第十七章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷

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【分析】
利用三角形的内角和定理可判断A，B，D，利用勾股定理的逆定理可判断C，从而可得答案.
【详解】
解： ∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A符合题意；
则

故B不符合题意；
a：b：c＝5：12：13，设 则
所以能构成直角三角形，故C不符合题意；
∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，熟练的掌握“判定直角三角形的方法”是解本题的关键.
2．D
【解析】
【分析】
设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．
【详解】
设BE为x，则DE为x，AE为25-x
∵四边形为长方形
∴∠EAB=90°
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
3．B
【解析】
【分析】
根据大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．
【详解】
解：∵大正方形边长为3，小正方形边长为1，
∴大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，
∴一个直角三角形的面积是(9-1)÷4=2，
又∵一个直角三角形的面积是ab=2，
∴ab=4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了与弦图有关的计算，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
4．C
【解析】
【分析】
过点F作FG⊥AB于点G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，从而得到CE=CF，再由角平分线的性质定理，可得FC=FG，再证得，可得 ，然后设 ，则 ，再由勾股定理可得 ，然后利用三角形的面积求出 ，即可求解．
【详解】
解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵，
∴，
∴ ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得．
【详解】
解：如图，将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，则新长方体的长、宽、高分别为，
将这个新长方体展开为以下三种情况，如图所示：

