2020-2021学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•烟台期末）空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
2．（5分）（2021春•烟台期末）抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设事件 “点数为奇数”， “点数为4”，则与的关系为　　
A．互斥 B．相等 C．互为对立 D．相互独立
3．（5分）（2021春•烟台期末）已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为1，那么原三角形的面积为　　
A． B．2 C． D．4
4．（5分）（2021春•烟台期末）某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为　　
A．120 B．160 C．180 D．460
5．（5分）（2021春•烟台期末）某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•烟台期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．（5分）（2021春•烟台期末）给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数、第50百分位数分别为　　
A．11，17 B．11，21 C．12，17 D．12，21
8．（5分）（2021春•烟台期末）在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的　　

A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021春•烟台期末）下列说法正确的有　　
A．两条相交直线确定一个平面
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度
D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖
10．（5分）（2021春•烟台期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则　　
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面的面积的最大值为
D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
11．（5分）（2021春•烟台期末）在正方体中，点为线段上一动点，则　　

A．对任意的点，都有
B．三棱锥的体积为定值
C．当为中点时，异面直线与所成的角最小
D．当为中点时，直线与平面所成的角最大
12．（5分）（2021春•烟台期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 “表示的四位数能被3整除”， “表示的四位数能被5整除”，则　　

A．（A） B．（B） C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•烟台期末）甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为 　　．
14．（5分）（2021春•烟台期末）已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2，3，4，则其体对角线长度为 　　．
15．（5分）（2021春•烟台期末）类比是研究数学问题的重要方法之一．数学家波利亚曾说：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理：“设的两边，则．”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则 　　．
16．（5分）（2021春•烟台期末）在三棱锥中，面面，，，则该三棱锥外接球的表面积为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021春•烟台期末）如图，在空间四边形中，，，，分别为棱，，，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当对角线与满足什么条件时，四边形为正方形？（给出一个满足题意的条件即可，不必证明）．

18．（12分）（2021春•烟台期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级，，的概率分别是，，．
（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率．
19．（12分）（2021春•烟台期末）为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高学生成绩，2，3，，的平均分，方差，高二学生的成绩，2，3，，的统计表如下：
成绩
4
5
6
7
8
9
频数
3
7
11
9
6
4
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．
20．（12分）（2021春•烟台期末）如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

21．（12分）（2021春•烟台期末）《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间，和，的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件 “两人的测试成绩分别位于，和，”，求（A）．

22．（12分）（2021春•烟台期末）如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥．

（1）若点为的中点，求证：平面；
（2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角（锐角）的余弦值．


2020-2021学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•烟台期末）空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
【解答】解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等；
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那么这两个角互补；
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故选：．
2．（5分）（2021春•烟台期末）抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设事件 “点数为奇数”， “点数为4”，则与的关系为　　
A．互斥 B．相等 C．互为对立 D．相互独立
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，
观察朝上一面的点数，设事件 “点数为奇数”， “点数为4”，
则事件与不能同时发生，但能同时不发生，
故与是互斥事件．
故选：．
3．（5分）（2021春•烟台期末）已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为1，那么原三角形的面积为　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
4．（5分）（2021春•烟台期末）某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为　　
A．120 B．160 C．180 D．460
【解答】解：设样本中高一学生数为，则高三学生数为，
得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，
，
解得，
高一学生数为，
高二学生数为，
高三学生数为．
样本容量为：．
故选：．
5．（5分）（2021春•烟台期末）某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：第二次才能打开门是指第一次没有打开门，第二次打开门，
所以第二次才能打开门的概率为．
故选：．
6．（5分）（2021春•烟台期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解答】解：若，，则或或与相交，故错误；
若，，则或或与相交，故错误；
若，则垂直所有与平行的直线，又，所以，故正确；
若，，则或与相交，故错误．
故选：．
7．（5分）（2021春•烟台期末）给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数、第50百分位数分别为　　
A．11，17 B．11，21 C．12，17 D．12，21
【解答】解：，第30百分位数是第二个数12；
，第50百分位数是第三个数17与第四个数25的平均数21．
故选：．
8．（5分）（2021春•烟台期末）在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的　　

A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以的面积为：
．
又，所以，
设点，到平面的距离分别为，，
所以，
所以．
所以这个容器最多可盛原三棱锥容器的．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021春•烟台期末）下列说法正确的有　　
A．两条相交直线确定一个平面
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度
D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖
【解答】解：对于

如图任取直线上与不重合的另一点，直线上与不重合的另一点，
则点，，三点不共线，公里2：不在同一条直线上的三点可以确定一个平面，
所以过点，，有且只有一个平面，
由，，结合公里一可得：，同时，
所以过两条相交直线，有且只有一个平面，即两条相交直线确定一个平面，故正确；
对于：平行于同一平面的两条直线平行，相交，异面，故错误；
对于：标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故正确；
对于：若某种奖券的中奖率为0.1，只能表示抽一次中奖的可能性为0.1，不能表示抽奖10次必有一次中奖，故错误；
故选：．

10．（5分）（2021春•烟台期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则　　
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面的面积的最大值为
D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
【解答】解：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以圆锥的母线长，则：
对于，圆锥的体积，故错；
对于，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，，故正确；
对于，当圆锥截面为圆锥的轴截面时，其面积最大值，最大值为，故正确；
对于，从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为圆锥展开图中线段的长度，．故正确．
故选：．

