河北省唐山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

数学学科试卷

I卷

一、选择题（共12题，每题5分）

1. 已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　　)

A．76       B．2      C．27    D．2

2. 已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

3、下列不等式中，正确的是(    )

A．若，则     B．若，则

C．若，则     D．若，则

4、设等差数列的前n项之和为，已知，则=（   ）

A．12            B．20           C. 40         D．100

5、记为等比数列的前n项和，若，，则（   ）

A．  B．  C．  D．

6、如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(单位：米)(　　)

A．10　       B．10　    　C．10　  　 D．10

7、若满足约束条件,则的最大值为(  )

A.-6, B.-2   C.4 D.2

8、 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠

算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学

问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生

年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，

这位公公年龄最小的儿子年龄为（    ）

A．8岁         B．11岁           C．20岁         D．35岁

9、在区间上随机取两个实数，，使得的概率为（    ）

A． B． C． D．

10、某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得回归方程＝x＋中≈－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为(　　)

A．58度　　　　　 B．66度

C．68度  D．70度

11、记为等比数列的前n项和,若数列也为等比数列,则(  )

A. 2 B. 1 C. D.

12、已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10．5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为(　　)

A．10，11    B．10．5，9．5   C．10．4，10．6    D．10．5，10．5

II卷

二、填空题（共4小题，每题5分）

13．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，________，________，________.

(下面摘取了随机数表第7行至第9行)

14. 在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为        ．

15. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

16、若,则4x+9y的最小值为____

三、解答题（共6题）

17、(满分10分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示:

1.估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;

2.若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率.

18、(满分12分)已知向量，满足||＝，＝(1，－3)，且(2＋)⊥.

(1)求向量的坐标．

(2)求向量与的夹角．

19、(满分12分)已知非零数列满足，且的等差中项为6.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的值.

20、(满分12分)的内角的对边分别为已知的面积为.

（1）求；

（2）若求的周长.

21、(满分12分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的师生中抽取10人，则评分在[60,80)内的师生应抽取多少人？

(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．

22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，

cos B＝，b＝3.

求：(1)a和c的值；

(2)cos(B－C)的值．

答案

一、选择题

1、解析：选B　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2.故选B.

2、答案　A  解析　根据已知，有＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6，8)，因为·＝8×2＋(－4)×4＝0，

所以⊥，即∠BAC＝90°.

故△ABC为直角三角形．

3、答案：A

解析：若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A

4、答案：B解析：由等差数列的前n项和的公式得：，即；

而，

5、答案：D

解析：设公比为q，有解得则．

6、. 【答案】B　

【解析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，从而有BC＝x.在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，由正弦定理得＝，BC＝＝10＝x，解得x＝10，所以塔AB的高是10米．故选B．

7、C

8、B

9、【答案】D

【解析】由题意，在区间上随机取两个实数，，对应的区域的面积为16．

在区间内随机取两个实数，，则对应的面积为，

∴事件的概率为．故选D．

10、解析：选C　由表知＝＝10，＝＝40，因为回归直线一定过点(10,40)，则40＝－2×10＋，则＝60，则＝－2x＋60.当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.

11、答案：A

解析：设 等 比 数 列 的 公 比 为q,当时，，显 然不 为 等 比 数 列 ，舍去，当时 , ，欲 符 合 题 意 ，需

，得，故，故选 A.

12、答案　D

解析　由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，

依题意，得＝10．5，即b＝21－a．

因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13．7＋18．3＋20)÷10＝10，

所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．

又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，

所以当a＝－＝10．5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10．5．

二、填空

13.答案　331　455　068　047　447

14、解析：根据正弦定理，得

sin C＝＝sin 30°＝.

∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝；

当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×sin 30°＝.

答案：或

15、答案　

解析　在△ABH中，BH＝AB＝1，

∵BC＝3，∴BH＝BC.

∴＝＋＝＋.

∵M为AH的中点，

∴＝＝＋.

∵＝λ＋μ，

∴λ＋μ＝＋＝.

16、12

三、解答题

17、1．这名乘客中候车时间少于分钟的频率为,

所以这名乘客中候车时间少于分钟的人数大约为.
2.将第三组乘客编号为,第四组乘客编号为,从人中任选人共包含以下个基本事件:

,,,,

其中人恰好来自不同组包含以下个基本事件: ,.

于是所求概率为.

18、[解]　(1)设＝(x，y)，

因为||＝，则＝，①

又因为＝(1，－3)，且(2＋)⊥，

2＋＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1，2y－3)，

所以(2x＋1，2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②

由①②解得或

所以＝(1，2)或＝(－2，1)．

(2)设向量与b的夹角为θ，

所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝＝＝－，

因为0≤θ≤π，所以向量与b的夹角θ＝.

19、解：（1）非零数列满足，数列为以3为公比的等比数列；

当n=1时

因为的等差中项为6，所以

联立①②得， 所以

（2）将代入得到

所以

所以

20、解：（1）由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

（2）由题设及（1）得，即.

所以，故.

由题设得，即.由余弦定理得，即，得.

故的周长为.

21、解　(1)由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)×10＝1，解得a＝0.006.

(2)由频率分布直方图可知，评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生人数之比为(0.004＋0.006)∶(0.022＋0.028)∶(0.022＋0.018)＝1∶5∶4，所以评分在[60,80)内的师生应抽取10×＝5(人)．

(3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为＝45×0.004×10＋55×0.006×10＋65×0.022×10＋75×0.028×10＋85×0.022×10＋95×0.018×10＝76.2.因为76.2>75，所以食堂不需要内部整顿．

22、解：(1)由·＝2，得cacos B＝2.

又cos B＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B．

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.

解得或

因为a>c，所以a＝3，c＝2.

(2)在△ABC中，

sin B＝＝＝，

由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.

因为a＝b>c，所以C为锐角，

因此cos C＝＝＝.

于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.