2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•武昌区校级期末）下列命题正确的是　　

A．三点确定一个平面 

B．一条直线和一个点确定一个平面 

C．两条不平行的直线确定一个平面 

D．梯形可确定一个平面

2．（5分）（2021春•武昌区校级期末）已知向量，且，则　　

A．8 B．2 C． D．

3．（5分）（2021春•武昌区校级期末）某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是　　

A．130，122，36 B．131.5，122，36 C．131，136，29 D．131.5，122，29

4．（5分）（2021春•武昌区校级期末）在三棱锥中，，，平面，，是线段的中点，则异面直线和所成的角等于　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•武昌区校级期末）用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021春•武昌区校级期末）在巾，角、、所对的边分别为，，，的面积为，则　　

A． B． 

C．的最大值为 D．的最大值1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

7．（5分）（2021春•武昌区校级期末）已知复数和都是实数，若，则　　．

8．（5分）（2021春•武昌区校级期末）已知直线（常数与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为，，，则点与点的距离　　．

9．（5分）（2021春•武昌区校级期末）在三棱锥中，作平面，垂足为．给出下列命题：

①若三条侧棱，，与底面所成的角相等，则是的外心；

②若三个侧面，，与底面所成的二面角相等，则是的内心；

③若三组对棱与，与，与中有两组互相垂直，则是的垂心．

则其中真命题的序号是 　　．

10．（5分）（2021春•武昌区校级期末）如图，在直角梯形中，，，是边长为2的正三角形，是平面内的动点，，设，则的取值范围是 　　．

三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

11．（10分）（2021春•武昌区校级期末）设，，且．

（1）求；

（2）在，求复数的模的取值范围．

12．（12分）（2021春•武昌区校级期末）已知向量，设函数．

（1）求函数的单调递减区间和对称中心的坐标；

（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若关于的方程在区间上有解求实数的取值范围．

13．（12分）（2021春•武昌区校级期末）袋中装有除颜色外完全相同的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件 “第次取到的球是白球”， ，2，3．试将下列件，，表示，并求出相应事件的概率．

（1）取球2次即终止；

（2）最后一次取球的是甲．

14．（12分）（2021春•武昌区校级期末）如图，在中，，点在边上，，．

（1）若的面积为，求的长：

（2）若，求角的大小．

15．（12分）（2021春•武昌区校级期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在（度之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布直方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．

（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图的值；

（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间，（度内的用户的月用电量的平均数；

（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间，（度内的用户的月用电量的平均数为140（度，方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188（度，方差为5200，且月用电最落在区间，（度内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间，（度内的用户用电量的标准差．

（参考数据：，，，，，

16．（12分）（2021春•武昌区校级期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．点是的中点，作，交于点．

（1）设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；

（2）求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；

（3）求直线与平面所成角的正切值．

2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•武昌区校级期末）下列命题正确的是　　

A．三点确定一个平面 

B．一条直线和一个点确定一个平面 

C．两条不平行的直线确定一个平面 

D．梯形可确定一个平面

【解答】对选项，当三点共线时，不能确定一个平面，故错误；

对选项：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错误；

对选项：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故错误；

对选项，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故正确．

故选：．

2．（5分）（2021春•武昌区校级期末）已知向量，且，则　　

A．8 B．2 C． D．

【解答】解：向量，且，

．

解得．

故选：．

3．（5分）（2021春•武昌区校级期末）某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是　　

A．130，122，36 B．131.5，122，36 C．131，136，29 D．131.5，122，29

【解答】解：共有22个数据，第11个数据为131，第12个数据为132，所以中位数为；

数据122出现3次，出现次数最多，所以众数为122；

最大值为112，最小值为148，所以极差为；

故选：．

4．（5分）（2021春•武昌区校级期末）在三棱锥中，，，平面，，是线段的中点，则异面直线和所成的角等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，作的中点，则，

所以异面直线和所成的夹角即直线和所成的夹角，

即或其补角，

因为，，所以，

所以，因为平面，所以，

所以，

连接，则，

因为平面，又平面，所以，

所以，

在中，由余弦定理可得，

又，所以，

故直线和所成的夹角为．

故选：．

5．（5分）（2021春•武昌区校级期末）用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设圆锥的母线长为，顶角为，则过圆锥的两条母线的截面三角形面积为，

当时取得最大值，此时，

所以圆锥的轴截面中，顶角的取值范围是，．

故选：．

6．（5分）（2021春•武昌区校级期末）在巾，角、、所对的边分别为，，，的面积为，则　　

A． B． 

C．的最大值为 D．的最大值1

【解答】解：的面积为，

，

，错误；

根据余弦定理，，且，

，错误；

，

，

，且，

的最大值为，正确；

又，当且仅当时取等号，

，

，即，即，解得，

，

，

，

故的最大值为，故错误

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

7．（5分）（2021春•武昌区校级期末）已知复数和都是实数，若，则　　．

【解答】解：复数和都是实数，若，

则，且，

，

故答案为：．

8．（5分）（2021春•武昌区校级期末）已知直线（常数与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为，，，则点与点的距离　　．

