2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了象限等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）下列四个图形是国际通用的交通标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．xy+x2＝9 B．ax2+bx+c＝0 C．＝5 D．7x+6＝x2
3．（3分）下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
4．（3分）某班3位同学进行投篮比赛，每人投10次，平均每人投中8次，已知第一、三位同学分别投中8次，10次，那么第二位同学投中（　　）
A．6次 B．7次 C．8次 D．9次
5．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．
8．（3分）若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
9．（3分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
10．（3分）已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　）
①S四边形OMFN＝cm2；
②MN的长度为定值；
③△OMN的形状为等边三角形；
④的最小值为3．

A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④
二.填空题:本题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
12．（4分）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 　 　．
13．（4分）据统计，某车间10名员工每人日平均生产零件个数为6，方差为2.5，引入新技术后，每名员工每日都比原先多生产1个零件，则现在日平均生产零件个数为 　 　，方差为 　 　．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 　 　．

15．（4分）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 　 　．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝2，则k＝　 　．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）（1）计算：﹣+×
（2）解方程：3x（x+4）＝2（x+4）
18．（8分）学校抽查了某班级某月份其中5天的用电量，数据如下表（单位：度）：
度数
9
10
11
天数
3
1
1
（1）求这5天用电量的平均数，众数，中位数．
（2）学校共有30个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．
19．（8分）已知：线段a，b．
（1）尺规作图：作出一个菱形，使它的边长为a，另一条对角线为b（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若a＝5，b＝8，求该菱形的高线长．

20．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，线段BE，CF相交于点G．
（1）问：线段BE与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝3，CF＝4，求BE的长．

22．（12分）已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
23．（12分）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连结MG．若MG＝5，正方形边长为8，求BE的长．


2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）下列四个图形是国际通用的交通标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．xy+x2＝9 B．ax2+bx+c＝0 C．＝5 D．7x+6＝x2
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．（3分）下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据三角形中位线性质和平行四边形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以B选项错误；
C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以C选项正确；
D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．（3分）某班3位同学进行投篮比赛，每人投10次，平均每人投中8次，已知第一、三位同学分别投中8次，10次，那么第二位同学投中（　　）
A．6次 B．7次 C．8次 D．9次
【分析】设第二位同学投中x次，根据算术平均数的计算公式列方程即可得到结论．
【解答】解：设第二位同学投中x次，
∵平均每人投中8次，
∴＝8，
解得：x＝6，
∴第二位同学投中6次，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平均数，根据题意列方程是解题的关键．
5．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
【分析】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥且k≠1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出不等式是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．
【分析】根据∠EDC：∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出DC＝AC，进而求得CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝4，
∴EC＝DC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC＝30°是解题关键．
8．（3分）若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝（a＞1，x＜0），
∴a﹣1＞0，
∴y＝（a＞1，x＜0）图象在三象限，且y随x的增大而减小，
∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，
∴m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴y＝mx﹣m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【分析】把a＝1，x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△＝8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1判断二次函数的增减性．
【解答】解：A、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a＝﹣2时，∵△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（3分）已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　）
①S四边形OMFN＝cm2；
②MN的长度为定值；
③△OMN的形状为等边三角形；
④的最小值为3．

A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④
【分析】连接OF，由菱形的性质得出∠AFE＝120°，OA＝AF，∠A＝60°，∠OFN＝∠AFE＝60°，得出△AOF是等边三角形，得出OF＝OA，∠AOF＝60°，证明△AOM≌△FON得出OM＝ON，证出△OMN是等边三角形，得出②不正确，③正确，△AOM的面积＝△FON的面积，得出S四边形CMFN＝△AOF的面积＝cm2，①正确，当DM⊥AF时，OM最小，等边△OMN的面积最小＝，求出△FMN的面积＝，得出＝3，④正确；即可得出结论．
【解答】解：连接OF，如图所示：
∵四边形AFEO是菱形，
∴∠AFE＝120°，OA＝AF，∠A＝60°，∠OFN＝∠AFE＝60°，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝OA，∠AOF＝60°，
∵∠MON＝60°，
∴∠AOM＝∠FON，
在△AOM和△FON中，，
∴△AOM≌△FON（ASA），
∴OM＝ON，
∴△OMN是等边三角形，②不正确，③正确，△AOM的面积＝△FON的面积，
∴S四边形OMFN＝△AOF的面积＝×2×＝（cm2），①正确，
当OM⊥AF时，OM最小，等边△OMN的面积最小＝××＝，
∴△FMN的面积＝﹣＝，
∴＝3，④正确；
故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面积计算等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二.填空题:本题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．（4分）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 　x2﹣7x+2＝0　．
【分析】由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于（a＝1），可求出c值，由小刚看错了常数项c，利用两根之和等于﹣（a＝1），可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程．
【解答】解：∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1•x2＝1×2＝2；
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
13．（4分）据统计，某车间10名员工每人日平均生产零件个数为6，方差为2.5，引入新技术后，每名员工每日都比原先多生产1个零件，则现在日平均生产零件个数为 　7　，方差为 　2.5　．
【分析】新数据是在原数据的基础上分别加上1所得，据此新数据的平均数在原数据平均数基础上加1，数据的波动幅度不变．
【解答】解：根据题意，新数据是在原数据的基础上分别加上1所得，
所以现在日平均生产零件个数为6+1＝7，方差为2.5，
故答案为：7、2.5．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是根据题意得出新数据是在原数据的基础上分别加上1所得，据此新数据的平均数在原数据平均数基础上加1，数据的波动幅度不变．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 　40°　．

