2020-2021学年浙江省杭州市江干区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市江干区八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市江干区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≠2 C．x≤2 D．x≥2
3．（3分）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．（﹣）2＝﹣3 B．＝0.1 C．＝1 D．3＝
5．（3分）反比例函数的图象经过（﹣1，3）点，则这个反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝
6．（3分）某市四家工厂2019年和2020年的生产总值如表（单位：万元），则设这四家工厂2019年和2020年的平均生产总值分别为，，则﹣的值为（　　）
单位
A厂
B厂
C厂
D厂
2019年
400
510
330
680
2020年
420
550
300
810
A．40 B．55 C．160 D．220
7．（3分）某公司计划用32m的材料沿墙（可利用）建造一个面积为120m2的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为xm，则下列方程中正确的是（　　）

A．x（32﹣x）＝120 B．x（16﹣x）＝120
C．x（32﹣2x）＝120 D．x（16﹣x）＝120
8．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（　　）

A．85° B．90° C．95° D．105°
9．（3分）已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
10．（3分）在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　）

A．组1判断正确，组2判断正确
B．组1判断正确，组2判断错误
C．组1判断错误，组2判断正确
D．组1判断错误，组2判断错误
二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11．（4分）平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D＝　 　度．
12．（4分）在一分钟跳绳测试中，甲、乙两班的平均成绩都为182个，方差S2甲＝6.3，S2乙＝5.5，成绩更为稳定的班级是 　 　．（填“甲”或“乙”）
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是 　 　．

14．（4分）若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为 　 　．
15．（4分）定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”．
（1）若菱形成为正方形，则“对角线比”为 　 　；
（2）当“对角线比”为4，菱形面积为800时，菱形的边长为 　 　．
16．（4分）反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝　 　．
三、解答题:本大题有7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（1）﹣；
（2）（2+3）2．
18．（8分）用指定的方法解方程：
（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
19．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E．求证：四边形AFCE是平行四边形．

20．（10分）某学校从九年级同学中任意选取20人进行“引体向上”体能测试，前后进行了两次测试，第一次测试绘制成统计图，第二次测试绘制成统计表．
第二次测试成绩统计表
成绩
7
8
9
10
人数
1
5
10
4
（1）m＝　 　，第一次测试成绩的中位数是 　 　，第二次测试成绩的众数是 　 　；
（2）请计算第一次测试的平均成绩；
（3）若9分及以上为优秀，请计算两次测试中优秀人数增加的百分比（精确到0.1%）．

21．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF．
（1）求证：EM＝FM；
（2）若DE：AE＝2：1，设S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代数式表示）．

22．（12分）阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围．
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点，
∴△＝b2﹣16≥0．
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝　 　；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 　 　．
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围．

23．（12分）如图，在矩形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长交BC的延长线于点F，过G作EG⊥AF交直线BC于点E，连接AE．
（1）证明：∠DAG＝∠EAG；
（2）设＝k（k＞0）．
①若点E落在∠BAG的平分线上，求k的值．
②设m＝，求m关于k的函数表达式．


2020-2021学年浙江省杭州市江干区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．（3分）下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≠2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝540°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴（n﹣2）•180°＝540°，
∴n＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
4．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．（﹣）2＝﹣3 B．＝0.1 C．＝1 D．3＝
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．
B、原式＝＝，故B不符合题意．
C、原式＝＝，故C不符合题意．
D、原式＝3×＝，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
5．（3分）反比例函数的图象经过（﹣1，3）点，则这个反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝
【分析】设反比例函数为y＝（k≠0），把点（1，﹣3）代入求出k的值，从而得到反比例函数解析式．
【解答】解：设反比例函数为y＝（k≠0），
∵反比例函数的图象经过（﹣1，3）点，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
6．（3分）某市四家工厂2019年和2020年的生产总值如表（单位：万元），则设这四家工厂2019年和2020年的平均生产总值分别为，，则﹣的值为（　　）
单位
A厂
B厂
C厂
D厂
2019年
400
510
330
680
2020年
420
550
300
810
A．40 B．55 C．160 D．220
【分析】根据算术平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：＝＝480（万元），
＝＝520（万元），
则﹣＝520﹣480＝40（万元）．
故选：A．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
7．（3分）某公司计划用32m的材料沿墙（可利用）建造一个面积为120m2的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为xm，则下列方程中正确的是（　　）

