2021-2022学年北京四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年北京四中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京四中八年级（下）期中数学试卷 题号一二三四总分得分      一、选择题（本大题共8小题，共16分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，下列二次根式中，最简二次根式是A.  B.  C.  D. 下列运算正确的是A.  B.  C.  D. 把直线向上平移个单位，得到的函数解析式为A.  B.  C.  D. 如图，为了测量一块不规则绿地，两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点，然后测量出，的中点，，如果测量出，两点间的距离是，那么绿地，两点间的距离是A.  B.  C.  D. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是A. ， B. ，
C. ， D. ，某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为千米，所用时间为分，与之间的函数关系如图所示．若他早上点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时分钟
B. 汽车一共行驶了千米的路程，上午点分到达植物园
C. 加油后汽车行驶的速度为千米时
D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
 已知两个一次函数，的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表所示：则的值是A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共8小题，共16分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．在▱中，，则______．如果一次函数的图象经过二、三、四象限，写出一组满足条件的，的值： ______ ， ______ ．年月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图所示如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，那么的值为______．如图，▱的对角线与相交于点，若，则______，______．
  如图，一架梯子长米，底端离墙的距离为米，当梯子下滑到
时，米，则______米．
在如图所示的正方形网格中，点，，，，均是网格线的交点，则______


  如图，一次函数与的图象交于点下列结论中，所有正确结论的序号是______．




关于的不等式的解集为：
 三、计算题（本大题共1小题，共12分）计算：
；
；
． 四、解答题（本大题共11小题，共66分）如图，在▱中，点、分别在，上，且，连接，．
求证：．已知，分别是的整数部分和小数部分．
分别写出，的值．
求的值．如图，在中，，，，求和的长．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与．
求这个一次函数的解析式；
在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出：
当时，的取值范围是______；
当时，的取值范围是______；
若点是轴上一点，且的面积是，求点的坐标．
网购为人们的生活提供了便利的同时，也促进了快递业务的发展．小栗购买了一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．
甲公司：物品重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每
千克元计价．
乙公司：按物品重量每千克元计价，外加一份包装费元．
设物品的重量为千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为，．
直接写出关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
图中给出了与的函数图象，请在图中画出中的函数图象；
小栗需要快递的物品重量为千克，如果想节省快递费用，结合图象
指出，应选择的快递公司是______．
如图，在▱中，点是边的中点，连接并延长与的延长线
交于点．
求证：；
若，，，连接，求的长．
在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与直线交于点，与轴交于点．
当点的纵坐标为时，直接写出点的坐标及的值；
当点的横坐标满足时，求实数的取值范围．
小齐和小萍根据所学一次函数的经验，打算探究函数：的图象和性质，请和她们一起完善下面的研究过程．
自变量的取值范围为：______；
进一步化简函数解析式：
当时，______；
当时，______；
请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
若关于的方程：只有一个解，请直接写出的取值范围是______．
在中，，．

