2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2021秋•宜春期末）已知，4，5，，，则　　

A．，3， B．，4， C．，3，4， D．，4，5，

2．（5分）（2021春•深圳期末）复数的共轭复数是（其中为虚数单位），则的虚部是　　

A． B． C． D．

3．（5分）（2021春•深圳期末）已知向量，，则向量与夹角的大小为　　

A． B． C． D．

4．（5分）（2021春•深圳期末）已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为　　

A．12.4 B．12.3 C．12.2 D．12.1

5．（5分）（2021春•深圳期末）已知，，则的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021春•深圳期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的　　

A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍

7．（5分）（2021春•深圳期末）已知函数，则“”是“在处取得最大值”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（5分）（2021春•深圳期末）已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）（2021春•深圳期末）人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况．则下列说法正确的是　　

A．年均增长率逐次减小 

B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是 

C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小 

D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大

10．（5分）（2021春•深圳期末）把函数的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列说法正确的是　　

A．函数的最小正周期为 

B．直线是函数图象的对称轴 

C．函数在区间上的最小值为 

D．点为函数的图象的一个对称中心

11．（5分）（2021春•深圳期末）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）（2021春•深圳期末）如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是　　

A．异面直线与所成的角为 

B．平面截四面体所得截面周长不变 

C．平面截四面体所得截面不可能为正方形 

D．该四面体的外接球表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2021春•深圳期末）求值：　　．

14．（5分）（2021春•深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为 　　．

15．（5分）（2021春•深圳期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 　　．

16．（5分）（2021春•深圳期末）已知函数，，若，，，，则的取值范围是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•深圳期末）已知，，均为复数，在复平面内，对应的点的坐标为，对应的向量坐标为，且（其中为虚数单位）．

（1）求；

（2）求．

18．（12分）（2021春•深圳期末）在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

19．（12分）（2021春•深圳期末）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，，，，，，，（时间均在，内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．

（1）求，的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．

20．（12分）（2021春•深圳期末）如图，在中，，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，．

（1）用，表示，；

（2）如果，，且，求．

21．（12分）（2021春•深圳期末）如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．

（1）在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；

（2）在图2中求二面角的大小．

22．（12分）（2021春•深圳期末）已知函数．

（1）试判断函数的单调性，并画出函数图象的草图；

（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2021秋•宜春期末）已知，4，5，，，则　　

A．，3， B．，4， C．，3，4， D．，4，5，

【解答】解：集合，4，5，，集合，

，4，．

故选：．

2．（5分）（2021春•深圳期末）复数的共轭复数是（其中为虚数单位），则的虚部是　　

A． B． C． D．

【解答】解：复数的共轭复数是（其中为虚数单位），

，

则的虚部，

故选：．

3．（5分）（2021春•深圳期末）已知向量，，则向量与夹角的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，设向量与夹角为，

向量，，则，，，

故，

又由，则，

故选：．

4．（5分）（2021春•深圳期末）已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为　　

A．12.4 B．12.3 C．12.2 D．12.1

【解答】解：根据题意，一组数据如下：1，2，5，6，11，其平均数，

则其方差，

故选：．

5．（5分）（2021春•深圳期末）已知，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

．

，

．

．

故选：．

6．（5分）（2021春•深圳期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的　　

A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍

【解答】解：某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，

经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，

设湖泊中原来蓝藻数量为，则，

经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：．

经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．

故选：．

7．（5分）（2021春•深圳期末）已知函数，则“”是“在处取得最大值”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：，

所以当，时，有最大值2；

所以“”是“在处取得最大值”的充分不必要条件．

故选：．

8．（5分）（2021春•深圳期末）已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，，，错误，

、，，正确，

、当，，时，，，，错误，

、当，，时，，，，错误，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）（2021春•深圳期末）人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况．则下列说法正确的是　　

A．年均增长率逐次减小 

B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是 

C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小 

D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大

【解答】解：由图可知，第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故选项错误；

第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是，故选项正确；

由图可知，这七次普查的人口数逐次增加，且第七次增幅最小，故选项错误；

由图可知，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故选项正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•深圳期末）把函数的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列说法正确的是　　