，
，
，
∵，
∴蚂蚁需爬行的最短距离是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
作EF⊥AD于F，证明△EBA≌EFA，故（2）不正确；证明Rt△DCE≌DFE，得到DE平分∠CDA；故（1）正确；当△EBA≌△DCE时，得到AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；根据△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，得到AB=AF，DC=DF，得到AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；证明∠AED=90°，得到AE2+DE2=AD2，故（5）正确．问题得解．
【详解】
解：如图，作EF⊥AD于F，则∠AFE=∠DFE=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAE=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△EBA≌EFA，故（2）不正确；
∵△EBA≌EFA，
∴EB=EF，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=EC，
又∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌DFE，
∴∠CDE=∠FDE，
∴DE平分∠CDA；故（1）正确；
当△EBA≌△DCE时，AB=EC，BE=CD，
由题意得BE=CE，可得AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；
∵△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，
∴AB=AF，DC=DF，
∴AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵∠FAE=∠BAE，∠CDE=∠FDE，
∴∠EDA+∠EAD=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE2+DE2=AD2，故（5）正确．
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意添加辅助线，证明△EBA≌EFA、Rt△DCE≌DFE是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，
∴BC＝AB＝5，AC＝＝5，
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△MND≌Rt△OCB，
∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，
∴EM＝DO，
∴DN＝BC＝CI，
∵DN∥CI，
∴四边形DNCI是平行四边形，
∵∠NCI＝90°，
∴四边形DNCI是矩形，
∴∠DIC＝90°，
∴D、I、H三点共线，
∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，
∴△FME≌△DOI（AAS），
∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND，
∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC，
在Rt△AGE和Rt△ABC中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），
同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，
∴S1+S2+S3+S4+S5
＝S1+S3+（S2+S4）+S5
＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
＝Rt△ABC的面积×4
＝5×5÷2×4
＝50．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
8．D
【解析】
【分析】
由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【详解】
解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC＋BC＋AB，
∵BC＝，
∴五个小直角三角形的周长之和＝为AC＋BC＋AB＝24．
故选：D．
【点睛】
主要考查了勾股定理的知识和平移的性质，难度适中，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
9．C
【解析】
【分析】
由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．
【详解】
解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，
∴S△AEF＝，，
∵S△AEF+S△ABD＝8.5，
∴BD2+DG2＝17，
∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），
∴BG2+CG2＝34，
∵BG＝5，
∴CG＝＝3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据三角形的面积求出BD2+DG2＝17是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：∵连接AC，如图所示：
∵∠D=90°，AD=，CD=2，
∴AC==4．
∵BC=3，AB=5，32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=××2+×4×3=+6．
故答案选C
【点睛】
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算．
11．B
【解析】
【分析】
在上截取点，使得，过点作于点，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据垂线段最短可得的最小值为的长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，在上截取点，使得，过点作于点，连接，
平分，
，
在和中，，
，
，
，当且仅当点共线时，等号成立，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，
即的最小值为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得，
即的最小值为2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
12．C
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，得，，则可判定①；由可得∠CDF=∠CBE，然后根据①可判定②；根据勾股定理的性质，得，通过三角形面积公式计算，得S△BEC+S△DCES△DBE；根据等腰三角形三线合一、垂直平分线和勾股定理的性质，得AD2+CQ2=DQ2；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得，过点F作FH⊥BE于点H，设，进而根据等腰直角三角形的性质、二次根式的计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵直角△ABC中，AB=BC，等腰直角△DBE，
∴，，，
∵，
∴，
△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE，即①正确；
∴，，
∵，
∴由三角形内角和可知∠CDF=∠CBE，
∴∠CDE=∠ABD，故②正确；
∵AD：DC=1：2，
∴设，，
∴，
∵在等腰直角△ABC中，
∴，
∵，
∴，
∵等腰直角△DBE
∴
过点B作，交AC于点M，如下图，
∵等腰直角△ABC
∴，
∴，
，
，
∴S△BEC+S△DCES△DBE，即④错误；
连接，如下图：
∵BQ⊥DE，△DBE是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴AD2+CQ2=DQ2，即③正确；
∵CD=BC，
∴，，
∴,
∴,
∴，
过点F作FH⊥BE于点H，如图所示：
设，
∵，
∴△FHE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，即BD：EF=；故⑤正确；
∴①②③⑤正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及二次根式等知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形及勾股定理，从而完成求解．
13． 5 2
【解析】
【分析】
由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理构建方程求出x；连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】
解：由翻折的性质可知：BN=NB′，
设BN=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，
∵NB′2=CB′2+CN2，
∴x2=（9-x）2+32，
解得x=5，
∴BN=5；
设AM=y，
连接BM，MB′，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵MB=MB′，
∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，
即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，
解得y=2，
即AM=2，
故答案为：5；2．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
14．##
【解析】
【分析】
设木柱长为 尺，则绳索长 尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】
解：设木柱长为 尺，则绳索长 尺，根据题意得：
，
解得：
即木柱长为尺．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．46
【解析】
【分析】
利用勾股定理分别求出AB2，AC2，继而再用勾股定理解题．
【详解】
解：由图可知，AB2=
故答案为：46．
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
16．
【解析】
【分析】
利用点M关于AC的对称点确定N点，当、、三点共线且时，的长取得最小值，再利用三角形的面积公式求出，在利用勾股定理求后即可求出的面积．
【详解】
∵为的角平分线，将沿翻折，
∴的对应点一定在边上．
∴
∴当、、三点共线且时，
的长取得最小值
∵在中，，，
∴
∵
∴
∴在中，
∴．
【点睛】
本题考查了最短路径问题以及勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点，连接A，得出当G、A、三点在同-直线上时，+ AG的最小值为，再根据勾股定理和等边三角形的性质即可得出答案
【详解】
解：连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，
则，
∵等边，，
∴，
∴，
∴，
∴当G、A、三点在同-直线上时,AF'+ AG的最小值为G
连接G
∵等边△ABC的边长为2，
∴，，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查轴对称，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．24
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵在中，，，
∴，
∴
∵，，，
∴
∴，
∴，
∴
答：需要绿化部分的面积为24．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用、三角形的面积计算，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明再结合证明 从而可得结论；
（2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度.
【详解】
解：（1） ，
而