如图，点为边上一点，连接，以为边作，使得，，连接直接写出线段与的关系为：______；
若点为延长线上一点，连接，以为边在直线上方作，使得，，连接．
在图中补全图形．
探究线段，，之间的数量关系，并证明．
如图，点为外一点，若，，，求的度数．在学习二次根式的过程中，小柏发现一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．
类似地，，；
，；
根据小柏发现的规律，解决下列问题：
______，______；为正整数
若，则______．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，称点为点和的融合点．如和的融合点是．
点和的融合点坐标是______；
已知点和直线：设点是直线上任意一点，求证：当点在直线上移动时，点和的融合点始终在同一条直线上．
对于点和直线：，点是直线上任意一点，类似，可证明当点在直线上移动时，点和的融合点始终在同一条直线上，称该直线为点和直线的融合直线．已知直线：，点在直线上且纵坐标不为，点和直线的融合直线记为如图所示，若融合直线与正方形有公共点，请直接写出点的纵坐标的取值范围．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：、，
以，，为边构成的是等边三角形，不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，为边不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、，
以，，为边不能构成三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 2.【答案】【解析】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．．
 3.【答案】【解析】解：、原式，故此选项符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法运算法则判断，根据二次根式的性质进行分母有理化计算，判断，根据二次根式的加减法运算法则判断，根据二次根式的性质进行化简，判断．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加法和除法的运算法则是解题关键．
 4.【答案】【解析】解：由“上加下减”的法则可知，直线向上平移个单位后得到的函数解析式是．
故选：．
根据“上加下减”的法则即可得到结论．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 5.【答案】【解析】解：中，、分别是、的中点，
为三角形的中位线，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理即可求出．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 6.【答案】【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，
故A可以判断四边形是平行四边形．
B、，，
四边形是平行四边形，
故B可以判断四边形是平行四边形．
C、，，
四边形是平行四边形，
故C可以判断四边形是平行四边形．
D、，，
四边形可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形是平行四边形．
故选D．
根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
 7.【答案】【解析】【分析】
此题考查函数的图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：速度 路程 时间．
根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑，据此逐项判定即可．
【解答】
解： 、车行驶到一半路程时，加油时间为 至 分钟，共 分钟，故本选项正确，不符合题意；
B 、汽车一共行驶了 千米的路程， 点出发，耗时 分钟，上午 点 分到达植物园，故本选项正确，不符合题意；
C 、汽车加油后的速度为 千米 时，故本选项正确，不符合题意；
D 、汽车加油前的速度为 千米 时， ，加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度慢；故本选项不正确，符合题意．
故选：   8.【答案】【解析】解：两个一次函数，的图象相互平行，
，
解得：，
故选：．
由两个一次函数，的图象相互平行知两一次函数的斜率相等，据此列出方程求解可得．
本题主要考查两直线相交或平行的问题，掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同是解题的关键．
 9.【答案】【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 10.【答案】【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，．
故答案为：．
根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得，，又由，可得，．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心
 11.【答案】，答案不唯一【解析】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
其图象如图所示，
直线从左向右逐渐下降，
，
直线与轴的交点在轴的下方，
，
可取，
故答案为：，答案不唯一
可画出符合条件的一次函数的图象，由图象可取符合条件的数．
本题主要考查一次函数的图象，根据条件画出函数图象是解题的关键．
 12.【答案】【解析】解：大正方形的面积是，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
．
故答案是：．
根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
 13.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
，
，
在中，利用勾股定理可得．
．
故答案为：，．
利用平行四边形的性质可知，求出，在中利用勾股定理可得，则．
本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
 14.【答案】【解析】解：在中，根据勾股定理，可得：米，
米，
在中，米，
米，
故答案为：．
在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
 15.【答案】【解析】解：如图，连接、，
由勾股定理得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
如图，连接、，根据勾股定理的逆定理可得，从而知是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：，即可得解．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 16.【答案】【解析】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，
，，
故错误；
由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，
，，
，
故正确；
一次函数与的图象交于点，且的横坐标为，
，
故正确；
与轴的交点坐标为，
根据图象可知，，
，
故正确；
根据图象可知，不等式的解集为：，
故错误；
故答案为：．
根据一次函数图象与图象上点的坐标特征进行判断即可．
本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数图象与系数的关系以及图象上点的坐标特征是解题的关键．
 17.【答案】解：原式

；
原式
；
原式

．【解析】化简二次根式，然后先算乘法，再算加减；
利用平方差公式，二次根式的性质进行计算和化简，然后再算加减；
化简二次根式，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式是解题关键．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
．【解析】根据平行四边形的性质可得，，进而证得，从而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．
 19.【答案】解：，
，
，；
当，时，
原式


．【解析】估算无理数的大小即可得出答案；
把，的值代入代数式求值即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 20.【答案】解：过点作，垂足为，如图，
在中，
，，
，，
，，
，，
在中，
，，
，，
，
，．【解析】过点作，垂足为，如图在中，根据正弦和余弦可得，，根据已知条件可得和的长度，在中，由，的长度，可得，根据，即可算出，由即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形，根据题意添加辅助线构造直角三角形进行求解是解决本题的关键．
 21.【答案】  【解析】解：设一次函数的解析式为，
将点与点代入中，
得，
解得：，
一次函数解析式为．
在坐标系中画出该一次函数的图象如图；

