苏教版高中数学必修第二册全一册半小时练习含解析打包54套

午间半小时(六)

(30分钟　50分)

一、单选题

1．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)

A．2    B．    C．2    D．4

【解析】选B.|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，所以|a＋2b|＝.

2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)

A．4    B．3    C．2    D．0

【解析】选D.因为a∥b，a⊥c，所以b⊥c，

所以a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.

3．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则a·b等于(　　)

A．1    B．－1    C．2    D．－2

【解析】选D.因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，所以a·b＝－2.

4．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角θ的余弦值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝b2⇒cos θ＝＝＝.

5．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.设向量a，b的夹角为θ，因为b⊥(2a－b)，

所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cos θ－12＝0，

解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为.

6．设a，b，c是任意的非零向量，且它们两两不共线，给出下列结论：

①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；

③|a|－|b|＜|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确命题的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选C.根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；由向量的运算性质知，④正确．

二、多选题

7．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，下列结论正确的是(　　)

A．|a＋b|＝5     B．|a－b|＝5

C．a·b＝25       D．a＝b

【解析】选AB.a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.

|a＋b|＝＝＝＝5.

|a－b|＝＝＝＝5.

8．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值可能为(　　)

A．－12    B．3.5    C．1    D．2

【解析】选BD.因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，

所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，

所以k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．

综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.

三、填空题

9．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．

【解析】因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.

又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2|b|－6＝0，解得|b|＝或|b|＝－3(舍去).

答案：

10．已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.则(a＋b)·(a－b)＝________；(2a＋b)·(a－b)＝________．

【解析】(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.

因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，

所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15，

所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.

答案：91　206