2021-2022学年甘肃省定西市临洮县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年甘肃省定西市临洮县八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 要使式子有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 一个直角三角形的两边长分别为、，则第三条边长为

A.  B.  C.  D.  或

5. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 已知平行四边形的周长为，，则的长为

A.  B.  C.  D.

7. 顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形

8. 菱形具有而矩形不具有的性质是

A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等
C. 对角相等 D. 邻角互补

9. 如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于

A.   B.   C.   D.  

10. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形
 

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 已知直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高线长是______．
12. 函数中，自变量的取值范围是______．
13. 如果，则的值为______．
14. 如图，已知中，，，，那么边上的中线的长为______．
     

15. 若矩形的对角线长为，两条对角线的一个交角为，则该矩形的面积为______．
16. 平行四边形的周长是，，相交于点，的周长比的周长大，则______．
     

17. 已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是______．
     

18. 如图，，分别是正方形的边、上的点．且，、相交于点，下列结论：，，，中，错误的有______ 只填序号
     

三．解答题（本题共10小题，共66分）

19. ；
    ．
20. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？

21. 已知：如图，点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且求证：．
     

22. 先化简再求值：，其中，．
23. 如图，四边形是菱形，，，于点，求的长．
    
    
     

24. 如图，四边形是平行四边形，，，，求、以及平行四边形的面积．

25. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形．
     

26. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在处，求重叠部分的面积．
    
     

27. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
     

28.  问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．
    
    求证：四边形是正方形；
    延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
    类比迁移：如图，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．

 
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故本选项正确．
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据二次根式的加法及乘法法则进行计算，然后判断各选项即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，解答本题一定要掌握二次根式的混合运算的法则．
 

3.【答案】

【解析】解：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式，
故选：．
根据最简二次根式的条件进行判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
 

4.【答案】

【解析】解：当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为；
当为斜边时，由勾股定理得，第三边为；
故直角三角形的第三边应该为或．
故选：．
题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
 

5.【答案】

【解析】解：、因为，所以不能组成直角三角形；
B、因为，所以不能组成直角三角形；
C、因为，所以能组成直角三角形；
D、因为，所以不能组成直角三角形．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
根据平行四边形的性质得到 ， ，根据 ，即可求出答案．
【解答】
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
平行四边形 的周长是 ， ，
，
．
故选 B ．   

7.【答案】

【解析】解：如图，连接、．
在中，
，，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故选：．
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
 

8.【答案】

【解析】解：、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：．
与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
考查菱形和矩形的基本性质．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，根据、的值，求出的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解： 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 是平行四边形，当 时，它是菱形，故 A 选项正确；
B 、 四边形 是平行四边形，设 和 交于 点， ， ， ， ，
， 四边形 是菱形，故 B 选项正确；
C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确；
D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误；
综上所述，符合题意是 选项；
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：根据勾股定理，斜边长为，
根据面积相等，设斜边上的高为，
列方程得：，
解得．
故答案为：．
根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等，即可求出斜边上的高．
本题考查勾股定理的知识，注意利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．
 

12.【答案】且

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案是：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了非负数的性质，正确得出 ， 的值是解题关键．
首先利用偶次方的性质以及二次根式的性质进而得出 ， 的值，进而求出答案．
【解答】
解： ，
， ，
则 ．
故答案为： ．   

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半 解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
【解答】

解： ， ， ，
又 ，
是直角三角形，
，
故答案为 ．

15.【答案】

【解析】解：为矩形

一个角是

根据勾股定理
面积．
故答案为．
根据矩形的性质，画出图形求解．
本题考查的知识点有：矩形的性质、勾股定理．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，；
又的周长比的周长大，

，
又▱的周长是，
，
．
故答案为．
如图：由四边形是平行四边形，可得，，，；又由的周长比的周长大，可得，又因为▱的周长是，所以；解方程组即可求得．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，
，，
，
该菱形的面积是：．
故答案为：．
首先由四边形是菱形，求得，，，然后在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大．
根据正方形的性质可得 ， ，然后求出 ，再证明 和 全等，可得 ，从而判定出 正确；再根据全等三角形对应角相等可得 ，然后证明 ，再得到 ，从而得出 ，判断 正确；假设 ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 ，再根据直角三角形斜边大于直角边从而判断 错误；根据全等三角形的面积相等可得 ，然后都减去 的面积，即可得解，从而判断 正确．
【解答】
解：在正方形 中， ， ，
，
，
即 ，
在 和 中， ，
≌ ，
，故 正确；
，
，
，
在 中， ，
，故 正确；
假设 ，
已证 ，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ，
在 中， ，
，这与正方形的边长 相矛盾，
所以，假设不成立， ，故 错误；
≌ ，
，
，
即 ，故 正确；
综上所述，错误的有 ．
故答案为 ．   

19.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则是矩形，
连接，
，，，
在中，，
故小鸟至少飞行．

【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
，，
在与中，

≌，
．

【解析】由同角的余角相等知，，由正方形的性质知，，，则证得≌．
此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．关键是由同角的余角相等知，．
 

22.【答案】解：原式

，
当，时，
原式

．

【解析】先通分算括号内的，再将除化为乘，分解因式约分，化简后将、的值代入．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把分式化简．
 

23.【答案】解：菱形面积是，
，，
，，
，
则，
解得．

【解析】利用已知的对角线求出菱形的面积以及菱形的边长，再根据菱形面积底高求出长．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的两个面积公式．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
．

【解析】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
由四边形是平行四边形，可求得，又由，利用勾股定理即可求得的长，然后由平行四边形的对角线互相平分，求得的长，继而求得平行四边形的面积．
 

25.【答案】证明：连接，如图所示．
点是的中点，点是的中点，
，．
同理，可得出：，，
，，
四边形是平行四边形．

【解析】连接，由点是的中点、点是的中点，可得出为的中线，进而可得出、，同理，可得出、，即、，再利用平行四边形的判定定理即可证出四边形是平行四边形．
本题考查了中点四边形、中线以及平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出、是解题的关键．
 

26.【答案】解：设，依题意可知，矩形沿对角线对折后有：
，，
≌


在中有
即
解得．
．

【解析】矩形翻折后易知，利用直角三角形，用勾股定理求出长，也就是长，．
翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段．
 

27.【答案】解：连接
，，，
，
在中，
，
是直角三角形，
，
，
．
答：四边形的面积是．

【解析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
 

28.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；

解：是等腰三角形，
理由：由知四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
是等腰三角形；
解：延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．

【解析】根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得≌，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形；
根据矩形的性质得，，利用可得≌，由全等三角形的性质得，由已知可得，即可得是等腰三角形；
延长到点，使，连接，利用可得≌，由全等三角形的性质得，，由已知可得，可得是等边三角形，则，等量代换可得．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．