A．函数的最小正周期为 

B．直线是函数图象的对称轴 

C．函数在区间上的最小值为 

D．点为函数的图象的一个对称中心

【解答】解：由题意知，，

对于，最小正周期，即选项正确；

对于，令，，则图象的对称轴为，，显然不符合，即选项错误；

对于，，，，

当，即时，，即选项正确；

对于，令，，则，，

图象的对称中心为，，

当时，图象的对称中心为，，即选项正确．

故选：．

11．（5分）（2021春•深圳期末）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

，，的关系有下列三种情况：，，，由图象可看出，与不可能相等，错误，都正确．

故选：．

12．（5分）（2021春•深圳期末）如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是　　

A．异面直线与所成的角为 

B．平面截四面体所得截面周长不变 

C．平面截四面体所得截面不可能为正方形 

D．该四面体的外接球表面积为

【解答】解：对于，如图，取得中点，连接和，

，，

，，

又，且，平面，

平面，

平面，

，

即异面直线与所成的角为，故正确；对于，如图，平面与四面体的交点分别为，，，，

，平面，且平面，

，则，

同理得，，，

，，

，

即平面截四面体所得截面周长不变，为，故正确；

对于，当时，即、分别是，的中点，此时，

，

且、共面，

，

所以四边形为正方形，故错误；

对于，作的中点，连接，取中点，易得，

则为四面体外接球的球心，，

，

则半径，

，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2021春•深圳期末）求值：　5　．

【解答】解：原式．

故答案为：5．

14．（5分）（2021春•深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为 　0.994　．

【解答】解：根据题意，甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，

则三人都没有中靶的概率，

则三人中至少有一人中靶的概率；

故答案为：0.994．

15．（5分）（2021春•深圳期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 　　．

【解答】解：如图，取中点，连接、，则，

，，，面，

，

就是直线与平面所成的角，

，．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•深圳期末）已知函数，，若，，，，则的取值范围是 　，，　．

【解答】解：记在区间，上的最小值为，在区间的最大值为，

由题意可知，

由，可得，

由，可得，

由，得

解之，得或，

所以，的取值范围是，

故答案为：，，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•深圳期末）已知，，均为复数，在复平面内，对应的点的坐标为，对应的向量坐标为，且（其中为虚数单位）．

（1）求；

（2）求．

【解答】解：（1）由题意知，

解方程，得，

化简得．

（2）由题意知，则，

所以．

18．（12分）（2021春•深圳期末）在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

【解答】解：（1）将，展开得，

由正弦定理得，

由余弦定理得，

因为，

所以．

（2）根据余弦定理，，

因为的面积为，所以，

因为，所以，解之，得，

所以的周长为．

19．（12分）（2021春•深圳期末）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，，，，，，，（时间均在，内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．

（1）求，的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．

【解答】解：（1）由于，则，

且，则，

于是，

那么平均值为，

（2）由于第二组和第四组的频率之比为：，

则分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人，

设两个人来自于不同组为事件，

基本事件总数为，

事件包含的基本事件数为，

（A）．

20．（12分）（2021春•深圳期末）如图，在中，，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，．

（1）用，表示，；

（2）如果，，且，求．

【解答】解：（1）由图可得，

；

（2）由（1）可知，，

所以，

由，可得，

则．

21．（12分）（2021春•深圳期末）如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．

（1）在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；

（2）在图2中求二面角的大小．

【解答】解：（1）在上取点，使得，

过作的平行线交于点，连接，，

因为且，

又且，

所以且，

故四边形为平行四边形，

故，

又平面，平面，

所以平面；

（2）如图，记点在线段上射影为，过点作的垂线，垂足为，连接，

因为，，，，平面，

所以平面，又平面，

所以，

则为二面角的平面角，

在矩形中，，，则，，，

又，所以，可得，

故，则，

所以二面角的大小为．

22．（12分）（2021春•深圳期末）已知函数．

（1）试判断函数的单调性，并画出函数图象的草图；

（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【解答】解：（1）

当时，函数为单调减函数，值域为；

当，时，函数为单调增函数，值域为，．

画出函数的草图，如图所示：

（没有画渐近线的扣1分）

（2）关于的方程有两个不等实数根．

设，，结合图象可知，

一元二次方程有两个不相等的实数根，，满足下列情况时符合题意：

①当，时，则由二次函数的图象与性质可得，即解之，得；

②当，时，则由得，代入方程得不合题意；

③当时，则△，解之，得或，

当时，（舍去），时，符合题意；

④当且都在，内时，则有得．

综上所述，的范围是．

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