2020-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•石家庄期末）某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为　　
A．25、15、5 B．20、15、10 C．30、10、5 D．15、15、15
2．（5分）（2021春•石家庄期末）已知是虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）（2021春•石家庄期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是　　
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，直线与所成的角和直线与所成的角相等，那么
4．（5分）（2021春•石家庄期末）一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是　　
A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4
5．（5分）（2021春•内江期末）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为．若，，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
6．（5分）（2021•绵阳模拟）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2021•湖北模拟）已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于　　

A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•石家庄期末）已知菱形边长为1，，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，，则折后点到直线距离的最值为

A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为
C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错或不选得0分．
9．（5分）（2021春•石家庄期末）下列命题不正确的是　　
A．若，则当时，为纯虚数
B．若，，，则
C．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系
D．若，则的最大值为3
10．（5分）（2021春•石家庄期末）已知向量，，则　　
A．
B．向量在向量上的投影向量是
C．
D．与向量共线的单位向量是，
11．（5分）（2021春•石家庄期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，，，则下列叙述正确的是　　

A．
B．当，时，函数单调递增
C．当，时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
12．（5分）（2021春•石家庄期末）已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是　　

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B．无论点在上怎么运动，都有
C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D．当点在上运动时，直线与所成角可以是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•石家庄期末）复数为一元二次方程的一个根，则复数　　．
14．（5分）（2021春•黑龙江期末）如图，在中，，是线段上的一点，若，则实数　　．

15．（5分）（2021春•石家庄期末）某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是，则正方体石块的棱长是 　　；若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 　　．

16．（5分）（2016•天津三模）设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（2021春•石家庄期末）已知向量、满足，．
（1）求关于的解析式；
（2）若，求实数的值；
（3）求向量与夹角的最大值．
18．（12分）（2020•济南模拟）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；
（2）求方程在区间，上所有解的和．
19．（12分）（2021春•石家庄期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面与侧棱交于点．且，求四棱锥的体积．

20．（12分）（2021春•怀仁市期末）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量” ，得到如下的频数分布表：

周跑量
周）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？
21．（12分）（2021春•石家庄期末）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（Ⅰ）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（Ⅱ）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值．

22．（12分）（2021春•石家庄期末）如图1，在等腰梯形中，，，，，、分别为腰、的中点．将四边形沿折起，使平面平面，如图2，，别线段、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明：
（Ⅲ）若为线段中点，在直线上是否存在点，使得面？如果存在，求出线段的长度，如果不存在，请说明理由．


2020-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•石家庄期末）某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为　　
A．25、15、5 B．20、15、10 C．30、10、5 D．15、15、15
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于，则高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为
，，，
故选：．
2．（5分）（2021春•石家庄期末）已知是虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，，
对应点的坐标为，，在第三象限．
故选：．
3．（5分）（2021春•石家庄期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是　　
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，直线与所成的角和直线与所成的角相等，那么
【解答】解：如果，，那么或与相交或与异面，故错误；
如果，则与平行于的所有直线垂直，又，那么，故正确；
如果，，则或，又，那么或与相交，故错误；
如果，且直线与所成的角和直线与所成的角相等，可得、与平面成等角，
则或与相交或与异面，故错误．
故选：．
4．（5分）（2021春•石家庄期末）一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是　　
A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4
【解答】解：设原来的数据为，
则的平均数是1.6，方差是3.6，
，
解得，2，．
原来数据的平均数和方差分别是17.2，0.4．
故选：．
5．（5分）（2021春•内江期末）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为．若，，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
因为，可得，
因为，，，
所以可得，可得，可得，
又，可得，即，
因为，可得，
所以，则的形状是正三角形．
故选：．
6．（5分）（2021•绵阳模拟）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，设母线为，所以，所以母线长为：，圆锥的底面周长为，底面半径为，圆锥的高为：，
设球的半径为：，可得，
解得，
球的表面积：．
故选：．

7．（5分）（2021•湖北模拟）已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，
则，
由，得，
，，
则，
过作轴于，
则，，
即周期，即，得，
故选：．

8．（5分）（2021春•石家庄期末）已知菱形边长为1，，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，，则折后点到直线距离的最值为

A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为
C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为
【解答】解：由二面角的定义知，，，
在中解决点到直线的距离的最值，
因为，，
所以，，，
因为菱形的边长为1，，
所以，
点到的距离，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错或不选得0分．
9．（5分）（2021春•石家庄期末）下列命题不正确的是　　
A．若，则当时，为纯虚数
B．若，，，则
C．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系
D．若，则的最大值为3
【解答】解：对于，当，时，为纯虚数，故错误；
对于，令，，则，但不满足，故错误；
对于，当时，不满足，故错误；
对于，的几何意义是复数对应的点到，的距离为1，
即的轨迹为以，为圆心，1为半径的圆，
则的最大值为，所以正确；
故选：．
10．（5分）（2021春•石家庄期末）已知向量，，则　　
A．
B．向量在向量上的投影向量是
C．
D．与向量共线的单位向量是，
【解答】解：因为向量，，故，
对于，，所以，所以，故正确；
对于，向量在向量上的投影向量是，（注是向量的夹角），故错误；
对于，，所以，故正确；
对于，共线的单位向量是，即，或，，故错误．
故选：．
11．（5分）（2021春•石家庄期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，，，则下列叙述正确的是　　

