2021-2022学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期开学考试数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．抛物线上的一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义列式求解即可．

【详解】抛物线的焦点，准线，

设点，

根据抛物线的性质得，，解得，

则点到轴的距离是，

故选：B

2．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（　 　）

A．24 B．27 C．30 D．33

【答案】D

【详解】因为设等差数列的公差为d，

由a1+a4+a7=45①，a2+a5+a8=39②，

②-①得：（a2-a1）+（a5-a4）+（a8-a7）=3d=39-45=-6，

则（a3+a6+a9）-（a2+a5+a8）=（a3-a2）+（a6-a5）+（a9-a8）=3d=-6，

所以a3+a6+a9=（a2+a5+a8）+3d=39-6=33

故选D

3．若，且两个数列，，，和，，，，各成等差数列，那么（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】设等差数列的公差分别为和，则由等差数列的通项公式可得，由此求得的值.

【详解】设等差数列，，，的公差为 ，等差数列，，，，的公差为，则由等差数列的通项公式可得,

，

故选：D.

4．平面的一个法向量，在内，则到的距离为（       ）

A．10 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】利用点到平面的距离的向量公式求解.

【详解】，

则点到平面的距离.

故选：D

5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程.

【详解】由圆，得，

，

由垂径定理可知，

所以直线斜率满足，即，

所以直线的方程为：，即，

故选：D.

6．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】讨论焦点在轴和轴两种情况，根据已知计算即可得出结果.

【详解】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，

∴

∵椭圆过点（2，0），∴，∴ ，∴ ，

∴椭圆标准方程为

当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：

故选：D.

7．已知双曲线：（）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得，然后再根据离心率的计算公式可得所求．

【详解】由可得，即为双曲线的渐近线的方程，

又渐近线方程为，

∴，

∴.

∴离心率．

故选B．

【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

（2）本题容易出现的错误是认为，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程中的“”改为“”，即可得到渐近线的方程．

8．已知是等差数列，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

是等差数列，，

得,，

，

故选D.

9．已知数列中，对任意，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用求通项公式，判断出是等比数列，再进行求和.

【详解】∵①，∴②，

②-①得，∴．

当时，，符合上式，

∴．∴，

∴，，

∴是以4为首项，9为公比的等比数列，

∴．

故选：D．

10．已知等比数列{an}，满足log2a3+log2a10=1，且a3a6a8a11=16，则数列{an}的公比为（       ）

A．4 B．2 C．±2 D．±4

【答案】B

【解析】将已知条件转化为首项和公比的方程组，解方程组即可得到公比．

【详解】解：依题意，，①，

又②，

联立①②得，

又有意义，所以，，

所以，即，

所以，

故选：B．

【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．

11．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如

果直线AF的斜率为,那么|PF|=（    ）

A． B．8 C． D．16

【答案】B

【详解】设A（-2，t），∴，∴，∴8．

12．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（       ）

A． B．3 C．6 D．

【答案】C

【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．

【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，

又，，

两式相减，可得：，，

． ，

，当且仅当时取等号，

的最小值为6，

故选：C．

【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．

二、多选题

13．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（       ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

【答案】ABD

【分析】根据空间中线面的位置关系，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：若，，则，，则，故A正确；

对于B：若，，，则，故B正确；

对于C：若，，，则m与n可异面，可平行，故C错误；

对于D：由面面垂直的性质定理可得，D正确.

故选：ABD

14．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（       ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14

【答案】BCD

【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】等差数列中，，，，

，公差，数列是递减数列，A错误

，

，B正确.

，数列是递减数列，

当时，最大,C正确.

,

,.

当时，n的最大值为14,D正确.

故选:BCD.

三、填空题

15．若直线与直线平行，则实数__________．

【答案】

【详解】直线与直线平行，则有或，当时，两直线重合，所以舍掉，符合题意；

故答案为-2

16．在正方体中,分别为的中点,为侧面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为_____.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系,以为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系算出和的坐标,即可求得答案.

【详解】如图,以为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,

不妨令

则,,,

故,

故异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为:.

【点睛】本题主要考查了向量法异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

17．已知数列中，，，则数列的通项公式为______．

【答案】

【分析】由得，根据等比数列的定义可得答案.

【详解】由得，即，

所以是以为公比，为首项的等比数列，

，所以.

故答案为：.

18．已知直线，与抛物线相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则k=______.

【答案】

【解析】联立直线与抛物线方程，再由根与系数关系结合抛物线定义和，列出方程组，即可求出结果.

【详解】由题意，设，由抛物线定义可得,，

因为,所以，即①；

联立,整理得,

所以,

故,

又,由①②③解得满足题意.

故答案为：

四、解答题

19．已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2），.

【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，

依题意有，

由，又，

解得，

∴，

即，

 ；

（2）∵，

∴前项和

.

∴前项和，.

20．已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若，求k的值.

【答案】（1）；（2）1或.

【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB

【详解】（1）抛物线C：的准线为，

由得：，得.

所以抛物线的方程为.

（2）设，，由，

，

∴，

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴

解得：，

所以k的值为1或.

【点睛】考核抛物线的定义及过焦点弦的求法

21．已知数列中，，当时，其前项满足

（1）证明：是等差数列，求的表达式；

（2）设，求的前项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；根据等差数列通项公式求得，进而得到；（2）由（1）得到，采用裂项相消法求得结果.

【详解】（1）当时，

，即：

，又

数列是以为首项，为公差的等差数列       

（2）由（1）知：

【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.

22．如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，则为中点，根据得到证明.

（2）如图所示建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，得到各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】(1)连接，

∵是正方形，是的中点，∴是的中点，

∵是的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面

(2)建立如图所示空间直角坐标系，因为，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，则，

取得，

设与平面所成角为，

则.

23．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据题意可得，，再由 ，即可求解.

（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出 ，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.

【详解】解（1）由题意得：，，∴ ，

∴

∴椭圆的方程为

(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为

与椭圆的方程联立可得：①

设两点的坐标为，由韦达定理得：

，

∴

点到直线的距离，

∴

由①知：， ，

令，则，∴

令，则 在上的最大值为

∴的最大值为

综上所述：三角形面积的最大值2.

【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.