2020-2021学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1．（5分）（2021春•聊城期末）若复数在复平面内对应的点在虚轴上．则　　
A．1 B．0 C． D．
2．（5分）（2021春•聊城期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为　　
A．，，且， B．，，且，
C．，，且， D．，，且，
3．（5分）（2021春•聊城期末）某市环境保护局公布了该市，两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是　　

A．景区这7年的空气质量优良天数的极差为100
B．这7年，景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多
C．景区这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273
D．这7年景区的空气质量优良天数的标准差比景区的空气质量优良天数的标准差大
4．（5分）（2021春•聊城期末）如图，△是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为　　

A．12 B． C． D．
5．（5分）（2021春•聊城期末）已知向量，．若，则实数　　
A．2或 B．2 C．0 D．
6．（5分）（2021春•聊城期末）已知表示直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是　　
A．若，不平行，则内不存在直线与1平行
B．若，不垂直，则内不存在直线与垂直
C．若，则内的所有直线均与不垂直
D．若，则内的所有直线均与不平行
7．（5分）（2021春•聊城期末）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，引导干部学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为，方差为．若，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•聊城期末）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于，，若米，米，，，，，则的长约为　　

A．27米 B．28米 C．29米 D．30米
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021春•聊城期末）已知复数，，其中，则下列结论正确的是　　
A．的虚部为
B．的共轭复数
C．是关于的方程的一个根
D．若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，3为半径的圆
10．（5分）（2021春•聊城期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”， “家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则　　
A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立
11．（5分）（2021春•聊城期末）已知平面单位向量，，满足，，则下列结论可能成立的是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）（2021春•聊城期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是　　

A．与所成的角是的棱共有8条
B．与平面所成的角为
C．二面角的余弦值为
D．经过，，，四个顶点的球面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•聊城期末）为了解高一学生的体能情况，某校随机抽取了200名高一学生进行了1分钟跳绳测试，统计测试成绩并绘制如图的频率分布直方图，则这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为 　　．

14．（5分）（2021春•聊城期末）已知一母线长为2的圆锥的轴截面面积是，则该圆锥的侧面积为 　　．
15．（5分）（2021春•聊城期末）某盒子中有大小和质地完全相同的四个小球，分别写有“百”“炼”“成”“钢”四个字，有放回地从中任意依次摸球，每次1球，直到“成”“钢”二字都摸到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“百”“炼”“成”“钢”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
434 342 431 143 243 124 234 441 223 321
432 134 233 432 332 341 213 243 431 314
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 　　．
16．（3分）（2021春•聊城期末）已知梯形中，，，为的中点，为与的交点，，则　　；若，，，则的余弦值为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（2021春•聊城期末）已知点，，，．
（1）若四边形是平行四边形，求，的值；
（2）若，且，求向量在方向上的投影向量．
18．（12分）（2021春•聊城期末）第五代移动通信技术（简称是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市手机用户对网络的满意程度，随机抽取了本市300名手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
满意程度
25岁以下
26岁至50岁
50岁以上
男
女
男
女
男
女
满意
20
21
35
16
25
6
一般
20
20
25
19
12
16
不满意
15
9
10
15
8
8
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对网络不满意的手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
19．（12分）（2021春•聊城期末）如图，在三棱锥中，平面，为的中点，为的中点，为线段上一点，．
（1）证明：平面；
（2）若经过点在底面内画一条直线与垂直，则应该怎样画？请说明理由．

20．（12分）（2021春•聊城期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若边上的高为3，求的最小值．
21．（12分）（2021春•聊城期末）排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方平后，甲队拥有发球权．
（1）当时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；
（2）当时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．
22．（12分）（2021春•聊城期末）如图，在三棱柱中，平面平面，，，是的中点，为线段上的动点．
（1）证明：平面平面；
（2）若的最小值为，求过，，三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．


2020-2021学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1．（5分）（2021春•聊城期末）若复数在复平面内对应的点在虚轴上．则　　
A．1 B．0 C． D．
【解答】解：，
复数在复平面内对应的点在虚轴上，
，即．
故选：．
2．（5分）（2021春•聊城期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为　　
A．，，且， B．，，且，
C．，，且， D．，，且，
【解答】解：把直线和平面看成点的集合，点是集合中的元素，
所以“点在直线上”和“点在平面内”用记号，而“直线在平面内”用记号，
故选：．
3．（5分）（2021春•聊城期末）某市环境保护局公布了该市，两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是　　

