2022年内蒙古包头市青山区中考数学二模试卷（含解析）

2022年内蒙古包头市青山区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 相反数的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒的直径大约为米，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 不等式组的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

4. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是

A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是
D. 抛一枚硬币，出现反面的概率

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 根据三视图，求出这个几何体的侧面积

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题中，真命题的个数有
   如果不等式的解集为，那么
   已知二次函数，当时，随的增大而减小
   顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
   各边对应成比例的两个多边形相似

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 如图，在菱形中，点、分别是边、的中点，连接、、若菱形的面积为，则的面积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，的三个顶点分别在反比例函数与的图象上，若轴于点，轴于点，若为的中点，的面积为，则，的关系式是

A.  B.  C.  D.

12. 已知：如图，为的直径，、为的切线，、为切点，交于点，的延长线交于点，连接、以下结论：；点为的内心；；其中正确的只有

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

13. 因式分解：______．
14. 现有条线段，长度依次是、、、，从中任选三条，能组成三角形的概率是______．
15. 计算：______．
16. 两个全等的直角三角形完全重合在一起，把上面的一个直角三角形绕直角顶点逆时针旋转度，转到的位置，若恰为的中点，则______．
    
     

17. 甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
    甲：函数的图象经过点；
    乙：随的增大而减小；
    丙：函数的图象不经过第三象限．
    根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为______．
18. 六个带度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为，求中间正六边形的面积______．
    
     

19. 若关于的分式方程有正整数解，则整数为______．
20. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共140分）

21. 为了解某市八年级数学期末考试情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
    收集数据随机抽取甲乙两所学校的各名学生的数学成绩进行分析满分为分：
    甲
    乙
    整理、描述数据
    按如表数据段整理、描述这两组数据
    分析数据

两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

经统计，表格中 ______ ； ______ ； ______ ；
得出结论
若甲学校有名八年级学生，估计这次考试成绩分以上人数为______ ；
可以推断出______ 学校学生的数学水平较高，理由为：______ 至少从两个不同的角度说明推断的合理性

22. 图是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．结果保留整数，参考数据：，

23. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．
    求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
    若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于不考虑其他因素，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
24. 如图，在中，，点在上，，点在上，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，交于点，．
    求证：为的切线；
    若的半径为，，求的长．

25. 【问题情境】
    如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点求证：．
    【尝试应用】
    如图，正方形网格中，点，，，为格点，交于点求的值；
    【拓展提升】
    如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．
    求的度数；
    连接交于点，直接写出的值．

26. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接、点为抛物线上的一个动点与点、、不重合，设点的横坐标为，的面积为．
    求此二次函数的表达式；
    当点在第一象限内时，求关于的函数表达式；
    若点在轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点的坐标，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，的倒数是．
故选：．
根据相反数和倒数的定义解答即可．
本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选：．
根据利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
 

5.【答案】

【解析】解：，故选项A错误；
当时，，当时，，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的加法、分式的混合运算、有理数的除法和加法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是：．
故选：．
首先根据三视图得出这个几何体是圆柱，再根据圆柱的侧面积公式列式计算即可．
本题考查了三视图，圆柱的侧面积，主要培养学生的理解能力和空间想象能力，题型较好，是一道比较好的题目．
 

7.【答案】

【解析】解：延长交于，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质求出，求出，根据三角形内角和定理求出，根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，带哦求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行四边形的性质得出是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如果不等式的解集为，则，
，故本小题说法是真命题；
已知二次函数，当时，随的增大而减小，本小题说法是真命题；
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，本小题说法是真命题；
各边对应成比例、对应角相等的两个多边形相似，故本小题说法是假命题；
故选：．
根据不等式的性质、二次函数的性质、菱形的判定定理、相似多边形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

9.【答案】

【解析】解：连接、，交于点，交于点，

四边形是菱形，
，菱形的面积为：，
点、分别是边、的中点，
，，
，，
设，，
，即，
．
故选：．
连接、，交于点，交于点，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得与关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．
此题考查的是菱形的性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：二次函数，当时，函数的最小值为，
该函数的对称轴在轴右侧，，，
，
当时，函数的最小值为，
当时，，
将代入，可得舍去，，
故选：．
根据二次函数，当时，函数的最小值为，可知该函数的对称轴在轴右侧，，，再根据当时，函数的最小值为，即可得到的值，然后将的值代入入，即可得到的值．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出的值，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】

【解析】解：设，则，，
，的面积为，
，
整理得，，
故选：．
设，则，，根据列出等式，整理即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出等式是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：连接，，，
与是的切线，，，

≌，
，
，
，故正确；
是的切线，
，而，
，即是的角平分线，同理可证得是的平分线，
因此为的内心，故正确；
若，则应有，应有，
弧弧，而弧与弧不一定相等，故不正确；

