2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高一（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了若复数满足，则，在中，若，，，则，在中，等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高一（下）期末数学试卷一．单项选择题:共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2021春•南京期末）若复数满足，则　　A．1 B． C．2 D．2．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，，，则　　A． B． C． D．3．（5分）（2021春•南京期末）某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为　　A．18 B．20 C．22 D．244．（5分）（2021春•南京期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则　　A． B． C． D．5．（5分）（2021春•南京期末）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为　　A． B． C． D．6．（5分）（2021春•南京期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则　　A． B． C． D．7．（5分）（2021春•南京期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则面积的最大值为　　A． B． C． D．8．（5分）（2021春•南京期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求　　A． B． C． D．二．多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9．（5分）（2021春•南京期末）已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为　　A． B． C． D．10．（5分）（2021春•南京期末）在中，．若，则的值可以等于　　A． B． C．2 D．311．（5分）（2021春•南京期末）已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是　　A．棱台的侧面积为 B．棱台的高为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12．（5分）（2021春•南京期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，，当取到最大值时，则下列说法正确的是　　A．的最大值是 B．的最大值是 C． D．三．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（5分）（2021春•南京期末）计算：　　．14．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，则　　．15．（5分）（2021春•南京期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，是边长为4的正三角形，，是边上的一动点，则的最小值为 　　．16．（5分）（2021春•南京期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，（单位：米），则　　；四边形的面积为 　　（平方米）．四．解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（10分）（2021春•南京期末）在①，②为纯虚数，③且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若______，求实数的值或取值范围．18．（12分）（2021春•建邺区校级期末）已知的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域．19．（12分）（2021春•南京期末）如图，在平行四边形中，，，．（1）求；（2）求．20．（12分）（2021春•南京期末）百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目．100年来，中国社会沧桑巨变．今年是我国建党一百周年，某班（共50名同学）举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩（均在之间）绘制成频率分布直方图如图．（1）求的值，并求在，的学生总人数；（2）若从成绩在，的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在，的概率．21．（12分）（2021春•南京期末）如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．22．（12分）（2021春•湖北期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设．（1）若，求的长；（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．
2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题:共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2021春•南京期末）若复数满足，则　　A．1 B． C．2 D．【解答】解：因为，所以．故选：．2．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：在中，，根据正弦定理得：，解得．故选：．3．（5分）（2021春•南京期末）某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为　　A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：根据分层抽样原理，抽取容量为60的样本时，应从高二年级抽取的学生人数为（人．故选：．4．（5分）（2021春•南京期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：在中，，由正弦定理可化成，，由余弦定理可得：，故选：．5．（5分）（2021春•南京期末）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为　　A． B． C． D．【解答】解：连接，底面是正方形，则，几何体是正方体，可知，，平面，平面，，异面直线、所成角是．故选：．6．（5分）（2021春•南京期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则　　A． B． C． D．【解答】解：由向量与平行得，由正弦定理得，又，，，在中，．故选：．7．（5分）（2021春•南京期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则面积的最大值为　　A． B． C． D．【解答】解：，根据正弦定理得，，且，，且，，时，面积取最大值．故选：．8．（5分）（2021春•南京期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求　　A． B． C． D．【解答】解：如图，具题意构造直角梯形，设，，令，，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，如图建立平面直角坐标系，则，，，，所以，，，，所以，，所以．故选：．二．多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9．（5分）（2021春•南京期末）已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为　　A． B． C． D．【解答】解：因为复数的实部与虚部之和为，则，即，所以或，又，所以或或．故选：．10．（5分）（2021春•南京期末）在中，．若，则的值可以等于　　A． B． C．2 D．3【解答】解：，，化简可得，解得或，若，为的内角，，，，，；若，由正弦定理得，，综上所述，的值为或3．故选：．11．（5分）（2021春•南京期末）已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是　　A．棱台的侧面积为 B．棱台的高为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为【解答】解：由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，在等腰梯形中，，，，则，，故棱台的侧面积为，故正确，易知为棱台的高，在中，，，在△中，，故错误，棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确，棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误，故选：．12．（5分）（2021春•南京期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，，当取到最大值时，则下列说法正确的是　　A．的最大值是 B．的最大值是 C． D．【解答】解：延长，交线段于点；设，则，，，则，故当时，有最大值为，故错误，正确；当时，，则，又，，，，；故错误，正确．故选：．三．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（5分）（2021春•南京期末）计算：　　．【解答】解：，．故答案为：．14．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，则　　．【解答】解：如图： 由知四边形是菱形，和都是等边三角形，．故答案为：．15．（5分）（2021春•南京期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，是边长为4的正三角形，，是边上的一动点，则的最小值为 　　．【解答】解：如图，连结，因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以，则，要使得的值最小，则求的最小值即可，在中，当时，有最小值，此时，又，所以的最小值为．故答案为：．16．（5分）（2021春•南京期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，（单位：米），则　　；四边形的面积为 　　（平方米）．【解答】解：如图，连接，由题意可得，可得，由余弦定理可得，即，解得：，所以，所以，可得，，所以四边形的面积（平方米）．故答案为：，．四．解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（10分）（2021春•南京期末）在①，②为纯虚数，③且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若______，求实数的值或取值范围．【解答】解：若选①：因为且，所以，即，则或；若选②：因为且为纯虚数，所以且，则；若选③：因为，又对应的点在第一象限内，则有，所以或．18．（12分）（2021春•建邺区校级期末）已知的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域．【解答】解（1）的最小正周期为，，则，则，令，解得，函数的单调递增区间为．（2），，，即，在区间上的值域，．19．（12分）（2021春•南京期末）如图，在平行四边形中，，，．（1）求；（2）求．【解答】解：（1）平行四边形中，，，．．（2），．所以．20．（12分）（2021春•南京期末）百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目．100年来，中国社会沧桑巨变．今年是我国建党一百周年，某班（共50名同学）举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩（均在之间）绘制成频率分布直方图如图．（1）求的值，并求在，的学生总人数；（2）若从成绩在，的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在，的概率．【解答】（1）根据竞赛成绩落在之间频率和为1可得：，解得．根据频率分布直方图可得成绩落在，的学生人数为；（2）根据频率分布直方图可得成绩落在，和，的人数分别为．和．在，和，的人分别记作、和、、、，从中随机选出2人的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种．至少有一人成绩在，的概率为．21．（12分）（2021春•南京期末）如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为垂直于圆所在的平面，即平面，又平面，所以，因为是以为直径的半圆上一点，所以，又，，平面，所以平面；（2）解：连结，在半圆中，因为，所以，又是的中点，则，在中，过点作，垂足为，连结，则平面，所以即为二面角的平面角，因为，由，则，可得，所以，在中，，所以二面角的余弦值为．22．（12分）（2021春•湖北期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设．（1）若，求的长；（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．【解答】解：（1）设千米，当时，为等边三角形，所以，由，，得，中，，，所以，所以，所以，解得，所以千米；（2）中，，由正弦定理得，解得；中，，由正弦定理得，解得；由，得，即，解得；由，所以当取得最小值时，的面积取得最小值为（平方千米）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/13 19:08:28；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604