2020-2021学年湖北省襄阳市、荆州市、荆门市、宜昌市等七市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省襄阳市、荆州市、荆门市、宜昌市等七市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•湖北期末）已知集合，，0，，，则　　

A．， B．，0， C．，1， D．，，0，

2．（5分）（2021•济南三模）设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）（2021春•湖北期末）为两条对角线的交点，，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）（2021春•湖北期末）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：变化的折线图，关于日均值说法正确的是　　

A．这10天日均值的分位数为60 

B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 

C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 

D．这10天的日均值的中位数为41

5．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

6．（5分）（2021春•湖北期末）已知函数，则方程的实数解的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（5分）（2021春•湖北期末）圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）　　

A． B． C． D．

8．（5分）（2020•甘肃模拟）如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是　　

A． B． C． D．3

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得．分．

9．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，则　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）（2021春•湖北期末）下列说法正确的是　　

A．“”是“”的充分不必要条件 

B．命题“，”的否定是“，” 

C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 

D．“”是“关于的方程有实根”的充要条件

11．（5分）（2021春•湖北期末）已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是　　

A． B．若，则 

C．若为纯虚数，则 D．若，则的最大值为2

12．（5分）（2021春•湖北期末）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体，在折叠过程中，下列四个结论中正确的是　　

A．在四面体中，当时， 

B．四面体的体积的最大值为 

C．在四面体中，与平面所成的角可能为 

D．四面体的外接球的体积为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021春•湖北期末）某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取 　　人．

14．（5分）（2021春•湖北期末）已知圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为 　　．

15．（5分）（2021春•湖北期末）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，．已知函数，，的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合，则　　．

16．（5分）（2021春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知内接于半径为的圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则△的面积最大值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•湖北期末）已知非零向量，满足，且．

（1）求与的夹角；

（2）若，求的值．

18．（12分）（2021春•湖北期末）已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，且，求的值．

19．（12分）（2021春•湖北期末）某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是．现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的化学成绩原始分进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计该次校考中化学成绩原始分的平均数；

（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次校考化学成绩原始分不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？（结果保留整数）

20．（12分）（2021春•湖北期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的大小；

（2）若，且，是边的中线，求的长度．

21．（12分）（2021春•湖北期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，是边的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角为，求二面角的大小．

22．（12分）（2021春•湖北期末）已知函数为偶函数．

（1）求的值；

（2）设，，若，，，总有，求的取值范围．

2020-2021学年湖北省襄阳市、荆州市、荆门市、宜昌市等七市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•湖北期末）已知集合，，0，，，则　　

A．， B．，0， C．，1， D．，，0，

【解答】解：，，0，，，

，0，．

故选：．

2．（5分）（2021•济南三模）设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

复数所对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：．

3．（5分）（2021春•湖北期末）为两条对角线的交点，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知可得

，

故选：．

4．（5分）（2021春•湖北期末）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：变化的折线图，关于日均值说法正确的是　　

A．这10天日均值的分位数为60 

B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 

C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 

D．这10天的日均值的中位数为41

【解答】解：对于，将10天中的日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，

根据分位数的定义可得，这10天中日均值的分位数是，故选项错误；

对于，前5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，故选项正确；

对于，由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故选项错误；

对于，这10天中日均值的中位数为，故选项错误．

故选：．

5．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【解答】解：对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故错误；

对于，平行于同一直线的两平面相交或平行，故错误；

对于，垂直于同一平面的两直线平行，故正确；

对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故错误．

故选：．

6．（5分）（2021春•湖北期末）已知函数，则方程的实数解的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：当时，由得，解得，符合题意；

当时，由，得，解得，符合题意．

综上，方程的实数解的个数为2．

故选：．

7．（5分）（2021春•湖北期末）圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知：，，所以，

在中，，

在中，由正弦定理得，所以，

在中，，

故选：．

8．（5分）（2020•甘肃模拟）如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是　　

A． B． C． D．3

【解答】解：不妨设，，且，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如下图，

则，

直线的方程为，直线的方程为，

联立直线的方程与直线的方程可得，即，

，

又，，

，化简得，

．

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得．分．

9．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，，则，，，正确；

对于，，，则有，正确；

对于，，，有，必有，正确；

对于，，，，不成立，错误；

故选：．

10．（5分）（2021春•湖北期末）下列说法正确的是　　

A．“”是“”的充分不必要条件 

B．命题“，”的否定是“，” 

