2022年河南省信阳市商城县中考数学二模试卷（含解析）

2022年河南省信阳市商城县中考数学二模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 我们是届初级中学毕业生，的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 夸克是至今发现的最小的粒子．毫米等于的次方夸克．用科学记数法表示夸克等于米．

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某兴趣社制作的模型，则从左面看到的图形为

A.
B.
C.
D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是

A. 作线段的垂直平分线
B. 作的平分线
C. 连接，则是等边三角形
D. 作

6. 某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如右表所示，若要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，应选择学生

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点、在第一象限，顶点在轴的正半轴上，，将菱形沿翻折得到菱形，点恰好落在轴上，若函数的图象经过点，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 一辆旅游巴士为了使从甲地到乙地的行驶时间缩短为原来的，行驶路线由国道改为高速公路．两地之间的高速公路全长，比原来国道的长度少了，每小时行驶的路程比在原来国道上多设该旅游巴士在原来国道上行驶的速度为，根据题意，下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将在直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 写出一个绝对值大于且小于的负无理数______．
12. 在实数范围内定义一种运算“”，其运算法则为根据这个法则，下列结论中正确的是______把所有正确结论的序号都填在横线上
    ；若，则；是一元二次方程；方程的根是，．
13. 将分别标有“一”“起”“向”“未”“来”汉字的个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的概率是______．
14. 如图，在矩形中，，，对角线、交于点，以为圆心，长为半径画圆，交于点，连接并延长交于，如图所示，则图中阴影部分的面积是______ 结果保留

15. 如图，在中，，，点与点关于直线对称，动点、分别在线段、上点不与点、重合，满足当为等腰三角形时，的长度是______．

三．计算题（本题共1小题，共10分）

16. 化简代数式．
    已知中为整数，且代数式的值为正整数，求所有符合条件的的值的和．

四．解答题（本题共7小题，共65分）

17. 年月日起，受新冠疫情影响，重庆市所有中小学实行“线上教学”，落实教育部“停课不停学”精神某重点中学初级为了落实教学常规，特别要求家校联动，共同保证年级名学生上网课期间的学习不受太大影响为了了解家长配合情况，年级对家长在“钉钉”上早读打卡的严格程度进行了调查，调查结果分为“很严格”，“严格”，“比较严格”和“不太严格”四类年级抽查了部分家长的调查结果，绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图接着，年级对早读打卡“不太严格”的全体学生进行了第一次基础知识检测，同时召开专题家长会提醒，督促这些家长落实责任，并告知将再次进行检测两周后，年级又对之前早读打卡“不太严格”的这部分学生进行了第二次基础知识检测．
    整理、描述数据：
    以下是抽查的家长打卡“不太严格”的对应学生的两次检测情况：

分析数据：

请根据调查的信息分析：
本次参与调查的学生总人数是______ ，并补全条形统计图；
计算 ______ ， ______ ，并请你估计全年级所有被检测学生中，第二次检测得分不低于分的人数；
根据调查的相关数据，请选择适当的统计量评价学校对早读打卡“不太严格”的家长召开专题家长会的效果．

18. 如图，和是的两条切线，，为切点，点在上，点和点分别在和上，且．
    求证：；
    若，当是多少度时，？请说明理由．
    若，当______时，四边形为菱形．

19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在以点为圆心，为半径的上，是的中点，长的最大值为时．
    试确定反比例函数的表达式．
    与轴在点的左侧交于点，请直接写出劣弧的长是______
20. 年我国建成基站超万个，建设跑出“中国速度”某地有一个信号塔，小敏想用所学的数学知识测量信号塔的高度，她选择用树和楼房来测量首先在树的底部处测得信号塔的顶部的仰角为；然后她站在楼房上的点处恰好看到树的顶端、信号塔的顶端在一条直线上测得树与楼房的距离米，米，米，已知点、、三点共线，，，，测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求信号塔的高度参考数据：，，

21. 某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部分发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
    每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
    如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
    在的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元的工资，给每名新工人每月发元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额元尽可能的少？
22. 在平面直角坐标系中，定义直线为抛物线的特征直线，为其特征点．若抛物线的对称轴与轴交于点，其特征直线交轴于点点的坐标为，且．
    点的坐标为______；
    请判断四边形的形状，并说明理由；
    求的取值范围．
23. 如图，正方形和正方形其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系______；
    
