2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期素养拓展2数学（理）试题含解析

这是一份2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期素养拓展2数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期素养拓展2数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A，解对数不等式化简集合B，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式得：，则有，解不等式得：，即，则有，所以.故选：A2．是虚数单位，，则复数对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先利用复数的运算法则进行计算，再结合共轭复数求出复数，最后确定所在象限.【详解】，故复数对应的点位于第四象限.故选：D.3．已知，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得结果.【详解】由已知可得，，因此，.故选：D.4．已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，若，，则　　A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解实数a的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，．故选B．【点睛】线性回归直线经过样本中心点．5．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.【详解】由题意，甲获得冠军的概率为，其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为，∴所求概率为.故选：B.6．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答本题．【详解】由题意得，2．当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点关于直线l：的对称点为．则，解得，．则．．当时，椭圆有最大离心率．此时，．故选：B．7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载；一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（       ）A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立春的晷长与立秋的晷长相同D．立冬的晷长为一丈五寸【答案】C【分析】根据所给条件结合数列的性质，进行分析判断即可得解.【详解】由题意知：设晷长为等差数列，公差为，则，，解得.∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确.秋分的晷长为：，春分的晷长为：75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确.立春的晷长为105，立秋的晷长为45，故C不正确.立冬的晷长为：即为一丈五寸，故D正确.故选：C.8．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．9．设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造，求导，判定新函数的单调性，然后求解不等式【详解】构造则，在定义域内单调递增则不等式，由，即，综上，不等式的解集为故选：【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性及求解不等式的解法，同时着重考查了转化的数学思想，试题有一定的难度．10．已知数列满足：，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式的性质及两边夹思想得出，然后累加法求得．【详解】∵，∴，所以，故选：B.11．若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得做出函数简图，数形结合得，设函数的最小正周期为，由于，故，，再解不等式即可得答案.【详解】如图作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，因为，则，，结合有且，解得.故选：B．【点睛】本题考查三角函数的性质，考查数形结合思想与推理运算能力，是中档题.12．在菱形中，，将折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：取中点，连接，则，设的外接圆的圆心与球心的距离为，三棱锥的外接球的半径为，则，∴，∴三棱锥的外接球体积为．故选C．【解析】球的体积和表面积．【思路点睛】本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．取中点，连接，则，建立方程组，求出三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积． 二、填空题13．在的展开式中，的系数为____________.（用数字作答）【答案】【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数.【详解】由题设，展开式通项为，所以，令有，则的系数为.故答案为：14．已知角的终边经过点，若，则___________.【答案】【分析】根据诱导公式化简，再根据本三角函数的定义建立方程求解即可.【详解】由题意，角的终边经过点，可得.又由，得，根据三角函数的定义，可得，解得.故答案为：.15．已知，且，，，，则，，从大到小为__________.【答案】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】∵，，∴，∴，∴，，.∴.故答案为：16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上结论正确的是___________.【答案】①③⑤【分析】设直线方程，可求出三个交点，结合条件列出等式进而可得a,b的关系式，即可判断.【详解】设直线l的方程为，令x=0，可得y=t，设直线l与y轴的交点，双曲线的渐近线方程为，与直线y=x+t联立，可得，由三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当A，B，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=2b，；当A，C，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=－2b不成立；当B，A，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为b=3a，；当C，A，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为b=－3a不成立；当C，B，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=5b，；当B，C，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=－5b不成立.