A．
B．当，时，函数单调递增
C．当，时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
【解答】解：由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•石家庄期末）已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是　　

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B．无论点在上怎么运动，都有
C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D．当点在上运动时，直线与所成角可以是
【解答】解：直三棱柱中，，，
对于：当点运动到的中点时，为中点，连接，，如下所示：

即平面，
所以直线与平面所成的角的正切值，，
因为，，
所以，故正确；
对于：连接，与交于点，并连接，
如下图所示：

由题意知，平面，
因为平面，，
所以平面，
因为面，
所以，又，
所以面，面，故，
同理可证：，又，
所以面，
又面，即有，故正确；
对于：点运动到的中点时，即在△中，均为中线，

所以为中线的交点，
所以根据中线的性质有，故错误；
对于：由于，直线与直线所成的角为与所成的角，即，
结合下图分析知，点在上运动时，

当在或上时，最大为，
当在的中点时，最小为，
所以不可能是，故正确．
故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•石家庄期末）复数为一元二次方程的一个根，则复数　　．
【解答】解：为一元二次方程的一个根，
为一元二次方程的另一个根，
则，解得，．
．
故答案为：．
14．（5分）（2021春•黑龙江期末）如图，在中，，是线段上的一点，若，则实数　　．

【解答】解：因为，则，
所以，
因为点，，三点共线，所以，则，
故答案为：．
15．（5分）（2021春•石家庄期末）某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是，则正方体石块的棱长是 　40　；若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 　　．

【解答】解：设正方体石块的棱长为，则每个截去的四面体的体积为，
由题意可得，解得．
故正方体石块的棱长为；
当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时，球形石凳的表面积最大，
此时正方体的棱长正好是球的直径，此时石凳的最大体积是．
故答案为：；．
16．（5分）（2016•天津三模）设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为　　．
【解答】解：设，则，，
，
，解得，或（舍．
，．
．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（2021春•石家庄期末）已知向量、满足，．
（1）求关于的解析式；
（2）若，求实数的值；
（3）求向量与夹角的最大值．
【解答】解：（1），
，
，

，
，，
．
，
（2），
，
，
或，
（3）设，夹角为，则根据数量积公式，得
，
，
向量与夹角的最大值．
18．（12分）（2020•济南模拟）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；
（2）求方程在区间，上所有解的和．
【解答】解：（1）函数满足条件为①③：
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一．
由③可知：，所以．
故②不合题意．
所以函数满足条件为①③：
由①知：．
所以．
（2）由于．
所以，
所以或，
解得：或，
由于，，
所以的取值为．
所以方程的所有的解的和为．
19．（12分）（2021春•石家庄期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面与侧棱交于点．且，求四棱锥的体积．

【解答】（1）证明：连接，设，则为的中点，连接
为的中点，为的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）解：由是正方形，可得平面，平面，
设平面平面，，，而为的中点，
则为的中点，且，
在正方形中，且，，，
则四边形为梯形，
侧面底面，平面底面，平面，，
平面，又平面，可得，
而，，可得四边形为直角梯形．
，，
，
由平面，平面，得，从而，
在正三角形中，是的中点，则，
又，、平面，平面，
，．

20．（12分）（2021春•怀仁市期末）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量” ，得到如下的频数分布表：

周跑量
周）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？
【解答】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：

（2）由频率分布直方图得：
，的频率为：，
，的频率为，
设样本的中位数为，
则，解得．
样本的中位数约为29.2．
（3）依题意知休闲跑者共有：人，
核心跑者共有：人，
精英跑者共有：人，
估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：
（元．
21．（12分）（2021春•石家庄期末）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（Ⅰ）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（Ⅱ）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由平行四边形得，在中，，，
则，即，
所以，
则停车场面积，
即，其中．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
即，
则，
因为，所以，
则平方米．
故当时，停车场最大面积为平方米．
22．（12分）（2021春•石家庄期末）如图1，在等腰梯形中，，，，，、分别为腰、的中点．将四边形沿折起，使平面平面，如图2，，别线段、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明：
（Ⅲ）若为线段中点，在直线上是否存在点，使得面？如果存在，求出线段的长度，如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）证明：四边形是等腰梯形，
点为的中点，点为的中点，
，
平面平面，平面平面，
平面．
（Ⅱ）解：在图2中，，这两个点，使得这两点所在直线与平面垂直．
证明：连结，，
平面，，
，且，四边形是菱形，’ ，
，，这两点所在直线与平面垂直．
（Ⅲ）解：为线段中点，假设在直线上存在点，使得面．
在线段上取点，使得，
连结线段，交于点，
由题意得平面平面，平面，
就是所求的点，．

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