设、交于点，由可知，
又，
，
由切线的性质可得，点是弧的中点，，
又平行线的性质，
，
而，，等弧所对的圆周角相等，
，
∽，
，
又，

故正确．
因此正确的结论有：．
故选：．
根据切线长定理，证≌，可得，根据圆周角定理即可得出，由此可证得；
连接、；上面已证得弧弧，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得、分别平分和；根据三角形内心的定义，即可得出结论正确；
若，则，在中，，易得，即；因此弧弧，而这个条件并不一定成立．故不正确；
先证明，然后证明∽，从而可得出正确．
本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弦切角定理，内心的概念，以及对相似三角形的性质求解．
 

13.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：从长度分别为、、、的四条线段中任选三条有如下种情况：、、；、、；、、；、、；
 能组成三角形的结果有个、、，、、，，
则能构成三角形的概率为．
故答案为：．
找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
本题考查了概率的求法以及三角形的三边关系；如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

15.【答案】

【解析】解：原式




．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分工的混合运算法则．
 

16.【答案】

【解析】解：≌，
，
又为直角三角形，且为的中点，
，
则，
为等边三角形，
，
则，
故答案为：．
由旋转的性质得，根据直角三角形性质得，据此得出为等边三角形，即，从而得出答案．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】答案不唯一

【解析】解：设一次函数解析式为，
函数的图象经过点，
，
随的增大而减小，
，取，
，此函数图象不经过第三象限，
满足题意的一次函数解析式为：答案不唯一．
设一次函数解析式为，根据函数的性质得出，，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．
本题考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，≌，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
利用≌得到，再根据含度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
本题考查了含度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出．
 

19.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
方程有正整数解，
或，
或，
，
，
，
，
故答案为：．
求解分式方程可得，由题意可得或，，由此可求的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，，
，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当取最小值时，的值最小，
当时，最小，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
 

21.【答案】      人  甲  两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高

【解析】解：将甲学校名学生数学成绩重新排列如下：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以甲学校名学生数学成绩的中位数，众数，
乙学校名学生数学成绩的平均数；
故答案为：、、；
若甲学校有名八年级学生，估计这次考试成绩分以上人数为人，
故答案为：人；
可以推断出甲学校学生的数学水平较高，
理由为：两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
将甲学校名学生数学成绩重新排列，再根据中位数和众数及平均数的概念求解即可得出、、的值；
依据甲学校考试成绩分以上人数所占的百分比，即可得到有名八年级学生中这次考试成绩分以上人数；
从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个学校学生的数学水平较高．
本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

22.【答案】解：过点作于，过点作于，

，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
垂尾模型的面积．

【解析】过点作于，过点作于，利用三角函数得出和，说明四边形是矩形，进而利用三角函数得出，即可得出．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
 

23.【答案】解：设第一次购进冰墩墩个，则第二次购进冰墩墩个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩个．
由知，第二次购进冰墩墩的数量为个．
设每个冰墩墩的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个冰墩墩的标价至少为元．

【解析】设第一次购进冰墩墩个，由题意：第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．列出分式方程，解方程即可；
设每个冰墩墩的标价为元，由题意：全部销售完后的利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
，
．

【解析】由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
由勾股定理求出，设，则，得出，求出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了切线的判定，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
 

25.【答案】证明：方法，平移线段至交于点，如图所示：
由平移的性质得：，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
方法：平移线段至交于点，如图所示：
则四边形是矩形，，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图所示：
，
设正方形网格的边长为单位，
则，，，，，，
由勾股定理可得：，，，
，
，
，
；
解：平移线段至处，连接，如图所示：
则，四边形是平行四边形，
，
四边形与四边形都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
；
如图所示：
为正方形的对角线，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
．

【解析】方法，平移线段至交于点，证四边形是平行四边形，得出，再由证得≌，即可得出结论；
方法，平移线段至交于点，则四边形是矩形，再由证得≌，即可得出结论；
将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，由勾股定理和勾股定理的逆定理证，再由，即可得出结果；
平移线段至处，连接，由证≌，得，，再证，得出，即可得出结果；
证明∽，得即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识；熟练掌握平移的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：二次函数的图象与轴交于、两点，
，
解得：．
二次函数的表达式为．
过点作轴于点，如图，

则．
令，则，
．
．
，
．
设点的横坐标为，则．
点在第一象限内，
，．
，．


．
关于的函数表达式为：．
点在轴上方，的面积能等于的面积．
由题意：．
若的面积等于的面积，
当在第一象限时，即：．
，
点坐标为．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
当在第二象限时，过作直线交抛物线于点，
平行线之间的距离相等，
与为同底等高的三角形，此时．
因为直线的表达式为，
所以直线的解析式为．
，
解得：舍去，．
点坐标为：．
综上，点在轴上方，的面积能等于的面积，点的坐标为或．

【解析】利用待定系数法将，坐标代入解析式即可；
过点作轴于点，则；分别用的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论；
计算求得的面积，利用的结论即可求得点坐标；利用同底等高是三角形的面积相等，在第二象限，可求得点坐标，当在第二象限时，过作直线交抛物线于点，利用直线的解析式可得直线的解析式，将直线的解析式于抛物线的解析式联立即可求得点坐标．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，梯形，三角形的面积，平行线的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．