专题07 期末模拟测试卷2（提优卷）

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专题07 期末模拟测试卷2（提优卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题(共20分)
1．(本题2分)下列运算正确的是（ ）
A．4ab﹣b＝4a B．（ab2）3＝a3b5
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．
【答案】D
【解析】解：∵4a与﹣b不是同类项，不能合并，∴A选项错误；
∵（ab2）3＝a3b6，∴B选项错误；
∵（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，∴C选项错误；
∵，∴D选项正确．故选：D．
2．(本题2分)在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
【答案】A
【解析】A、，所以该三角形不是直角三角形，故该选项符合题意；
B、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意．故选A．
3．(本题2分)在四边形中，给出下列条件：①；②；③；④．从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【解析】解（1）①④，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定；
∵；．∴四边形ABCD为平行四边形，

（2）①③或③④，可推出两组对对边分别平行，利用两组对边分别平行的的四边形是平行四边形判定；
①；③；
∵，∴∠A+∠D=180°，又∵，∴∠C+∠D=∠A+∠D=180°，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；
③；④．
∵，∴∠A+∠B=180°，又∵，∴∠C+∠B=∠A+∠B=180°，
∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形；


（3）②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
②；④．
∵，，∴四边形ABCD为平行四边形；

共4种组合方法，故选B．
4．(本题2分)如图，正方形的边长为，为正方形边上动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由点P运动状态可知，当0≤x≤4时，点P在AD上运动，△APD的面积
当4≤x≤8时，点P在DC上运动，△APD的面积
∴当=4时，=0；当=8时，=8
当8≤x≤12时，点P在CB上运动，△APD的面积×4×4=8
当12≤x≤16时，点P在BA上运动，△APD的面积
∴当=12时，=8；当=16时，=0
综上所述，B的函数图像符合要求故选：B．
5．(本题2分)下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，说明乙的跳远成绩比甲稳定
B．用长度分别是的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
C．一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的众数是6
D．要了解我国中学生的视力情况应做抽样调查
【答案】D
【解析】A、方差是反映一组数据波动大小的量，方差越小，波动程度越小．由题意知，甲的方差小于乙的方差，则甲的成绩更稳定，故A选项错误；
B、因为3+4<8，不满足任两边的和大于第三边，故B选项错误；
C、在这组数据中，出现次数最多的既有6，也有7，故此组数据的众数是6和7，故选项C错误；
D、要了解我国中学生的视力情况，不可能进行普查，只能做抽样调查，故此选项正确．
故选：D．
6．(本题2分)下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．的值随着值的增大而增大
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．函数图象经过第二、三、四象限
【答案】D
【解析】解：一次函数的函数图像如图，


A、∵k=-4＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，故选项A不正确；
B、当x=0时，y=-2，函数图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故选项B不正确；
C、当x＞0时，，故选项C不正确；
D、∵k＜0，b＜0，图象经过第二、三、四象限，故选项D正确；故选D．
7．(本题2分)如图，在△中，∠，∠，；以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交于点，则的长等于（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵在中，，，．
∴，．由题意可知，．
∴．∴．故选A．
8．(本题2分)如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解可能是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】解：∵直线y＝−x＋m与y＝nx＋4n的交点的横坐标为−2，
∴关于x的不等式nx＋4n＞−x＋m的解集为x＞−2，
∵−x＋m＞0∴由图象可知，x＜m又∵−2＜m＜0，∴−2＜x＜0，
∴整数解可能是−1．故选：A．
9．(本题2分)如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：①；②；③图中有8个等腰三角形；④．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF
∵四边形ABCD是正方形，∵AD//BC，AD=BC=CD，∠ADB=∠DBC=45°，
∴DE//BC，∠DFB=∠GBC，∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE是平行四边形，
∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=∠ADB=∠DFB+∠DBF=2∠EFB=45°，
∴∠GBC=∠EFB=22.5°，∠CGB=∠EGF=22.5°=∠GBC，∴CG=BC=DE，
∵BC=CD，∴DE=CD=CG，∴∠DEG=∠DCE=45°，EC=CD，∠CDG=∠CGD=（180°-45°）=67.5°，∴∠DGE=180°-67.5°=112.5°，
∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，
∴△CHG≌△EGD（AAS），∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，
∴∠GDH=90°-∠EDG，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB，∴∠GDH=∠GHD，
∴∠GDH=∠GHD，故②正确；∵∠EFB=22.5°，∴∠DHG=∠GDH=67.5°，
∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB，∴DG=GF，∴HG=DG=GF，
∴HF=2HG，即EC≠HF=2HG，故①正确；∵△CHG≌△EGD，∴S△CHG=S△EGD，
∴，即，故④错误；
结合前面条件易知等腰三角形有：△ABD、△CDB、△BDF、△CDE、△BCG、△DGH、△EGF、△CDG、△DGF共9个，故③错误；
则正确的个数有2个．
故选：B．
10．(本题2分)在中，，点D为中点，绕点D旋转，、分别与边、交于E、F两点．下列结论：
①；②始终为等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】解：如图所示，连接，
，点为中点，，
，，，
，
，
．在和中，，
，，，．
，，．
，．
，，，，故①正确；
，，始终为等腰直角三角形，故②正确；
，，
又，，故③正确；
，，，
又，，故④错误；正确的有①②③．故选：D．
．
第II卷（非选择题）