A．景区这7年的空气质量优良天数的极差为100
B．这7年，景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多
C．景区这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273
D．这7年景区的空气质量优良天数的标准差比景区的空气质量优良天数的标准差大
【解答】解：由折线图可知，景区空气质量优良天数的极差为，
故选项错误；
由折线图可知，这7年，景区空气质量优良的天数相差分别为：
，，，，，，，
所以这7年，景区空气质量优良的天数相差的最多是2018年，
故选项错误；
景区这7年的空气质量优良天数从小到大依次为：255，262，262，266，280，283，293，
因为，
所以景区这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为280，
故选项错误；
由折线图的变化趋势可知，景区的波动剧烈，所以景区的标准差大，
故选项正确．
故选：．
4．（5分）（2021春•聊城期末）如图，△是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为　　

A．12 B． C． D．
【解答】解：把直观图△还原原三角形如图，

可知为等腰直角三角形，，，
则的周长为，
故选：．
5．（5分）（2021春•聊城期末）已知向量，．若，则实数　　
A．2或 B．2 C．0 D．
【解答】解：，，
，，，，
若，
则，
解得：，
故选：．
6．（5分）（2021春•聊城期末）已知表示直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是　　
A．若，不平行，则内不存在直线与1平行
B．若，不垂直，则内不存在直线与垂直
C．若，则内的所有直线均与不垂直
D．若，则内的所有直线均与不平行
【解答】解：若，不平行，当时，内存在直线与1平行，故错误；
若，不垂直，内与的射影垂直的直线都与垂直，故错误；
若，则内的所有直线均与平行不垂直，故正确；
若，则内的所有与交线平行的直线均与平行，故错误．
故选：．
7．（5分）（2021春•聊城期末）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，引导干部学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为，方差为．若，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为　　
A． B． C． D．
【解答】解：初中部和高中部的平均数，
高中和初中总成绩的平均数为或，
该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差．
故选：．
8．（5分）（2021春•聊城期末）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于，，若米，米，，，，，则的长约为　　

A．27米 B．28米 C．29米 D．30米
【解答】解：如图所示，过点作的垂线，垂足为，
则，
因为，所以，所以，
所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以，
在中，由正弦定理可得：
，
，
所以．
故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021春•聊城期末）已知复数，，其中，则下列结论正确的是　　
A．的虚部为
B．的共轭复数
C．是关于的方程的一个根
D．若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，3为半径的圆
【解答】解：，复数的虚部为2，错误，
的共轭复数为，正确，
当时，，正确，
设，由，得到，
在复平面内对应的点的集合是以为圆心，3为半径的圆，正确．
故选：．
10．（5分）（2021春•聊城期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”， “家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则　　
A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立
【解答】解：假定生男孩和生女孩是等可能的，
若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”，
“家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，
对于，与不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件，故正确；
对于，由事件的并得到表示这个家庭中可能至少有2个女孩子，与事件不相等，故错误；
对于，事件与既不能同时发生，又不能不发生，是对立事件，故正确；
对于，（B）（D），根据独立的定义判断事件与事件相互独立，故正确．
故选：．
11．（5分）（2021春•聊城期末）已知平面单位向量，，满足，，则下列结论可能成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：平面向量，满足，，
则可知，，，，或，
对于与同向，与同向，
故与的夹角为，
所以，故错误；
对于，故正确；
对于，
则，故错误；
对于，
则或1，故正确；
故选：．
12．（5分）（2021春•聊城期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是　　

A．与所成的角是的棱共有8条
B．与平面所成的角为
C．二面角的余弦值为
D．经过，，，四个顶点的球面面积为
【解答】解：补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为，
由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，
由半正多面体的表面积为，可得，
解得．
对于，在与相交的6条棱中，与成角的棱有4条，这4条棱中，
每一条都有3条平行的棱，
故与所成的角是的棱共有16条，故错误；
对于，平面，与平面所成角为，故正确；
对于，取中点，连接，，则有，，故二面角的补角为，
二面角的余弦值为，在中，，，，
，，，故正确；
对于，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点，
点在平面的投影为投影点，则有，，
，故经过，，，四个顶点的球面的半径为，
面积为，故正确．
故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•聊城期末）为了解高一学生的体能情况，某校随机抽取了200名高一学生进行了1分钟跳绳测试，统计测试成绩并绘制如图的频率分布直方图，则这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为 　142　．

