2020-2021学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2021春•鄂州期末）复平面上表示复数为虚数单位）的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）（2021春•鄂州期末）数据，，，，的平均值为4，，，的平均值为5，则这八个数的平均值为　　

A．3 B．4 C． D．

3．（5分）（2021春•鄂州期末）已知，，为三个内角，，的对边，，，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）（2021•安徽模拟）“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要

5．（5分）（2021春•河南期末）定义向量，的一种运算：．运算结果是一个向量，它的模是，，其中，表示向量，的夹角．已知向量，，且，，则　　

A．1 B． C． D．

6．（5分）（2021春•鄂州期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为　　

A． B． C． D．

7．（5分）（2021春•鄂州期末）设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是　　

A．若，，，则 B．若，，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

8．（5分）（2021春•鄂州期末）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔．现在塔底共线三点，，处分别测塔顶的仰角为，，，且米，则文星塔高为　　

A．20米 B．米 C．米 D．30米

二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分）

9．（5分）（2021春•鄂州期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是　　

A．至多一次中靶 B．两次都中靶 

C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶

10．（5分）（2021春•鄂州期末）过正方体棱上三点，，（均为棱中点）确定的截面过点（点为中点）有　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）（2021春•鄂州期末）下列说法正确的是　　

A．标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差越小，数据离散程度越小             

B．若数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为，如果满足，，，，则 

C．如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的 

D．若数据，，，的方差，则，2，，都相等

12．（5分）（2021春•鄂州期末）设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，计作．已知在斜坐标系中，向量、，则下列结论正确的是　　

A． 

B．若，则 

C． 

D．若，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）（2021春•鄂州期末）写出一个复数满足实部和虚部互为相反数，且，　　．

14．（5分）（2021春•鄂州期末）鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则该校高一年级男生有 　　人．

15．（5分）（2021春•鄂州期末）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有阳马侧棱长为4，且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 　　．

16．（5分）（2021春•鄂州期末）已知，，为三个内角，，的对边，且，，则　　，若上述条件成立时，则的最大值为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17．（10分）（2021春•鄂州期末）已知复数，为虚数单位）．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．

18．（12分）（2021春•鄂州期末）某校对2021年春高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

（1）估计该校高一期中数学考试成绩的均值；

（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数．

19．（12分）（2021春•鄂州期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：已知，，为锐角三个内角，，的对边，若，______，点是的中点，点是的中点，将沿折起，使平面平面，如图，求异面直线与所成的角的余弦值．

20．（12分）（2021春•鄂州期末）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）．根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立．已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为．求：

（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；

（2）已知，求总分不低于50分的概率．

21．（12分）（2021春•鄂州期末）已知三棱柱棱长均为2，且点在底面的投影为的中心，点为棱的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

22．（12分）（2021春•鄂州期末）已知，，为三个内角，，的对边，且，，，线段边对应的高为，内心、重心、外心、垂心依次为点、、、．

（1）求中高的长度；

（2）欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．

2020-2021学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2021春•鄂州期末）复平面上表示复数为虚数单位）的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：复平面上表示复数为虚数单位）的点在第四象限．

故选：．

2．（5分）（2021春•鄂州期末）数据，，，，的平均值为4，，，的平均值为5，则这八个数的平均值为　　

A．3 B．4 C． D．

【解答】解：设这8个数的平均数是，

则，

故选：．

3．（5分）（2021春•鄂州期末）已知，，为三个内角，，的对边，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，，

所以，

所以由正弦定理，可得．

故选：．

4．（5分）（2021•安徽模拟）“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【解答】解：由棱柱的定义可知，棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，

故“几何体为棱柱”可以推出“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”，

但由两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如两个底面是全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，

故“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”不能推出“几何体为棱柱”，

综上所述，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的必要不充分条件．

故选：．

5．（5分）（2021春•河南期末）定义向量，的一种运算：．运算结果是一个向量，它的模是，，其中，表示向量，的夹角．已知向量，，且，，则　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：由定义可得，．

故选：．

6．（5分）（2021春•鄂州期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，

从中不放回地依次随机摸出2个球，

第二次摸到红球的情况有两种：

①第一次摸到红球，第二次摸到红球，概率为：，

②第一次摸到黄球，第二次摸到红球，概率为：，

则第二次摸到红球的概率为．

故选：．

7．（5分）（2021春•鄂州期末）设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是　　

A．若，，，则 B．若，，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

【解答】解：若，，，如图，

设，在直线上任取一点，在平面内过作，则，

，，在平面内过作，则，

，，而为直二面角的平面角，则为直角，

则，故正确；

若，，，，可得或与相交，故错误；

若，，则或或与相交，而，则或或与相交，故错误；

若，，则或或与相交，而，则或与相交或与异面，故错误．

故选：．

8．（5分）（2021春•鄂州期末）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔．现在塔底共线三点，，处分别测塔顶的仰角为，，，且米，则文星塔高为　　

A．20米 B．米 C．米 D．30米

【解答】解：设塔顶为，塔底为，高度，

则，

在和中利用余弦定理，则：

，

，

因为，故，可得：

，

解得或（舍去）．

故选：．

二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分）

9．（5分）（2021春•鄂州期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是　　

A．至多一次中靶 B．两次都中靶 

C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶

【解答】解：某人打靶时连续射击两次，

对于，事件“至多一次中靶”与事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，事件“两次都中靶”与事件“恰有一次中靶”不能同时发生，是互斥事件，故正确；