【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
15．（4分）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 　6或14　．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，可知顶点的纵坐标的绝对值是4，然后计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，
∴||＝4，
解得c1＝6，c2＝14，
故答案为：6或14．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝2，则k＝　　．
【分析】设点A（a，a+1），B（b，b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB＝2可得出b＝a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出•＝•＝k，解之即可得出k值．
【解答】解：设点A（a，a+1），B（b，b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），
∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，
∴b﹣a＝2，即b＝a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，
∴•＝•＝k，
解得：a＝﹣，
∴k＝•＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于a、b的方程是解题的关键．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）（1）计算：﹣+×
（2）解方程：3x（x+4）＝2（x+4）
【分析】（1）先化简二次根式、二次根式的乘法运算，然后计算加减法；
（2）先移项，再提取公因式即可得出x的值．
【解答】解：（1）原式＝﹣+2＝；

（2）由原方程，得
（3x﹣2）（x+4）＝0，
所以3x﹣2＝0或x+4＝0，
解得x1＝，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，二次根式的混合运算．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（8分）学校抽查了某班级某月份其中5天的用电量，数据如下表（单位：度）：
度数
9
10
11
天数
3
1
1
（1）求这5天用电量的平均数，众数，中位数．
（2）学校共有30个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式、众数、中位数的定义进行求解即可；
（2）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量．
【解答】解：（1）这5天用电量的平均数是：（9×3+10×1+11×1）÷5＝9.6（度）；
9度出现了3次，出现的次数最多，
则众数为9度；
第3天的用电量是9度，故中位数为9度；

（2）9.6×22×30＝6336（度），
答：估计该校该月用电6336度．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和用样本估计总体．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
19．（8分）已知：线段a，b．
（1）尺规作图：作出一个菱形，使它的边长为a，另一条对角线为b（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若a＝5，b＝8，求该菱形的高线长．

【分析】（1）作射线AM，在射线AM上截取AC＝b，分别以A，C为圆心，a为半径作弧，两弧交于B，D，连接AD，CD，AB，BC，四边形ABCD即为所求．
（2）连接BD交AC于点O，利用勾股定理求出OD，再利用面积法求出菱形的高h．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求．


（2）连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OD＝OB，
∴OD＝＝＝3，
∴BD＝6，
设菱形的高为h，则有5h＝×6×8，
∴h＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法取菱形的高．
20．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【分析】（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【解答】解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，线段BE，CF相交于点G．
（1）问：线段BE与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝3，CF＝4，求BE的长．

【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF；
（2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴EB⊥FC；
（2）解：如图，过A作AM∥FC，

∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝＝，
∴BE＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明AO＝MO．
22．（12分）已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式；
（2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围；
（3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴y1的函数表达式为y1＝；
（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，
∵k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵m＜1，
∴n＞6或n＜0；
（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直线经过点（3，2），
∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴当x＞0，两函数图象的交点为（3，2），
∵a＞0，
∴y2随x的增大而增大，
∴当0＜x＜3时，y1＞y2，
当x＝3时，y1＝y2，
当x＞3时，y1＜y2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．（12分）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连结MG．若MG＝5，正方形边长为8，求BE的长．

【分析】（1）①根据SAS证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；
②只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题①如图当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．由勾股定理分别求出EC即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
，
∴△DAH≌△DCH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形．

（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．

∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝10，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝6，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．

同法可证GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝10，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2．
综上所述，BE的长为14或2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/31 22:00:58；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474