    如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
    矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点、、在同一条直线上时，请直接写出线段的长．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由相反数的定义可得，
的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义得出答案即可．
本题考查相反数，理解相反数的定义是正确解答的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：毫米夸克，米毫米，
米夸克，
用科学记数法表示夸克米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：图中所示模型的左视图如图：

故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看不到的线用虚线表示．
 

4.【答案】

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则逐一计算可得．
本题主要考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握完全平方公式、合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法运算法则及同类项概念等知识点．
 

5.【答案】

【解析】解：由作图可知，
，
故选项D正确，
故选：．
由作图可知，推出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】解：由于乙的平均数最大，且方差最小，说明乙的平均水平较高，比较稳定，因此选择乙，
故选：．
根据平均数的大小，方差的大小比较得出答案．
本题考查平均数、方差，理解“平均数反应一组数据的平均水平，而方差则反应一组数据的离散程度，方差越小，该组数据越稳定”是正确判断的前提．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意：，
在中，，，
．
，
作轴于则，，
，
点在上，
，

故选：．
想办法求出点坐标即可解决问题；
本题考查反比例函数的性质、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】

【解析】解：该旅游巴士在每小时在高速公路上行驶的路程比在原来国道上多，且该旅游巴士在原来国道上行驶的速度为，
该旅游巴士在告诉公路上行驶的速度为．
依题意得：．
故选：．
根据该旅游巴士在不同公路上行驶速度之间的关系，可得出该旅游巴士在告诉公路上行驶的速度为，利用时间路程速度，结合旅游巴士从甲地到乙地的行驶时间缩短为原来的，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，，
作点关于直线的对称点，过作于，交于，
则此时，的值最小，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质得到，，作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图所示：当时，过点作于．

和均为等边三角形，
为等边三角形．
，
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图所示：时，过点作于．

同理，为等边三角形．
而，
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：．
分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得与的函数关系式，于是可求得问题的答案．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一

【解析】解：绝对值大于且小于的负无理数有，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要根据无理数的意义和实数的大小比较得出答案即可．
本题考查了无理数，负数和实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

12.【答案】

【解析】解：，正确；
若，则，
，正确；
，错误；
，
即为方程，化简得，
解得，，正确．
故答案为：
根据运算法则为，一一判断即可；
本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】

【解析】解：将“一”“起”“向”“未”“来”汉字分别记作、、、、，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的有种结果，
所以两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的概率为，
故答案为：．
将“一”“起”“向”“未”“来”汉字分别记作、、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】解：在矩形中，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
由图可知，阴影部分的面积是扇形和的面积之差，然后根据题目中的数据，可以求得、、的长，的度数，从而可以解答本题．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，三角形全等的判断和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】或

【解析】解：，，点与点关于直线对称，
，
分为种情况：
当时，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
此时；
当时，
，
，
，
根据三角形外角性质得：，
这种情况不存在；
当时，
，
，
设，则
在中，，
，
解得：；
点在上，
点在点左边，
此时．
当为等腰三角形时，的长度是或．
故答案为：或．
分为三种情况：，，，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，题目综合性比较强，难度偏大．解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．
 

16.【答案】解：原式


；
为整数，为正整数，
，，
则所有符合条件的的值的和为．

【解析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
根据为整数，代数式的值为正整数，确定出符合题意的值，求出之和即可．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：本次参与调查的学生总人数是人，
不太严格”的人数为人，
补全的条形统计图如图所示，
故答案为：；
，
，
人，
即第二次检测得分不低于分的有人，
故答案为：，；
第二次的众数高于第一次，中位数高于第一次，平均数高于第一次，说明学校对早读打卡“不太严格”的家长召开专题家长会的效果比较明显，学生们取得了较大的进步．
根据严格的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的总人数，然后根据条形统计图中的数据，可以得到“不太严格”的人数长，从而可以将条形统计图补充完整；
根据中的结果和表格中的数据，可以分别计算出、的值，计算出全年级所有被检测学生中，第二次检测得分不低于分的人数；
根据表格中的数据，可以得到学校对早读打卡“不太严格”的家长召开专题家长会的效果．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】