【解答】解：根据直线与曲线的图象交点成周期性出现，

其中3个相邻的交点自左至右分别为，，，

则点与点的距离恰好是1个周期，且的最小正周期为，

所以．

故答案为：．

9．（5分）（2021春•武昌区校级期末）在三棱锥中，作平面，垂足为．给出下列命题：

①若三条侧棱，，与底面所成的角相等，则是的外心；

②若三个侧面，，与底面所成的二面角相等，则是的内心；

③若三组对棱与，与，与中有两组互相垂直，则是的垂心．

则其中真命题的序号是 　①②③　．

【解答】解：对于①，连接，，，见图1．

由平面，可得为与平面所成角，

为与平面所成角，为与平面所成角，

且，

所以，即为的外心，故①正确；

对于②，过作，垂足为，连接，过作，垂足为，连接，

过作，垂足为，连接，见图2．

由三垂线定理的逆定理可得，，，

可得为侧面与底面所成角的平面角，为侧面与底面所成角的平面角，

为侧面与底面所成角的平面角，

且，所以，即为的内心，故②正确；

对于③，连接，，，见图3．

若，，由三垂线定理的逆定理可得，，

即为，，即有，，

所以，即有，

则，即为的垂心，故③正确．

故答案为：①②③．

10．（5分）（2021春•武昌区校级期末）如图，在直角梯形中，，，是边长为2的正三角形，是平面内的动点，，设，则的取值范围是 　，　．

【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系：

直角梯形中，，，是边长为2的正三角形，解得：，，，

所以，，，，

则，

由，可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，

该圆方程为，

设，，

则，，

由于，

则：，，，，

整理得：，所以，

所以，

因为，

所以，

所以的取值范围是，．

故答案为：，．

三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

11．（10分）（2021春•武昌区校级期末）设，，且．

（1）求；

（2）在，求复数的模的取值范围．

【解答】解：（1）设，，，

，

，

则，解得，

．

（2）设，，，

由，可得，

，，

，

，．

12．（12分）（2021春•武昌区校级期末）已知向量，设函数．

（1）求函数的单调递减区间和对称中心的坐标；

（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若关于的方程在区间上有解求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题可得，，，

令，，解得，，即的单调递减区间为，；

令，，解得，即的对称中心坐标为，；

（2）由（1）可知，

若关于的方程在区间，上有解，

在区间，上，，，，，，．

若方程在区间，上有解，则，．

13．（12分）（2021春•武昌区校级期末）袋中装有除颜色外完全相同的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件 “第次取到的球是白球”， ，2，3．试将下列件，，表示，并求出相应事件的概率．

（1）取球2次即终止；

（2）最后一次取球的是甲．

【解答】解：（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，

则．

（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括，两种情况，

事件对应的概率，事件对应的概率，

最后一次取球的是甲的概率．

14．（12分）（2021春•武昌区校级期末）如图，在中，，点在边上，，．

（1）若的面积为，求的长：

（2）若，求角的大小．

【解答】解：（1）在中，，，

若的面积为，则，

所以，所以，

则，

所以，

所以．

（2）在中，，可设，则，

又，由正弦定理，得，所以，

在中，，，

由正弦定理，得，

即，化简得，

于是，

因为，

所以，，

所以或，

解得或，

即角的大小为或．

15．（12分）（2021春•武昌区校级期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在（度之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布直方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．

（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图的值；

（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间，（度内的用户的月用电量的平均数；

（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间，（度内的用户的月用电量的平均数为140（度，方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188（度，方差为5200，且月用电最落在区间，（度内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间，（度内的用户用电量的标准差．

（参考数据：，，，，，

【解答】解：（1）频率分布直方图：

由频率分布折线图或频率分布直方图得，

即；

（2）月用电量落在区间，（度，，（度，，（度内的用户数分别为

，，

所平均数（度；

（3）由（2）知，月用电落在（间，（度的户数

月用电量在区间，（度内的户数

设前60户的月用电分别为，，2．，，平均数为，方差

后60户的月用电量分别为，，2．，．平均数为，方差为

全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为

，即．

故有，有，

所以：，

故．

16．（12分）（2021春•武昌区校级期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．点是的中点，作，交于点．

（1）设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；

（2）求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；

（3）求直线与平面所成角的正切值．

【解答】证明：（1）连结交交于，

是正方形，为的中点，

又是的中点，，

又平面，平面，．平面，

又平面，平面平面，．

解：（2）平面，平面，

，

设正方形的边长为4，

，

的中线，，，

同理，，，

，，

为正三角形，中线，且，

，，

，同理，

是二面角的一个平面角，

又在正三角形中，

，

则平面与平面所成的较小的面角的余弦值为．

解：（3）同（2）中，得，

又在正方形中，，，平面，平面，

平面，

同理平面

同理面

是直线与平面所成的角，

在和中得，

直线与平面所成角的正切值为．

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