11．（5分）（2021春•烟台期末）在正方体中，点为线段上一动点，则　　

A．对任意的点，都有
B．三棱锥的体积为定值
C．当为中点时，异面直线与所成的角最小
D．当为中点时，直线与平面所成的角最大
【解答】解：连接，，，
在正方体中，底面正方形中，，
又平面，平面，
则，又，
所以平面，又平面，
则，同理可证且，
则平面，又点在上，则平面，
故，故选项正确；
设点到平面的距离为，
由等体积法，
因为平面，
所以，
则为定值，即三棱锥的体积为定值，
故选项正确；
在上取点，使得，因为，且，
所以，且，则四边形为平行四边形，
又平面，又平面，
则，故四边形为矩形，
过作交，分别于点，，
又平面，平面，
则，
又为与所成的角，
又因为，，
则为与所成的角，设为，
设正方体的棱长为1，，则，
则，
当时，，
因为，所以，
故当，即时，取最小值，则取最小值，这时与重合，
当时，与重合，此时，
综上所述，当与重合时，异面直线与所成的角最小，
故选项错误；
当为的中点时，为的中点，为的中点，
又因为与平面所成的角为，设，
则，
又，
故当时，取得最小值，则取得最大值，故最大，
所以当为中点时，直线与平面所成的角最大，
故选项正确．
故选：．

12．（5分）（2021春•烟台期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 “表示的四位数能被3整除”， “表示的四位数能被5整除”，则　　

A．（A） B．（B） C． D．
【解答】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
基本事件总数，
设事件 “表示的四位数能被3整除”，
事件包含的四位数有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6个，
（A），故正确；
“表示的四位数能被5整除”，
事件包含的基本事件有：1115，1155，1515，1555，5555，5115，5155，5515，共8个，
（B），故错误；
事件包含的基本事件有：
1155，1515，1551，5511，5115，5151，1115，1555，5555，5155，5515，共11个，
，故正确；
包含的基本事件有：1155，1515，1551，5115，共3个，
，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•烟台期末）甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为 　0.94　．
【解答】解：甲、乙两人打靶，甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，
甲、乙分别向同一靶子射击一次，
则该靶子被击中的对立事件为甲乙两人都没有击中，
该靶子被击中的概率为：
．
故答案为：0.94．
14．（5分）（2021春•烟台期末）已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2，3，4，则其体对角线长度为 　　．
【解答】解：设此长方体的棱长分别为，，，则，，，可得，
解得，，，
这个长方体的对角线长．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•烟台期末）类比是研究数学问题的重要方法之一．数学家波利亚曾说：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理：“设的两边，则．”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则 　　．
【解答】解：线的关系类比到面的关系，猜测：．
证明如下：
如图作连，则．






，
故答案为：．

16．（5分）（2021春•烟台期末）在三棱锥中，面面，，，则该三棱锥外接球的表面积为 　　．
【解答】解：如图，

，的中点为的外心，
，则为等边三角形，设其外心为，
分别过、作平面与平面的垂线，两垂线相交于，
则为三棱锥外接球的球心，则，
又，
，
该三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021春•烟台期末）如图，在空间四边形中，，，，分别为棱，，，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当对角线与满足什么条件时，四边形为正方形？（给出一个满足题意的条件即可，不必证明）．

【解答】解：（1）证明：连接，因为，分别为棱，的中点，
所以，，同理，，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
（2）当且时，四边形为正方形．
证明：连接，因为，分别为，的中点，
则，，
由（1）可知，，，又且，
所以且，
所以四边形为正方形．

18．（12分）（2021春•烟台期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级，，的概率分别是，，．
（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率．
【解答】解：（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”．
由题意，事件，，，两两互斥，
所以．
又 “延迟送达且被罚款”，
所以．
因此“延迟送达且被罚款”的概率为．
（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”， ，2．
则“两单共获得的奖励为0元”即事件，
且事件，，互斥，
又，
又，
所以
．
19．（12分）（2021春•烟台期末）为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高学生成绩，2，3，，的平均分，方差，高二学生的成绩，2，3，，的统计表如下：
成绩
4
5
6
7
8
9
频数
3
7
11
9
6
4
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．
【解答】解：（1）由题意可得，，
；
（2）由（1）可得，，
．
20．（12分）（2021春•烟台期末）如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

【解答】（1）证明：，，，
平面，
又平面，，
又直三棱柱中，，
四边形为正方形，则．
，平面，而平面，
；
（2）解：过作，垂足为，连，则平面，为与平面所成的角．
，，
，得．
在△中，，．
在△中，有．
．

21．（12分）（2021春•烟台期末）《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间，和，的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件 “两人的测试成绩分别位于，和，”，求（A）．

【解答】解：（1）由已知，解得．
（2）测试成绩的平均数．
测试成绩落在区间，的频率为，
落在区间，的频率为，
所以设第57百分位数为，有，
解得；
（3）由题知，测试分数位于区间，、，的人数之比为，
所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间，中3人，用，，表示，
在区间，中2人，用，表示，
从这5人中抽取2人的所有可能情况有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，
其中“落在区间，和，”有6种，
所以．
22．（12分）（2021春•烟台期末）如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥．

（1）若点为的中点，求证：平面；
（2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角（锐角）的余弦值．

【解答】解：（1）证明：取中点，连，则，．
又因为，，
所以，．
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面
所以平面．
（2）延长，交于点，则为平面与平面的交线
因为，，所以．
三角形中，因为，为的中点，
所以，
又因为，，
所以平面，平面，
所以．
又因为，所以平面．平面，所以．
在三角形中，过作，垂足为，连接，因为．
所以平面，平面，所以．
所以为二面角的平面角．

在中，，，，
由，所以，．
在中，，，．
所以．
即面与面所成二面角（锐角）的余弦值为．

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