

，

满足，可得，故正确；

平面，平面，则，

假设，则，与与相交于矛盾，故错误；

三棱锥的外接球即长方体的外接球，设其半径为，

则，即，可得球的表面积为，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021春•广州期末）已知，，则　　．

【解答】解：，（1），

两边平方得，

，

又，

可知：，，

，

，

，（2）

由（1），（2）可得，，

．

故答案为：．

14．（5分）（2021春•广州期末）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 　　．

【解答】解：由题意，设2张一等奖分布为，，其余3张为1，2，3，

甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，分别为：，，，，，，，，，，，，，，12，21，13，31，23，32，共20种，其中甲先抽1张（不放回），乙再抽1张为，共两种，

故甲中一等奖乙中一等奖的概率．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•广州期末）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：（1）函数，

作出的图象如图所示，

由图象可得函数的最大值为4，

若对，不等式恒成立，

则，

即实数的取值范围是，．

故答案为：，．

16．（5分）（2021春•广州期末）已知正数，满足，则的最小值是 　9　．

【解答】解：，，则，

设，则，

由基本不等式的结论可得，，

即，即，

所以（舍或，

即，当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为9．

故答案为：9．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•广州期末）在中，角，，对应的边分别是，，，已知，

（1）求的值；

（2）若，求外接圆的面积．

【解答】解：（1）因为，

所以由正弦定理可得，即，

因为，

所以．

（2）因为，，，

所以由余弦定理可得，

所以外接圆的半径，可得外接圆的面积．

18．（12分）（2021春•广州期末）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．

（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；

（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差（以各组的区间中点值代表该组的取值）．

【解答】解：（1）设组距为，

则有，解得，

所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，

因为所占频率为，

所占频率为，

故所占频率为，

故第90百分位数在，之间，即为；

（2）由频率分布直方图可得，；

．

19．（12分）（2021春•广州期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：

（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．

【解答】解：（1）设事件表示“甲猜对”，事件表示“乙猜对”，

则（A），（B），

任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：

（A）（B）．

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：

．

20．（12分）（2021春•广州期末）已知点，，，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，当时，的最小值为．

（1）求函数的单调减区间；

（2）求函数在内的值域；

（3）若方程在内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，角的终边经过点，

则有，又，则，

因为当时，的最小值为，

则，所以，

故，

令，

解得，

所以函数的单调减区间为；

（2）因为，则，

所以

故，，

所以函数在内的值域为，；

（3）由（2）可知，函数在内的值域为，，

令，则，，

问题转化为方程在，上仅有一个根或两个相等的根，

①当，即，此时方程只有一解，

②当，，

则与的图象在只有一个交点，即方程在内有两个不相等的实数解，

故当或 图象只有一个交点，

故实数的取值范围为．

21．（12分）（2021春•广州期末）如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．

（1）证明：平面平面；

（2）设和平面所成角为，求的最大值．

【解答】（1）证明：由题意可知，平面平面，且平面平面，

又，平面，故平面，

又平面，所以，

因为是上异于，的动点，且为直径，

所以，又，，平面，

所以平面，又平面，

故平面平面；

（2）解：过点作，交于点，连接，，

由平面平面，且平面平面，

所以平面，

则为与平面所成角，即，

不妨设，，

所以，则由射影定理可得，，

又，

所以，

故，

令，

故，

当且仅当时取等号，

所以的最大值为．

22．（12分）（2021春•广州期末）已知，，且函数和的定义域均为，用表示，的较大者，记为，，

（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；

（2）若函数的最小值为3，试求实数的值．

【解答】解：，

当时，，当时，，

故，，

（1）当时，，

当时，，当时，，

故，

（2）函数和的对称轴分别为、，

①当，即时，

在上单调递减，在，上单调递增，

故，即，解得或（舍去），

②当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

故，即，解得（舍去），

③当，即时，

在上单调递减，在，上单调递增，

故，即，解得或（舍去），

综上所述，．

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