人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率达标测试

课时跟踪检测（十二）  直线的倾斜角与斜率

[A级　基础巩固]

1．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)

A．45°，1　　　　　　　  B．135°，－1

C．90°，不存在     D．180°，不存在

解析：选C　由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.

2．(多选)下列说法中，正确的是(　　)

A．直线的倾斜角为α，且tan α＞0，则α为锐角

B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0

D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α

解析：选AD　对于A，因0°≤α＜180°，且tan α＞0，则α为锐角，A正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，显然D正确．

3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a) 的直线的倾斜角为(　　)

A．30°     B．45°

C．60°     D．135°

解析：选B　显然，经过点P和点Q的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得kPQ＝＝1.又tan 45°＝1，所以直线PQ的倾斜角为45°.故选B.

4．若三点A(2，3)，B(3，2)，C共线，则实数m的值为(　　)

A．2     B．

C．     D．

解析：选C　根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝，

∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，

∴＝－1，∴m＝.

5．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)

A．(－1，0]     B．[0，1]

C．[1，2]     D．[0，2]

解析：选D　由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.

6．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．

解析：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).

答案：(3，0)或(0，－3)

7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．

解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0.

答案：0

8．已知直线l上的两个点M(1，2)，N(5，4)，则直线l的一个法向量为________．

解析：∵直线经过M(1，2)，N(5，4)，∴＝(4，2)，∴是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，∴直线l的一个法向量为(2，－4).

答案：(2，－4)(答案不唯一)

9．已知直线l上两点A(－2，3)，B(3，－2)，求其斜率及直线的一个方向向量．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值．

解：由斜率公式得kAB＝＝－1.则直线l的一个方向向量为(1，－1).

∵C在l上，∴kAC＝－1，即＝－1.

∴a＋b－1＝0.当a＝时，b＝1－a＝.

10．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

解：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，

(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).

(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.

[B级　综合运用]

11．(多选)直线l过原点(0，0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是(　　)

A．0°     B．120°

C．90°     D．60°

解析：选ABC　当直线与x轴重合时α＝0°，与y轴重合时α＝90°，又直线l不经过第三象限，∴斜率k＜0，由斜率与倾斜角的关系知90°＜α＜180°，故B也正确．

12．过P(6，)的直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，若＝，则直线l的斜率为________，直线l的一个法向量为________．

解析：由＝知P为AB的中点，所以A(12，0)，B(0，2).

kAB＝＝－，

所以直线l的一个方向向量为.

则直线l的一个法向量为.

答案：－　

13．若三点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．

解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.

要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，

即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.

答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)

14．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).

(1)求直线AB和AC的斜率；

(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．

解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，

直线AC的斜率为.

(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.

[C级　拓展探究]

15．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．

解：如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.

由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5).

易知kPA≤k≤kPB.

由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，

所以≤k≤8.

故的最大值是8，最小值是.