黑龙江省大庆市重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019级高一学年下学期期末考试

数学试题

试题说明：1、本试题满分  150     分，答题时间   120   分钟。         

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）

1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）

A． B．a2＞b2 C．ab＞b D．a3＞b3

2．已知直线l1；2x+y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（　　）

A．8 B．2 C．﹣ D．﹣2

3．在等差数列中，，，则（    ）

A．            B．             C．              D．0

4.在中，已知，，，则（    ）

A.45°  B.135°  C.45°或135°  D.以上都不对

5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（　　）

A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥β 

C．若α⊥β，则n∥α D．若α⊥β，则m⊥n

6．已知等比数列的前n项和，则（    ）

A．1            B．          C．    D．

7．已知点，则直线的倾斜角为（    ）

A．        B．        C．        D．

8.网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A. B. 

C. D.

第8题图

9.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为（    ）

A．201         B．191      C．184        D．174

10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

        第10题图

11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（    ）

A．    B．      C．   D．

12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为（　　）

A．6π B．12π C．16π D．48π

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为__________．

14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为__________．

15．已知正数，满足，则的最小值为__________．

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin2A+cosB＝1，则的取值范围为　   　．

三、解答题 (共70分)

17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为，，，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求的值．

18．（本小题满分12分）已知数列，是其前n项和，且满足，．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD中，A（﹣1，4），B（2，3），C（﹣2，﹣2）．

（1）求直线AD的方程；

（2）求平行四边形ABCD的面积．

20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD．

（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；

（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积．

                                                                    第20题图

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．

（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；

（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2；

（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）如图，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；

（1）求圆C2的方程；

（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．

 第22题图

参考答案：

选择题

1.D   2.D  3. C  4.A  5.A  6.C  7.A  8.A  9.C  10.C  11.B  12.B

填空题

13. 2   14.   15. 49   16.（2，3）

解答题

17．【解】（1）因为，

所以由正弦定理得，

所以，

，

，

因为中，，

所以，所以．（6分）

（2）由余弦定理得，

所以，即，

解得或（负值舍去）．所以．（12分）

18．【解】（1）证明：由得，

两式相减得，

即，

所以，即，

故数列为等比数列．（6分）

（2）在中令，

得，所以．

由（1）知数列的公比为，所以，

所以，（8分）

所以

两式相减得

整理得．（12分）

19.【解】如图所示：

（1）AC中点为（﹣，1），该点也为BD中点，

设D（x，y），则，解得：，则D（﹣5，﹣1），

直线AD的方程为：y﹣4＝（x+1），即5x﹣4y+21＝0；

（2）直线BC的方程为：y﹣3＝（x﹣2），化简得：5x﹣4y+2＝0，

点A（﹣1，4）到BC的距离为：d＝＝，

又BC＝＝，

∴平行四边形ABCD的面积为：BC×d＝×＝19．

20.【解】（1）证明：设BD交AC于点O，连接PO，在菱形ABCD中，AC⊥BD，

又PB＝PD，O是BD的中点，∴PO⊥BD，

∵AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

又BD⊂平面ABCD，故平面PAC⊥平面ABCD；

（2）解：连接OM，∵M为PC的中点，且O为AC的中点，∴OM∥PA，

由（1）知，BD⊥PA，又PA⊥AC，

则BD⊥OM，OM⊥AC，

又AC∩BD＝O，∴OM⊥平面ABCD，

又，

OM＝，

∴＝．

∴三棱锥B﹣CDM的体积为1．

21.【解】（1）当a＝1时x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2

（2）由f（x）＜3a2，

∴（x﹣3a）（x+a）＜0

当a＞0时解集为（﹣a，3a）

当a＝0时解集为空集

当a＜0时解集为（3a，﹣a）

（3）由f（x）＞1得x2﹣2ax＞1，变形的2a＜，由函数单调性的相关知识：函数y＝x﹣在x∈（2，+∞）单调递增，

2a≤即a

22.【解】（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20，令x＝0，解得y＝0或4．

∵圆C2过O，A两点，∴可设圆C2的圆心C1（a，2）．

直线C2O的方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．

∵直线C2O与圆C1相切，∴＝，解得a＝﹣1，

∴圆C2的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝，化为：x2+y2+2x﹣4y＝0．

（2）存在，且为P（3，4）．

设直线OM的方程为：y＝kx．

代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x＝0．

xM＝，yM＝．

代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x＝0．

xN＝，yN＝．

设P（x，y），线段MN的中点E．

则×k＝﹣1，

化为：k（4﹣y）+（3﹣x）＝0，

令4﹣y＝3﹣x＝0，解得x＝3，y＝4．

∴P（3，4）与k无关系．

∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM＝PN始终成立．