故答案为：①③⑤. 三、解答题17．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）利用正余弦定理即求；（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.【详解】(1)∵且,∴，即，∴，又，∴；(2)选①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：， ∴，当且仅当时取“=”，∴，即的面积的最小值为；②因为AD是BC边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，当且仅当时取“=”，所以，即的面积的最大值为.18．已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：图一图二(1)证明：平面平面；(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设的中点为，连接，证明平面，从而可证明结论.（2）先证明平面，得到是直线与平面所成的角，进一步得到是的中点时，最大，然后以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间坐标系，利用向量法求解即可.【详解】(1)设的中点为，连接，由题意，得，，.因为在中，，为的中点，所以，因为在中，，，，则，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)由（1）知，，，且 ，则平面，连接,所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即时，最大.由四边形为边长等于的正方形，则为等腰直角三角形，即 所以即是的中点时，最大.由平面，，所以，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系则，，，，，，所以，，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，，即..由图可知，二面角的余弦值为.19．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①；②，.【分析】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，，，∴的分布列为：－101（2）由（1），，同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．20．已知的三个顶点在抛物线:上,抛物线的焦点,点为的中点,;（1）若,求点的坐标;（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）根据抛物线方程为,写出焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知,,把代入求得点的坐标,再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为,,联立方程组,整理得,先求出的中点的坐标,再由,得出,用弦长公式表示,构造函数,用导数法求的面积的最大值.【详解】（1）抛物线: 焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知:①由已知② 由①②解得,将其代入解得或, 或, ,, 解得或,（2）设直线的方程为,,由 消掉得, ,根据韦达定理了可得:, , 的中点的坐标, , , , , ,可得: 解得:由,可得: ,又,点到直线的距离为, ,记令解得 在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,又 , 当时,取得最大值,此时, 的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21．已知，函数，．(1)讨论的单调性；(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)函数在点处的切线斜率为正．理由见解析．【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得单调区间；（2）由导数求得的斜率，从而得的斜率为，设的切点坐标为，利用导数几何意义得得出关于的方程，再引入新函数，利用导数证明此方程有正数解；（3）求出，，由得出用表示的式子，中就消去了，通过设，得到关于的函数，而且，利用不等式的性质和导数的知识确定其正负即可．【详解】(1)的定义域是，，时，恒成立，在递增，时，时，，时，，的增区间是，减区间是．(2)，，设的切线方程是，则，显然，，切点为，于是，解得，所以的斜率为，于是的斜率为设的切点坐标为，由，，又，所以，整理得，设，，当时，，递增，而，所以 ，时，，递减，又，所以存在，使得，因此关于的方程有正数解．所以存在，使得切线和的斜率互为倒数；(3)，，因为函数的图象与轴交于两2点，，且．所以，两式相减得：，，因为，，所以，又，，所以，下面考虑即的符号，令，，设，，，因为，所以，，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，即，又，所以，所以，即，所以函数在点处的切线斜率为正．【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，导数的几何意义，研究方程根的分布等等，解题关键是掌握转化与化归思想，方程有正数解问题转化为函数有正的零点，这就可结合零点存在定理用导数知识来研究函数的性质，判断函数值的正负，通过换元法，设，化不确定为确定，化二元为一元：，转化为研究函数的正负．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（其中为参数，）.在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线相交于，两点.(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)已知点，求的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）将曲线的极坐标方程化简为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得到曲线的直角坐标方程，根据直线的参数方程，消去参数，即可求得直线的普通方程；为.（2）将直线的参数方程代入与曲线，得到，求得，，结合，即可求解.【详解】(1)由题意，曲线的极坐标方程为，可得，即，即，又由，则，所以曲线的直角坐标方程为，即；由直线的参数方程为，（其中为参数）可得，即，直线的普通方程为.(2)解：联立直线的参数方程代入与曲线，化简得.设点，所对应的参数分别为，，则，，，由（1）可知，曲线是圆心，半径为1的圆，点在圆外，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为.23．已知的最小值为.(1)求的值；(2)正实数，，满足，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）将绝对值函数写成分段函数性质，结合各分段上的函数单调性及定义域求最小值，即可确定m值.（2）由（1）有，又，结合三元基本不等式可得，即可求目标式最值，注意等号成立条件.【详解】(1)由题设，，则，即.(2)由（1）知：，所以，而，则，∴，当且仅当时取等号，所以.