C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 

D．“”是“关于的方程有实根”的充要条件

【解答】解：对于：若，满足，当，故错误；

对于：特称命题的否定为全称命题，故正确；

对于，满足，当，故错误；

对于：方程有实数根△，

所以，故正确．

故选：．

11．（5分）（2021春•湖北期末）已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是　　

A． B．若，则 

C．若为纯虚数，则 D．若，则的最大值为2

【解答】解：选项：因为，故正确，

选项，

因为，所以，则，故正确，

选项：因为为纯虚数，

所以，即，故错误，

选项：由复数模的三角不等式可得，故正确，

故选：．

12．（5分）（2021春•湖北期末）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体，在折叠过程中，下列四个结论中正确的是　　

A．在四面体中，当时， 

B．四面体的体积的最大值为 

C．在四面体中，与平面所成的角可能为 

D．四面体的外接球的体积为定值

【解答】解：对于：当时，由于，，

，平面，

所以，故正确；

对于：当平面平面时，四面体的体积最大，

在中，根据等面积法，可得点到平面的距离满足，解得，

所以，故正确；

对于：当平面平面时，与平面所成的角最大，

此时：，即，故错误；

对于：由于和都为直角三角形，且公共斜边，

所以斜边的中点到、、、的距离相等，

所以四面体的外接球的半径，

所以四面体得外接球的体积为定值，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021春•湖北期末）某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取 　30　人．

【解答】解：由分层抽样的性质得：

男生应该抽取：（人．

故答案为：30．

14．（5分）（2021春•湖北期末）已知圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为 　1　．

【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，

因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，

所以，则，

又圆锥的表面积为，

则，

解得．

故答案为：1．

15．（5分）（2021春•湖北期末）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，．已知函数，，的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型函数的图象重合，则　　．

【解答】解：由图可知，，，，，

又图像过，，

，，．

因为函数的图像向右平移个单位长度后，

与纯音的数学模型函数的图像重合，．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知内接于半径为的圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则△的面积最大值为 　　．

【解答】解：如图，

由正弦定理可得，已知，

，，故．

由余弦定理可得，，即，

又，，整理得：，

故，．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•湖北期末）已知非零向量，满足，且．

（1）求与的夹角；

（2）若，求的值．

【解答】解：设向量，夹角为，

（1）由得，，

又，，；

（2）由两边平方得，

又，，．

18．（12分）（2021春•湖北期末）已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，且，求的值．

【解答】解：（1）函数．

单调递增区间满足：，，

解得：，，

所以函数的单调递增区间为：，，；

（2）因为，由（1）可得：

，

所以，，

所以，所以，

所以，

所以的值为．

19．（12分）（2021春•湖北期末）某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是；等级排名占比为，赋分分数区间是．现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的化学成绩原始分进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计该次校考中化学成绩原始分的平均数；

（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次校考化学成绩原始分不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？（结果保留整数）

【解答】解：（1）由题意得，解得；

（2）平均数为：；

（3）由已知等级达到及以上所占排名等级占比为，

假设原始分不少于分可以达到赋分后的等级及以上，易得，

则有，

解得，

所以原始分不少于54分才能达到赋分后的等级以上．

20．（12分）（2021春•湖北期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的大小；

（2）若，且，是边的中线，求的长度．

【解答】解：（1）因为，可得，

所以由正弦定理可得，即，

所以，

因为，

所以．

（2）因为，，，则，可得，

则，

又，可得，

由余弦定理可得，整理可得，解得．

21．（12分）（2021春•湖北期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，是边的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角为，求二面角的大小．

【解答】（1）证明：四棱锥中，底面是菱形，，

连接，则是正三角形；

因为是边的中点，所以，

又因为，所以；

又因为，且，所以平面；

（2）解：过点在平面内作，垂足为，连接，如图所示：

由（1）知，，所以平面；

所以为在平面内的射影，所以直线与底面所成的角为；

因为，，所以，；

在正中，，所以；

在中，，，，所以；

因为，所以，所以是二面角的平面角；

在中，，

所以，即二面角的大小为．

22．（12分）（2021春•湖北期末）已知函数为偶函数．

（1）求的值；

（2）设，，若，，，总有，求的取值范围．

【解答】解：（1）因为函数为偶函数，

所以，即，

可得恒成立，

所以；

（2）若，，，，总有，

所以，

因为，，所以，，

所以，所以，

则．

又，

所以，

令，，，由（1）可得在，上递减，所以，，

设，，，对称轴为，

当时，时，取得最小值，所以，解得；

当，时，当时，，所以，此不等式无解；

当，时，当时，，所以，此不等式无解．

综上可得，的取值范围是，．

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