对于，事件“只有一次中靶”与事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，事件“两次都没有中靶”与事件“恰有一次中靶”不能同时发生，是互斥事件，故正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•鄂州期末）过正方体棱上三点，，（均为棱中点）确定的截面过点（点为中点）有　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于：确定的截面过点，如图所示：

故正确；

对于：确定的截面过点，如图所示：

故不正确；

对于：确定的截面过点，如图所示：

故不正确；

对于：确定的截面过点，如图所示：

故正确．

故选：．

11．（5分）（2021春•鄂州期末）下列说法正确的是　　

A．标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差越小，数据离散程度越小             

B．若数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为，如果满足，，，，则 

C．如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的 

D．若数据，，，的方差，则，2，，都相等

【解答】解：对于：根据方差和标准差的性质标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差越小，数据离散程度越小，故正确；

对于：若数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为，如果满足，，，，则，故正确；

对于：如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据不一定对称的，故错误；

对于：若数据，，，的方差，则，2，，都相等都等于平均值，故正确．

故选：．

12．（5分）（2021春•鄂州期末）设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，计作．已知在斜坐标系中，向量、，则下列结论正确的是　　

A． 

B．若，则 

C． 

D．若，则

【解答】解：对，，，，故正确；

对：若，即有，不一定等于0，故错误；

对，则，故错误；

对：若，即，所以，，，，则，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）（2021春•鄂州期末）写出一个复数满足实部和虚部互为相反数，且，　（答案不唯一）　．

【解答】解：结合题意使得实部和虚部是互为相反数且平方和在即可，

比如：，

故答案为：．

14．（5分）（2021春•鄂州期末）鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则该校高一年级男生有 　500　人．

【解答】解：某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，

该校高一年级男生有人，则该校高一女生有人，

样本中男生比女生多8人，

，

解得．

则该校高一年级男生有500人．

故答案为：500．

15．（5分）（2021春•鄂州期末）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有阳马侧棱长为4，且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 　　．

【解答】解：水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，转换为平面图为边长为2和4的矩形；

由于阳马侧棱长为4，

故该几何体如图所示：

设四棱锥体的外接球半径为，

所以，

解得，

所以．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•鄂州期末）已知，，为三个内角，，的对边，且，，则　　，若上述条件成立时，则的最大值为 　　．

【解答】解：因为，，可得，

由正弦定理得，，

因为，

则，

所以

又，

所以，

则，即，

又，

则，故，

在中，根据余弦定理，即，

所以，

所以，即，

所以，

由基本不等式得，当且仅当时取等号，即，所以，

故，所以，

所以原式，

设，，，

因为，故，

设，故在，上递增，

所以（4），

所以的最大值为5．

故答案为：，5．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17．（10分）（2021春•鄂州期末）已知复数，为虚数单位）．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．

【解答】解：（1）若为纯虚数，则解得．

（2）当时，复数，则，

是方程的一个根，，

整理得．

根据复数相等，有解得．

18．（12分）（2021春•鄂州期末）某校对2021年春高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

（1）估计该校高一期中数学考试成绩的均值；

（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数．

【解答】解：（1）数学成绩在：，频率，，频率，

，频率，，频率，

，频率，，频率

样本均值为：，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩的均值为93分；

（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，

在130分以下所占比例为，

因此，分位数位于，内，由，

可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分；

19．（12分）（2021春•鄂州期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：已知，，为锐角三个内角，，的对边，若，______，点是的中点，点是的中点，将沿折起，使平面平面，如图，求异面直线与所成的角的余弦值．

【解答】解：选择①，

，，

即，，

，故为等腰三角形．

选择②

，，

，

，，为等腰三角形．

选择③

，

，

展开得：，

，，

，

为锐角三角形，，为等腰三角形．

，为等边三角形．

取中点连接’ 、、、’ 、’ ，

平面平面，

又，平面，

又、为中点，．

异面直线与所成的角即为与所成的角，

取边长为2，计算可得：，，，

在△’ 中，，

异面直线与所成的角的余弦值为．

20．（12分）（2021春•鄂州期末）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）．根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立．已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为．求：

（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；

（2）已知，求总分不低于50分的概率．

【解答】解：（1）小明三道题都答对概率为，故，

恰能解决三道题中的一道题的概率：．

（2）若三道题均答对，则，，

若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，

则，，

若代数几何均答对，但组合未答对，

则，，

．

21．（12分）（2021春•鄂州期末）已知三棱柱棱长均为2，且点在底面的投影为的中心，点为棱的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：连接交于点，连，

因为，均为中点，所以，

又平面，面，

所以直线平面；

（2）解：如图，过点作，，过点作，

连接，，，

因为为中心，则，

根据勾股定理可得，，

又平面，平面，

所以，又，

则平面，

同理平面，又平面，平面，

所以，，

又，，

可得，故，

又，，故，

所以，

则为求二面角的平面角，

因为三棱柱棱长均为2，

可求得，，，，

同理可得，，

在中，，

二面角的余弦值为．

22．（12分）（2021春•鄂州期末）已知，，为三个内角，，的对边，且，，，线段边对应的高为，内心、重心、外心、垂心依次为点、、、．

（1）求中高的长度；

（2）欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．

【解答】解：（1）中，，，，

由余弦定理得，

所以；

根据面积相等知，，

解得：；

（2）连接延长交于点，如图所示：

根据角平分线定理知：，

则；

又在中，平分，

根据角平分线定理知：，

；

根据欧拉线定理知：；

所以，

；

所以，

所以．

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