二、填空题(共14分)
11．(本题2分)计算的结果等于______________．
【答案】-3
【解析】．故答案为：-3．
12．(本题2分)如果样本方差，那么这个样本的平均数是_______，样本容量是________．
【答案】18 20
【解析】解：在公式中，平均数是，样本容量是n，在中，这个样本的平均数为18，样本容量为20．故答案为：18；20．
13．(本题2分)如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为2，则点F到的距离为______．

【答案】
【解析】解：∵DG=GE ，∴S∆ADG= S∆AEG=2，∴S∆ADE=4，
由折叠的性质可知：∆ABD∆AED，BE⊥AD，∴S∆ABD= S∆ADE=4，∠AFB=90°，
∴，
，，∴AB=，DF=1，

设点F到BD的距离为h，则，∴，故答案为：．
14．(本题2分)如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为__________．

【答案】
【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴，
∵点D为BC中点，∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，则四边形CKEN为矩形，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故答案为：．
15．(本题2分)如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．

【答案】9．
【解析】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．
16．(本题2分)如图，直角坐标系中，原点O是的对称中心，点A在x正半轴上，点B在第一象限，边交y轴于点E，，则点D的坐标为________．

【答案】
【解析】解：设AD与y轴交于点F，连接BD，过点D作DH⊥y轴于H，
∵平行四边形ABCD关于原点O中心对称，∴，，
∴，在和中，，
∴≌（ASA），∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴点D的坐标为：，故答案为：．

17．(本题2分)已知正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3…在直线y＝x+1上，C1，C2，C3…在x轴上，则点A2021的坐标是_____．

【答案】(22020﹣1，22020)
【解析】解：根据条件y＝x+1，可以得到该直线与x轴的夹角是45°，且OA1＝1，即；
再结合正方形条件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；
于是A2 的高度是1+1＝2，即；A3的高度是2+2＝4，即；
同样A4 的高度是4+4＝8，即；An的高度是2n-1．
所以当n＝2021 时，A2021的高度是22020，即，
于是将该点的纵坐标代入y＝x+1，得到x＝22020﹣1．故答案是：（22020﹣1，22020）．

三、解答题(共86分)
18．(本题10分)（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2－5xy＋2y2的值．
（2）先化简，再求值：，其中x＝，y＝.
【答案】（1）42，（2）
【解析】详解：（1）x＝＋，y＝－，
∴x-y=2,xy=-2∴
＝＝＝＝＝42
（2）原式＝
＝＝[]·
＝·
当x＝，y＝时，原式＝
19．(本题10分)为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，先从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如表：
年收入（单位：万元） 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．
【答案】（1）平均数：4.3万元、中位数：3万元、众数：3万元；（2）众数，理由见详解
【解析】(1)这15名学生家庭年收入的平均数是：(2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13)÷15=4.3万元；将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3，则中位数是3万元；
在这一组数据中3出现次数最多的，故众数是3万元；
(2)中位数或众数，理由：虽然平均数为4.3万元，但年收入达到4.3万元的家庭只有4个，大部分家庭的年收入未达到这一水平，而中位数或众数3万元是大部分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数较为合适．
20．(本题8分)以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
【答案】（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律： 第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．
【解析】（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，
两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2
则（x+2）2-x2=142,解得x=48∴第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）设第一个数为 x，第三个数为x+2
则，解得，第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；
证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
21．(本题8分)如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．

【答案】（1）这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；（2）AE＝m．
【解析】解：（1）如图，

∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，∴AC＝=，
∵AD＝7，CD＝4，∴，∴∠D＝90°，
∴这块空地ABCD的面积＝
= ==2+14，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）∵=，∴4×＝9×AE，∴AE＝m．
22．(本题10分)甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：

（1）求线段对应的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在轿车追上货车后至到达乙地前，何时轿车在货车前30千米．
【答案】（1）；（2）小时
【解析】解：（1）设线段对应的函数表达式为．
将、代入中，得，
解方程组得，所以线段所对应的函数表达式为．
（2）OA的解析式为y=80x；根据题意得，，解得．
答：当时，轿车在货车前30千米．
23．(本题9分)四边形ABCD为菱形，点E在边AD上，点F在边CD上
(1) 若AE=CF，求证：EB=BF
(2) 若AD=4，DE=CF，且△EFB为等边三角形，求四边形DEBF的面积
(3) 若∠DAB=60°，点H在边BC上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB，直接写出CF的长