（2） ，，，






【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键.
20．(1)千米
(2)万元
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理先求解的长度，再利用线段的和差关系可得答案；
（2）利用等面积法可得：，再代入数据求解的长度，即可得到答案.
(1)
解：∵，∴
∵在中，，，
∴．
∴（千米）．
答：公路的长度是千米．
(2)
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴（千米）．
∴修建公路的费用为（万元）．
答：修建公路的费用为万元．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积的方法求解三角形的高，熟练的运用勾股定理求解直角三角形的边长是解本题的关键.
21．(1)-2
(2)直角三角形
【解析】
【分析】
（1）立方根为2的数是8，把b=8代入得+（a﹣c+4）2＝0，根据非负数的性质可以求出a和b的值，然后代入计算可得答案．
（2）根据abc的数量关系得出三角形为直角三角形．
(1)
解：∵实数b的立方根为2，
∴b=8
∴+（a﹣c+4）2＝0,
∴a-6=0；a-c+4=0
解得：a=6；c=10.
∴2a﹣3b+c
＝2×6－3×8＋10
=-2
(2)
解：∵a2+b2=62+82=100，
c2=102=100
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，解题的关键是了解绝对值、一个数的偶次方、一个数的算数平方根等都是非负数，本题是一道基础题．
22．(1)见详解；
(2)5．
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证明即可；
（2）过点E作EFBC于点F，在Rt中求出EC，再根据三角形面积公式求出即可．
(1)
证明：，均为等腰直角三角形，
AC=BC ，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90，
∠ACB－∠ACE=∠ECD-∠ACE，即：∠BCE＝∠ACD，
（SAS）
(2)
解：由（小问1）知，BE=AD=，
过点E作EFBC于点F，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质及求三角形的面积，过点E作EF⊥BC是解决本题的关键．
23．(1)cm；
(2)2
(3)4或6
【解析】
【分析】
（1）求出BP=6，利用勾股定理求出PQ的长；
（2）先求出CQ=6-2t，根据的面积是面积的得，计算即可；
（3）根据勾股定理求出AC，当点Q在AC上时，计算出CQ的长，分别计算PQ分△ABC的周长中BP+BC+CQ的长及AP+AQ的长，列比例式计算即可．
(1)
解：当出发2秒后，AP=2，BQ=4，
∴BP=AB-AP=8-2=6，
∵∠B=90°，
∴（cm）
(2)
解：∵BQ=2t，BC=6，
∴CQ=6-2t，
∴，
得t=2；
(3)
解：在中，，
∴10，
当点Q在AC上时，，
∵BC=6，BP=8-t，
∴PQ分△ABC的周长中BP+BC+CQ=，AP+AQ=，
当时，得t=4；
当时，得t=6；
检验可得t值均符合题意，
∴t为4或6时，将周长分为23：25两部分．
【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，列比例求解，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
24．（1）①是；②；③；见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】
（1）①连接BD、CE，根据四边形内角和为360°，求出，即可得出答案；
②当时，是等腰直角三角形，故，求出AB，由此可知，，得出是等腰直角三角形，故可求出DE；
③过点A作交DE于点F，故，，推出，根据AAS证明，由全等三角形的性质得，即可求出DE与AH的关系；
（2）①连接BD，取BD中点为点O，连接AO、CO即可；
②过点O作交于点M，过点A作交于点N，故，由得出，求出，，推出，在中由勾股定理即可求出AN．
【详解】
（1）
①如图1，连接BD、CE，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵四边形BCDE的内角和为360°，
∴，
∴与互为“底余等腰三角形”，
故答案为：是；
②当时，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵与互为“底余等腰三角形”，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
③过点A作交DE于点F，故，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）
①如图2，连接BD，取BD中点为点O，连接AO、CO，
∵，，
∴，都是直角三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴所作图形能使与互为“底余等腰三角形”；
②过点O作交于点M，过点A作交于点N，故，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，,
∴，
∴，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查几何图形的综合应用，主要涉及到全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和、直角三角形的性质以及勾股定理等，掌握“底余等腰三角形”的定义是解题的关键．