A．x（32﹣x）＝120 B．x（16﹣x）＝120
C．x（32﹣2x）＝120 D．x（16﹣x）＝120
【分析】分别表示地处仓库的长和宽，然后根据矩形的面积计算方法列出方程即可．
【解答】解：设仓库中和墙平行的一边长为xm，则垂直于墙的边长为（16﹣x）m，
根据题意得：x（16﹣x）＝120，
故选：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出垂直与墙的边长，难度不大．
8．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（　　）

A．85° B．90° C．95° D．105°
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠DAF＝∠BAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE＝10°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAE，
设∠BAE＝∠DAF＝x，
∴∠DAE＝75°+x，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝75°+x，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝75°+x，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴x+75°+x+75°+x＝180°，
∴x＝10°，
∴∠BAD＝95°，
∴∠C＝95°，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
9．（3分）已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【分析】联立方程，求出交点坐标，再根据图像，判断选项的正误．
【解答】联立方程得：，
化简得：x²﹣x﹣2＝0．
解得x1＝2，x2＝﹣1，
交点坐标（2，k），（﹣1，﹣2k），
如图所示，
A．当x1＝x2＞2时，y1＜y2，排除A，
B．当x1＝x2＜2时，不能确定y1，y2大小，排除B，
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2，正确，
D．当y1＝y2＜k时，x1，x2大小不确定，排除D
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的点坐标比较，解题关键数形结合思想．
10．（3分）在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　）

A．组1判断正确，组2判断正确
B．组1判断正确，组2判断错误
C．组1判断错误，组2判断正确
D．组1判断错误，组2判断错误
【分析】组1：如图1，过线段CF的中点N作MN⊥AD并分别延长AF、DC交于点O．由题意得，直线MN是线段CF的垂直平分线，△ABE≌△AFE，得AB＝AF，故∠B＝∠AFB．由∠AFE与∠OFC是对顶角，得∠AFE＝∠OFC，故∠B＝∠OFC．由四边形ABCD是平行四边形，得AB＝CD，AB∥CD，故∠B＝∠OCF．那么，∠CFO＝∠OCF，从而推断出OF＝OC，故O在CF的垂直平分线上．然后可推断出OA＝OD，也可推断△AOM≌△DOM，故AM＝DM．所以，组1判断正确．
组2：如图2，分别延长AF、DC交于点G．由题意知：△ADF≌△GDF，得AF＝FG．由四边形ABCD是平行四边形，得AB＝CD，AB∥CD，进而推断△ABF≌△GCF，那么AB＝GC，故CG＝CD．所以，FC是△ADG的中位线，则S△ADG＝4S△FCG，进而推断出．
【解答】解：组1：如图1，过线段CF的中点N作MN⊥AD并分别延长AF、DC交于点O．
∴直线MN是线段CF的垂直平分线．
∴NF＝CN．
由题意得：△ABE≌△AFE．
∴AB＝AF，∠B＝∠AFE．
∵∠AFE与∠OFC是对顶角，
∴∠AFE＝∠OFC．
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴AF＝CD，∠B＝∠OCF．
∴∠OCF＝∠OFC．
∴OF＝OC．
∴O在线段CF的垂直平分线直线MN上．
∴OA＝OD．
在△OFN和△ONC中，

∴△OFN≌△OCN（SSS）．
∴∠FON＝∠CON．
在△AOM和△DOM中，

∴△AOM≌△DOM（SAS）．
∴AM＝DM，∠AMO＝∠DMO．
又∵∠AMO+∠DMO＝180°，
∴2∠AMO＝180°．
∴∠AMO＝90°．
∴若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合
故组1判断正确．
组2：如图2，分别延长AF、DC交于点G．
由题意知：△ADF≌△GDF．
∴AF＝GF，∠DAF＝∠DGF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠BAF＝∠FGC．
∵∠BFA与∠CFG是对顶角，
∴∠BFA＝∠CFG．
在△BFA和△CFG中，

∴△BFA≌△CFG（SAS）．
∴AB＝GC，S△BFA＝S△CFG．
∴GC＝CD．
∵AF＝FG，GC＝CD，
∴FC是△ADG的中位线．
∴S△ADG＝4S△FCG．
∴S四边形AFCD＝S△ADG﹣S△FCG＝4S△FCG﹣S△FCG＝3S△FCG
∴S四边形AFCD＝3S△ABF．
∴．
故组2判断正确．
故选：A．


