高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第1课时测试题

8.1　基本立体图形

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.下列几何体中,柱体有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:四个几何体都是.

答案:D

2.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称之为堑堵,则堑堵表面所有多边形的内角中有(　　)个是直角.

A.2 B.10 C.12 D.14

解析:上下底面都是直角三角形共有2个,侧面为三个矩形共12个,总共有14个.

答案:D

3.下列说法中,正确的是(　　)

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形

C.正方体的所有棱长都相等

D.棱柱的所有棱长都相等

答案:C

4.下列关于棱锥、棱台的说法,不正确的是(　　)

A.棱台的侧面一定不会是平行四边形

B.棱锥的侧面只能是三角形

C.由六个面围成的封闭图形也可能是棱台

D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是四棱锥

解析:选项A正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;选项B正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;选项C正确,由六个面围成的封闭图形也可能是棱台,两个底面,四个侧面;选项D错误,四棱锥被平面截成的两部分还可以是四棱锥.

答案:D

5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)

解析:图A缺少一个面;图B有五个侧面而两底面是四边形,多了一个侧面,且两底面画在了一边;图C也是多一个侧面,故选D.

答案:D

6.底面是正六边形的直棱柱叫做　　　　　　. 

答案:正六棱柱

7.有一个多棱锥,其棱数是2 018,则有　　　　　个面. 

解析:设n棱锥的棱数为2018,则2n=2018,所以n=1009,1009棱锥的棱数是2018,它有1010个面.

答案:1 010

8.对棱柱而言,下列说法正确的是　　　　　.(填序号) 

①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形;②所有的棱长都相等;③棱柱中至少有2个面的形状完全相同;④相邻两个面的交线叫做侧棱.

解析:①正确,根据棱柱的定义可知;②错误,因为侧棱与底面上的棱长不一定相等;③正确,根据棱柱的特征知,棱柱中上下两个底面一定是全等的,棱柱中至少有两个面的形状完全相同;④错误,因为底面和侧面的交线不是侧棱.

答案:①③

9.三个几何体的侧面展开图如图所示,请问各是什么几何体?

解:由几何体的侧面展开图的特点,结合棱柱、棱锥、棱台的定义,可把侧面展开图还原为原几何体,如图所示.

所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.

10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.

(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?

(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?

(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?

解:(1)不对;水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.

(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱;但不可能是棱台或棱锥.

(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形,因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形;水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台.故此时(1)对,(2)不对.

1.正方体的截面不可能是(　　)

①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.

A.①②⑤ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤

解析:正方体的截面,若是三角形,则可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形(证明略);若是四边形,则可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形,但不可能是直角梯形;若是五边形,则不可能是正五边形;若是六边形,则可以是正六边形.

答案:B

2.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有(　　)

A.20 B.15 C.12 D.10

解析:从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线,故共有5×2=10条对角线.

答案:D

3.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体　　　　　棱锥.(填“是”或“不是”或“不一定是”) 

解析:对于棱锥要注意有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,必须强调其余各面是共顶点的三角形,如图所示.

答案:不一定是

4.由9个面围成,其中两个面是互相平行且全等的七边形,其他面都是全等的矩形的几何体是　　　　　　　. 

答案:正七棱柱

5.在下面的四个平面图形中,是侧棱都相等的四面体的展开图的是　　　　　.(填序号) 

答案:①②

6.用平行于棱柱的侧棱的平面去截棱柱,所得截面是　　　　　. 

解析:从截面与棱柱上下底面的交线来看,交线必平行且相等,从而截面为平行四边形.

答案:平行四边形

7.给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.

解:如图(1)所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.

如图(2)所示,从正三角形三个角上剪下三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折成,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.求从A到C1沿长方体的表面的最短距离.

解:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.

如图①所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,则有AC1=,即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;

如图②所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;

如图③所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,

则有AC1==2,即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.

因为3<2,3,

所以由A到C1在长方体表面上的最短距离为3.

①

②

③