【解析】证明：和是的两条切线，，为切点，
；
解：当时，，
理由：，，
，
，
是的外角，
，即，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，

四边形是菱形，，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，四边形为菱形，
故答案为：．
利用圆的切线长定理即可证明；
当时，由等腰三角形的性质得出，进而得出，由“一线三等角”证明≌，即可证明；
由菱形的性质得出，，，，进而得出，，得出，证明≌，得出，，由，得出，进而得出，由平角的定义得出，解方程求出的值即可．
本题考查了圆的综合应用，掌握切线长定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识是解决问题的关键．
 

19.【答案】

【解析】解：如图，连接，过点作轴于，
由题意可知，点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
由题意，如图，当过点时，的长有最大值，
即的长也取得最大值，
，
，
已知点，可设点，
根据两点之间的距离公式可得：，
解得：，
，
代入中，
解得，
；
在中，，，
，
，
劣弧的长度．
故答案为：．
连接，过点作轴于，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得，再根据的最大值从而可确定出长的最大值，由题意可知，当过圆心时，最长，因为点在直线上，所以可以设点，再根据两点之间的距离公式可求出点的坐标，利用待定系数法即可确定反比例函数的表达式；
要确定劣弧的长度，可以使用要确定劣弧所对的圆心角的度数，因为和对顶角相等，所以可以通过在中算出的度数，再利用弧长公式进行计算．
本题考查了反比例函数综合题，掌握当过点时，的长有最大值，即的长也取得最大值是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作于，交于，则四边形、四边形、四边形都为矩形，如图所示：
，米，，，，
米，
在中，，
在中，，
设，则，
，
在中，，
解得：，
即米，
米，
答：信号塔的高度约为米．

【解析】过点作于，交于，由锐角三角函数定义得出，设，则，则，由，解得：，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装辆和辆汽车，
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装辆和辆汽车．
设需熟练工名，
根据题意得：，
．
，
．
当时，；当时，；当时，；当时，．
共有四种方案：需要名熟练工人，另招聘名新工人；需要名熟练工人，另招聘名新工人；需要名熟练工人，另招聘名新工人；需要名熟练工人，另招聘名新工人．
根据题意得：．
要使新工人数量多于熟练工，
、、．
，
当时，取最小值，最小值为．

【解析】设熟练工和新工人每月分别可以安装辆和辆汽车，根据题意列出方程组，解出方程组即是所求；
设需熟练工人数为，根据题意列出方程，分析取各值时，的数值是多少；
根据工资总额熟练工的工资人数新员工的工资人数，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】

【解析】解：抛物线的对称轴与轴交于点，
点的坐标为，
故答案为：；
四边形是平行四边形，理由如下：
由题意知，当时，特征直线，且其特征直线交轴于点，
点，
，
轴，
点的坐标为，点的坐标为，
轴，
，
，
四边形是平行四边形；
，
，
，
，
或，
四边形是平行四边形，
，

，
，
，
当时，
当时，得，
，
当时，得，
，
综上所述：或．
根据二次函数的性质即可得到结论；
根据题意得到当时，特征直线，且其特征直线交轴于点，求得点，推出轴，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论，
由题意知，当时，特征直线，且其特征直线交轴于点，得点坐标，然后根据平行线的性质得，，分或两种情况可得答案．
本题考查抛物线与轴交点、一次函数、二次函数等知识，解题的关键是把问题转化为解方程，体现了转化的数学思想，属于中考压轴题．
 

23.【答案】相等  垂直

【解析】解：如图，

在正方形和正方形中，，
，
即，
，，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：相等，垂直；

不成立，新结论：，，理由如下：

如图，由知，，
，，，
，，
，
∽，
，即，
∽，
，
，
，
；

当点在线段上时，如图，连接，过点作于点．

，，
，，，，
，
，，
，
，
，
，，
．

当点在放延长线上时，如图，

同法可得，
综上所述，满足条件的的值为或．
证明≌，即可求解；
根据两边对应成比例且夹角相等证明∽，即可求解；
当点在线段上时，如图，利用勾股定理求出，即可；当点在的延长线上时，如图，同法可解．
本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中正确画图和分类讨论是解题的关键．