【点评】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、垂直平分线的性质与判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质与判定及平行四边形的性质是解题关键．
二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11．（4分）平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D＝　140　度．
【分析】由平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝180°﹣∠A＝140°．
故答案为：140

【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的邻角互补．
12．（4分）在一分钟跳绳测试中，甲、乙两班的平均成绩都为182个，方差S2甲＝6.3，S2乙＝5.5，成绩更为稳定的班级是 　乙　．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，据此即可判断．
【解答】解：∵S2甲＝6.3，S2乙＝5.5，
∴S2甲＞S2乙，
∴成绩更为稳定的班级是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是 　2　．

【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC＝BD＝4，由三角形的中位线定理可求解．
【解答】解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF＝BD＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．
14．（4分）若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为 　1　．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到：at2+2t＝t（at+2）＝0，显然t＝0或at＝﹣2，然后代入求值即可．
【解答】解：∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，
∴at2+2t＝t（at+2）＝0，
∴t＝0或at＝﹣2．
当t＝0时，Q＝（at+1）2＝（0+1）2＝1；
当at＝﹣2时，Q＝（at+1）2＝（﹣2+1）2＝1；
综上所述，Q＝（at+1）2的值为1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（4分）定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”．
（1）若菱形成为正方形，则“对角线比”为 　1：1　；
（2）当“对角线比”为4，菱形面积为800时，菱形的边长为 　10　．
【分析】（1）根据菱形的性质和正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵正方形的对角线相等，
∴若菱形成为正方形，则“对角线比”为1：1；
故答案为：1：1；
（2）∵“对角线比”为4，
∴设菱形的两条对角线长分别为4x，x，
∴4x•x＝800，
解得：x＝20，
∴4x＝80，
∴菱形的边长为＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．（4分）反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝　±6　．
【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k＝6，
当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k＝﹣6，
综上所述，k＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论．
三、解答题:本大题有7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（1）﹣；
（2）（2+3）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣
＝；
（2）原式＝12+12+18
＝30+12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解决问题的关键．
18．（8分）用指定的方法解方程：
（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
【分析】（1）移项后把方程的左边分解因式，再得出两个一元一次方程，最后求出两个方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断方程是否有解，如果有解的话，再根据公式求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4），
（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣2＝0，
解得：x1＝4，x2＝6；

（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴方程有两个实数根，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了根的判别式解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
19．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E．求证：四边形AFCE是平行四边形．

【分析】利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，证明△DAF≌△BCE，得到AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，从而得到AF∥CE，所以四边形AFCE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠BCD，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（ASA），
∴AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，解决本题的关键是△DAF≌△BCE．
20．（10分）某学校从九年级同学中任意选取20人进行“引体向上”体能测试，前后进行了两次测试，第一次测试绘制成统计图，第二次测试绘制成统计表．
第二次测试成绩统计表
成绩
7
8
9
10
人数
1
5
10
4
（1）m＝　3　，第一次测试成绩的中位数是 　8　，第二次测试成绩的众数是 　9　；
（2）请计算第一次测试的平均成绩；
（3）若9分及以上为优秀，请计算两次测试中优秀人数增加的百分比（精确到0.1%）．

【分析】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出m，再根据中位数和众数的定义即可求出第一次成绩的中位数和第二次成绩的众数；
（2）根据平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（3）用增加的优秀人数除以第一次的优秀人数，即可得出答案．
【解答】解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），
把第一次成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝8（分），
第二次成绩9分出现的次数最多，出现了10次，
则第二次成绩的众数是9分．
故答案为：3，8，9；

（2）第一次测试的平均成绩是：×（7×2+8×9+9×6+10×3）＝8.5（分）；

（3）∵第一次优秀人数9人，第二次14人，
∴两次测试中优秀人数增加的百分比是＝55.6%．
【点评】本题考查的是条形统计图、中位数、平均数和众数，熟练掌握中位数、平均数和众数的定义是解题的关键．
21．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF．
（1）求证：EM＝FM；
（2）若DE：AE＝2：1，设S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代数式表示）．

