初中21.1 二次函数第3课时教案及反思

21.6  综合与实践   获取最大利润

教学目标

【知识与技能】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.

【过程与方法】

应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.

【情感、态度与价值观】

在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.

重点难点

【重点】

二次函数在最优化问题中的应用.

【难点】

从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.

教学过程

一、问题引入

在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢?

本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.

做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?

我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.

因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m.

一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.

二、新课教授

问题1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地面积S最大?

师生活动:

学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.

教师巡视、指导,最后给出解答过程.

解:矩形场地的周长是60 m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0<l<30).

因此,当l=-=-=15(m)时,S有最大值==225(m2).

即当l是15 m时,场地面积S最大,最大值是225 m2.

问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

师生活动:

教师分析存在的问题,书写解答过程.

分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.

设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为

y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)

即y=-10x2+100x+600

=-10(x2-10x)+600

=-10(x2-10x+25)+850

=-10(x-5)2+850(0≤x≤30)

所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.

思考:在降价的情况下,最大利润是多少?

(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)

思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗?

(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)

问题3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少?

师生活动:

学生完成解答.

教师分析存在的问题,书写解答过程.

分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.

可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.

由抛物线经过点(2,-2),可得

-2=a×22,解得a=-,

这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.

水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=±.

故水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m.

让学生回顾解题过程,讨论、交流、归纳解题步骤:

(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;

(2)研究自变量的取值范围;

(3)研究所得的函数;

(4)检验x的取值是否是自变量的取值范围内,并求相关的值;

(5)解决提出的实际问题.

学生尝试从前面四道题中找到解题规律.

教师补充学生回答中的不足,及时纠正.

三、巩固练习

1.已知二次函数y=(3+x)(1-2x),当x=　　　　时,函数有最　　　　值,为　　　　. 

【答案】-　大　

2.二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于(　　)

A.4　　　B.8　　　C.-4　　　D.16

【答案】D

3.沿墙用长32 m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面),怎样围才能使矩形护栏面积最大?最大面积为多少?试画出所得函数的图象.

【答案】围成的矩形一边长为8 m、另一边长为16 m可使矩形护栏的面积最大,最大面积为128 m2.图象略.(注意自变量的取值范围)

4.某旅社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前的日租金总收入增加多少元?

【答案】将每间客房的日租金提高到75元时,总收入最高,比装修前的日租金总收入增加750元.

5.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(台)之间的函数关系如下表所示:

　　并且日销售量y是每件售价x的一次函数.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售的利润是多少?

【答案】(1)y=-x+200

(2)销售利润S=(-x+200)(x-120),当售价定为每件160元时,每日销售利润最大为1 600元.

四、课堂小结

1.得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤:

(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;

(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

2.解题循环图:

教学反思

本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题的设置引导学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.

所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.

就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中.今后继续发扬从学生出发,从学生的需要出发,把问题的难度降低,让学生在能力范围内掌握新知识,等有了足够的热身运动之后再去拓展延伸.