【答案】（1）见解析；（2）S四边形DEBF=；（3）；
【解析】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠EAB=∠FBC，
又∵AE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）∴EB=BF.
（2）如图所示，连接BD，截取AH=CF

由（1）中得知，△ABE≌△BCF（SAS）∴BH=BF=BE
∴∠BHE=∠BEH∴∠AHB=∠BED∴△DEB≌△AHB，∴AB=BD
∴△DEB≌△CFB，∴四边形DEBF的面积等于菱形ABCD面积减去三角形ABD面积，即为三角形ABD的面积，S四边形DEBF==
（3）如图所示，延长AD，作FM⊥AM，交于M，延长DC、AH交于点K，

∵∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB∴∠FAK=∠HAB=∠FKA∴AF=FK
∴DF=4-CF，DM=2-CF，MF=（4-CF），∴AM=4+2-CF=6-CF
又，∴CF=
24．(本题10分)如图，点为正方形对角线上一点， 于点， 于点．
（1）求证：．
（2）若正方形的边长为12，求，四边形的周长．

【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】（1）证明：连接PC，


∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，
在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°． 又∵∠BCD=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF；
（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又∵BC=12，
∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．
25．(本题9分)如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值；
（3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN为等腰三角形时，请直接写出点C1的横坐标．

【答案】（1）2；（2）；（3）C1的横坐标为：或或．
【解析】解：（1）由题意知：b＝∴直线l2：y＝﹣x+
当y＝0时，x＝1∴C（1，0）3
∵直线l1：y＝∴当y＝0时，＝0，∴x＝﹣3∴A（﹣3，0）
∴S△ABC＝×[1﹣（﹣3）]×＝2；
（2）在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝32+（）2＝12
在Rt△BOC中，BC2＝OC2+OB2＝12+（）2＝4
∵在△ABC中，AB2+BC2＝12+4＝16＝AC2
∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥BC
作C点关于直线AB的对称点C′（﹣1，2），连接C'E交直线l1于F，

∵C'（﹣1，2） E（5，0）∴直线C'E：y＝﹣x+
解得：∴F（1，）
作二、四象限的角平分线l3，过点P作PQ⊥l3于Q，
则PQ＝OP，∴PF+OP＝FP+PQ，
当F，P，Q三点共线时最小，即过F作PQ⊥l3于Q交y轴于P，作FG∥OB交直线l3于G．此时△FQG为等腰直角三角形，斜边FG＝，
∴PF+OP的最小值为：FQ＝FG＝
（3）①如图2中，当B1M＝B1N时，

∵点C1中直线y＝x﹣上运动，设C1（m，m﹣），B1O1交x轴于E，则EB1＝m﹣＝m，
OE＝＝m，MB1＝NB1＝2OE＝m，
∴M（m﹣1，+m+m），
把点M坐标代入直线y＝﹣x+，得到：
+m+m＝﹣（m﹣1）+，、解得m＝．
②如图3中当MN＝MB1时，同法可得M（m﹣1，m），

把点M代入y＝﹣x+得到，m＝﹣（m﹣1）+，
解得，m＝．
③如图4中，当B1M＝B1N时，同法可得M（m﹣1，+m﹣m），

把点M代入y＝﹣x+得到，﹣m﹣m＝﹣（m﹣1）+，
解得m＝．
④如图5中，当NM＝NB1时，同法可得M（m﹣1，m），

把点M代入y＝﹣x+得到，m＝﹣（m﹣1）+，
解得m＝1（舍弃），
综上所述，C1的横坐标为：或或．
26．(本题12分)[模型建立]如图等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

[模型运用]
（1）如图1，若AD＝2，BE＝5，则△ABC的面积为　 　；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求AB与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝2x+1，点A（3，2），在其线l上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
[模型拓限]（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为　 　．（≈3.2，结果精确到0.1）
【答案】（1）；（2）；（3）存在两个点，，理由见解析；（4）1.9.
【解析】解：（1）根据题意得，

在与中，

中，
中，，故答案为：；

（2）作轴于点,
在与中，


设直线的解析式为：，代入点得，
解得：直线的解析式为：
令得，，；

（3）存在，有两个点符合题意，，理由如下：
设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，如图，

，
由题意得

在中，

即
在直线上，，

如图，

（4）过点作于点，于点，连接，如图，

设，由题意可知



点在直线上，
过点作直线的垂线，垂足为点，根据垂线段最短原理，可知此时线段最短，如图，
令
解得直线与轴的交点
令，解得直线与轴的交点

由等积法得，
，故答案为：1.9.