【分析】（1）由SAS可证△DEM≌△DFM，可得EM＝FM；
（2）设AE＝a＝CF，DE＝2a＝DF，由面积和差关系可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵AE＝CF，
∴DF＝DE，
在△DEM和△DFM中，
，
∴△DEM≌△DFM（SAS），
∴EM＝FM；
（2）∵DE：AE＝2：1，
∴设AE＝a＝CF，DE＝2a＝DF，
∴AD＝3a＝AB＝BC＝CD，
∴S△ABE＝×3a×a＝a2＝S，
∵S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△DEF﹣S△ABE﹣S△BCF，
∴S△DEF＝9a2﹣×2a×2a﹣×3a×a﹣×3a×a＝4a2＝S．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证明△DEM≌△DFM是解题的关键．
22．（12分）阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围．
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点，
∴△＝b2﹣16≥0．
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝　4　；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 　b≥4　．
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围．

【分析】（1）根据材料提供的思路解决问题即可．
（2）利用三角形的面积公式，构建关系式，可得结论．
（3）由m＝x+≥2＝4，可得结论．
【解答】解：（1）当两个函数图象只有一个交点时，b2﹣16＝0，解得b＝4或﹣4（舍弃），
∴b＝4，
函数图像如图1所示：

观察图形可知，当b≥4时，两个函数有交点．
故答案为：4，b≥4；

（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
∴•x•y＝12，
∴y＝（x＞0）．

（3）∵x+y＝m，
∴m＝x+，
∵x＞0，＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣2××+≥0，
∴x+≥2，
∴m≥4．
解法二：m＝x+，得到x2﹣mx+24＝0，
∵Δ≥0，
∴m2﹣96≥0，
∵m＞0，
∴m≥4．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长交BC的延长线于点F，过G作EG⊥AF交直线BC于点E，连接AE．
（1）证明：∠DAG＝∠EAG；
（2）设＝k（k＞0）．
①若点E落在∠BAG的平分线上，求k的值．
②设m＝，求m关于k的函数表达式．

【分析】（1）根据线段中点的定义可得DE＝CE，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠ECF，再利用“角边角”证明△ADE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝EF，全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠F，再求出EM垂直平分AF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得到AM＝MF，根等边对等角可得∠MAE＝∠F，然后等量代换即可得证；
（2）①根据点E落在∠BAG的平分线上，得出∠BAE＝∠EAG，进而推出∠DAG＝∠BAE＝∠EAG＝30°，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
②设AB＝CD＝a，则AD＝BC＝ka，分两种情况：当点E在BC上时，即k时，如图1，设BE＝x，则AE＝EF＝2ka﹣x，运用勾股定理可求得x＝a，再利用三角形面积公式可得出答案；当点E在CB的延长线上时，即0＜k＜时，如图2，设BE＝x，则AE＝EF＝2ka+x，运用勾股定理可求得x＝a，再利用三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵点G为CD的中点，
∴DG＝CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠GCF，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AG＝GF，∠DAG＝∠F，
∵EG⊥AF，
∴EG垂直平分AF，
∴AE＝EF，
∴∠EAG＝∠F，
∴∠DAG＝∠EAG；
（2）①由（1）得：∠DAG＝∠EAG，
∵点E落在∠BAG的平分线上，
∴∠BAE＝∠EAG，
∴∠DAG＝∠BAE＝∠EAG，
∵∠DAG+∠BAE+∠EAG＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∴AG＝2DG，
∵AD2+DG2＝AG2，
∴AD2+DG2＝（2DG）2，
∴DG＝AD，
∵G为CD的中点，
∴DG＝CD，
∴CD＝AD，
∴＝，
∵＝k，AB＝CD，
∴k＝；
②设AB＝CD＝a，则AD＝BC＝ka，
由（1）得：△ADG≌△FCG，AE＝EF，
∴CF＝AD＝ka，
当点E在BC上时，即k时，如图1，
设BE＝x，则AE＝EF＝2ka﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴a2+x2＝（2ka﹣x）2，
解得：x＝a，
∴S△ABE＝AB•BE＝a×a＝，
S△ADG＝AD•DG＝ka×a＝ka2，
∴m＝＝＝＝2﹣，
当点E在CB的延长线上时，即0＜k＜时，如图2，
设BE＝x，则AE＝EF＝2ka+x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴a2+x2＝（2ka+x）2，
解得：x＝a，
∴S△ABE＝AB•BE＝a×a＝，
S△ADG＝AD•DG＝ka×a＝ka2，
∴m＝＝＝﹣2，
∴m关于k的函数表达式为m＝．


【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角形面积等，第（2）②设参数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
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日期：2021/8/31 22:00:31；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474