【解答】解：由频率分布直方图得：
，
解得，
，的频率为：，
，的频率为：，
这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为：
．
故答案为：142．
14．（5分）（2021春•聊城期末）已知一母线长为2的圆锥的轴截面面积是，则该圆锥的侧面积为 　或　．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，高为，母线为，
因为母线长为2的圆锥的轴截面面积是，
则有，，
解得或，
所以该圆锥的侧面积为，即或．
故答案为：或．
15．（5分）（2021春•聊城期末）某盒子中有大小和质地完全相同的四个小球，分别写有“百”“炼”“成”“钢”四个字，有放回地从中任意依次摸球，每次1球，直到“成”“钢”二字都摸到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“百”“炼”“成”“钢”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
434 342 431 143 243 124 234 441 223 321
432 134 233 432 332 341 213 243 431 314
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 　　．
【解答】解：随机模拟产生了以下20组随机数：
434 342 431 143 243 124 234 441 223 321
432 134 233 432 332 341 213 243 431 314
其中第三次就停止摸球的随机数有：143，243，234，134，243，314共6个，
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为．
故答案为：．
16．（3分）（2021春•聊城期末）已知梯形中，，，为的中点，为与的交点，，则　　；若，，，则的余弦值为 　　．
【解答】解：根据题意，梯形中，，，为的中点，
则，
又由，则，，
故；
是向量和所成的角，设向量和所成的角为，
，则，则，
，则，则，
，
故，故的余弦值为．
故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（2021春•聊城期末）已知点，，，．
（1）若四边形是平行四边形，求，的值；
（2）若，且，求向量在方向上的投影向量．
【解答】解：（1）由，，，，得，，
因为四边形是平行四边形，所以，即，，，
所以，解得．
因为，时，与不共线，符合题意，
所以，．
（2）由，，，，且，
得，，，，
因为，所以，解得，所以．
设向量与的夹角为，则向量与方向上的投影向量为．
18．（12分）（2021春•聊城期末）第五代移动通信技术（简称是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市手机用户对网络的满意程度，随机抽取了本市300名手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
满意程度
25岁以下
26岁至50岁
50岁以上
男
女
男
女
男
女
满意
20
21
35
16
25
6
一般
20
20
25
19
12
16
不满意
15
9
10
15
8
8
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对网络不满意的手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
【解答】解：（1）超过50岁的手机用户有人，
则所求概率．
（2）由题意，样本中26岁至50岁手机男用户满意程度的平均分为．
（3）由题意，用分层抽样的方法抽取的5人中男用户有2人，分别记为，；女用户有3人，分别记为1，2，3．
从这5人中不放回地依次随机挑选2人，
样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
设事件 “第2次才挑选到了女用户”，则，，，，，，（A），
故第2次才挑选到了女用户的概率为．
19．（12分）（2021春•聊城期末）如图，在三棱锥中，平面，为的中点，为的中点，为线段上一点，．
（1）证明：平面；
（2）若经过点在底面内画一条直线与垂直，则应该怎样画？请说明理由．

【解答】（1）证明：取的中点，上靠近点的四等分点，连接，，．
因为，分别为，的中点，
所以，且．
因为，，
所以，且．
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：连接，在底面内过点作直线即可．理由如下：
因为平面，平面，所以．
又，，所以平面．
又平面，所以．

20．（12分）（2021春•聊城期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若边上的高为3，求的最小值．
【解答】解：（1）在中，由及正弦定理，得，
又，
所以，
又，所以，
又因为，所以．
（2）由（1）知，中，，
又边上的高为3，
所以的面积，
即．
又中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
21．（12分）（2021春•聊城期末）排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方平后，甲队拥有发球权．
（1）当时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；
（2）当时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．
【解答】解：（1）根据题意，后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．
记事件 “后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，
所以．
即后两队共发2次球就结束比赛的概率为．
（2）时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以或取得该局胜利．
记事件 “甲以取得该局胜利”， “甲以取得该局胜利”， “时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”，
因为各次发球的胜负结果相互独立，且，互斥，
所以，，
．
22．（12分）（2021春•聊城期末）如图，在三棱柱中，平面平面，，，是的中点，为线段上的动点．
（1）证明：平面平面；
（2）若的最小值为，求过，，三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．

【解答】解：（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，，．
因为，分别为，的中点，所以，所以，所以平面即为平面．
因为，，所以△为正三角形，即．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以．
在中，，，
由余弦定理可得，所以，
即，因为，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
即平面平面．
（2）将平面与平面展平，由（1）得展平后．
所以的最小值为，
得，，
因为，分别为，的中点，且，．
所以是三棱台．
因为中，，，，
所以，
所以，．
又平面，且，所以
三棱台的体积．
所以剩余几何体的体积．
所以过，，三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．

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