观察图象，
当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是；
故答案为：；．

由题意知，
的面积，
，
，
点，
点的坐标为或．
设一次函数解析式为再将、两点坐标代入即可求出一次函数解析式．
利用两点法画出函数的图象，根据图象即可得出结论；
根据的面积求出的长，即可求得的坐标．
本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形面积，数形结合是解题的关键．
 22.【答案】甲【解析】解：与的函数表达式为：；
当时，；
当时，．
描点、连点成线，画出函数图象，如图：

由题意可知：当时，，
若，
解得，
即快递的物品重量为千克时，两个公司收费相同，
若快递的物品重量大于千克，则甲公司每千克收元，乙公司每千克收元，
小栗需要快递的物品重量为千克，如果想节省快递费用，应选择甲公司；
故答案为：甲．
根据题意可得出与的函数表达式；
根据一次函数图象上点的坐标特征找出与的函数图象经过的两点，描点、连点成线，即可画出中的函数图象；
结合的结论列方程，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用、一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用待定系数法求出相应的函数解析式．
 23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点为的延长线上的一点，
，
，，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：由得：，≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．【解析】根据平行四边形的性质可得到，从而可得到，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点是的中点，从而可根据来判定≌，根据全等三角形的对应边相等可证得，进而得出；
利用全等三角形的判定与性质得出，证出，利用等腰三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案．
此题主要考查学生对平行四边形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．
 24.【答案】解：将点的纵坐标代入，
得，
解得，
，
将点代入，
得，
解得，
，；
联立与，
解得，
点的横坐标满足，
，
解得，
的取值范围：．【解析】先将点纵坐标代入，求出点的横坐标，然后将点代入，即可求出；
先联立与，解出的值，然后再根据点的横坐标满足，列不等式组，即可求出的取值范围．
本题考查了一次函数的解析式与交点问题，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 25.【答案】任意实数      或【解析】解：当取任意实数时，函数都有意义，
故答案为：任意实数；
当时，，
故答案为：；
当时，，
故答案为：；
函数图象如图：

若与只有一个公交点，
根据中函数图象可知：或，
故答案为：或．
根据函数有意义的条件求解即可；
根据取值范围去绝对值即可；
根据中的解析式画图象即可；
根据中的图象求解即可．
本题考查了分段函数的图象与解析式，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 26.【答案】，【解析】解：，，理由如下：
如图，，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
；
故答案为：，；
如图所示，

，理由如下：
如图，，
，
即，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
；
如图，过点作，且，连接，，

是等腰直角三角形，
，，
由中可知：≌，
，
，，
，
，
．
由等腰直角三角形可得，证明≌，可得结论；
正确画图即可；
同理证明≌，可得，，最后根据勾股定理可得结论；
过点作，且，连接，，由求出，根据等腰直角三角形和勾股定理可得，最后由勾股定理的逆定理即可得出结论．
此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，判断出≌是解本题的关键．
 27.【答案】   【解析】解：，


，
故答案为：，；
，
，
，
解得，
故答案为：．
利用题中等式变形的规律求解；
先变形为，然后解关于的方程即可；
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 28.【答案】【解析】解：由定义知：和的融合点坐标是为，即，
故答案为：；
证明：设，
，
，的融合点为，
令，，
则，
；
点和的融合点始终在直线上；
解：设，，
若是直线：上任意一点，设，
则和的融合点为，
令，，
则，
，
即点和直线的融合直线为，
当，即时，
若直线过，则，
解得，
若直线过，则，
解得，
；
当，即时，
若直线过则，
解得，
若直线过则，
解得，
；
综上所述，点的纵坐标的取值范围是或．
由新定义直接可得答案；
设，可得，的融合点为，令，，即知点和的融合点始终在直线上；
设，，是直线：上任意一点，设，可得点和直线的融合直线为，分两种情况：当，即时，若直线过，得，若直线过，得，故；当，即时，同理得．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是理解新定义并能应用．