2023年高考数学(文数)一轮复习课时49《直线与圆锥曲线》达标练习（2份，答案版+教师版））

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一、选择题
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，
且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
【答案解析】答案为：B；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2=24，y1＋y2=30，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得：eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)=eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)，
则eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)=eq \f(4b2,5a2).由直线AB的斜率k=eq \f(15－6,12－3)=1，∴eq \f(4b2,5a2)=1，则eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4)，
∴双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1＋\f(b2,a2))=eq \f(3,2).
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),5)
【答案解析】答案为：C.
解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，
由点差法可知yM=－eq \f(b2,a2k)xM，代入k=1，M(－4,1)，解得eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4)，e=eq \f(\r(3),2)，故选C.]
过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
【答案解析】答案为：B；
解析：若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意.
若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k(x- eq \f(1,2))，
代入抛物线y2=2x得，k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(1,4)k2=0，因为A、B两点的横坐标之和为2.
所以k=±eq \r(2).所以这样的直线有两条.
抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y=0与抛物线C交于A，B两点.
若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=－2x
【答案解析】答案为：B.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2=2px，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))
两式相减可得2p=eq \f(y1－y2,x1－x2)·(y1＋y2)=kAB·2=2，即可得p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x.]
已知点A是抛物线C：x2=2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
【答案解析】答案为：D；
解析：设过点A与抛物线相切的直线方程为y=kx－eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2pkx＋p2=0，
由Δ=4k2p2－4p2=0，可得k=±1，则Q(p,eq \f(p,2))，P(-p,eq \f(p,2))，
∴△APQ的面积为eq \f(1,2)×2p×p=4，∴p=2.故选D.
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1，eq \r(5)) B.(1，eq \r(5)] C.(eq \r(5)，＋∞) D.[eq \r(5)，＋∞)
【答案解析】答案为：C；
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y=eq \f(b,a)x，则由题意得eq \f(b,a)＞2，所以e=eq \f(c,a)＞eq \r(1＋4)=eq \r(5).
过双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)=1的左焦点作倾斜角为eq \f(π,6)的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点且都在左支上
D.有两个交点分别在左、右两支上
【答案解析】答案为：D；
解析：直线l的方程为y=eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(13)))，代入C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)=1，整理得23x2－8eq \r(13)x－160=0，
Δ=(－8eq \r(13))2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上.
已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A.y=x－1 B.y=－2x＋5 C.y=－x＋3 D.y=2x－3
【答案解析】答案为：D；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1， ①,y\\al(2,2)＝4x2， ②))①－②得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)=4(x1－x2)，
由题可知x1≠x2.∴eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(4,y1＋y2)=eq \f(4,2)=2，即kAB=2，∴直线l的方程为y－1=2(x－2)，
即2x－y－3=0.故选D.
如图，F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.4 B.eq \r(7) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：B；
解析：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60°.
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|=2a，∴|BF1|=2a.
又|BF2|－|BF1|=2a，∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a，|AF1|=6a.
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cs 60°，
∴(2c)2=(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×eq \f(1,2)，即c2=7a2，∴e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(c2,a2))=eq \r(7).故选B.
已知M，N是双曲线eq \f(x2,4)－y2=1上关于坐标原点O对称的点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是[eq \f(1,2),2]，则直线PN的斜率的取值范围是( )
A.[eq \f(1,8),eq \f(1,2)] B.[- eq \f(1,2),- eq \f(1,8)] C.(eq \f(1,8),eq \f(1,2)) D.[- eq \f(1,2),- eq \f(1,8)]∪[eq \f(1,8),eq \f(1,2)]
【答案解析】答案为：A；
解析：设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(m，n)(m≠±x0，n≠±y0)，
则kPM=eq \f(n－y0,m－x0)，kPN=eq \f(n＋y0,m＋x0).又P，M，N均在双曲线eq \f(x2,4)－y2=1上，则eq \f(m2,4)－n2=1，eq \f(xeq \\al(2,0),4)－yeq \\al(2,0)=1，
两式相减得eq \f(（m－x0）（m＋x0）,4)－(n－y0)(n＋y0)=0，eq \f(n－y0,m－x0)·eq \f(n＋y0,m＋x0)=eq \f(1,4)，即kPM·kPN=eq \f(1,4)，
又eq \f(1,2)≤kPM≤2，即eq \f(1,2)≤eq \f(1,4kPN)≤2，解得eq \f(1,8)≤kPN≤eq \f(1,2).故选A.
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A.(eq \r(2)，eq \r(3)) B.(eq \r(2)，＋∞) C.(eq \r(2)，2) D.(1，eq \f(\r(6),2))
【答案解析】答案为：B；
解析：由题意知，直线l：y=－eq \f(a,b)(x－c)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(a,b)x－c，,b2x2－a2y2＝a2b2，))
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2－\f(a4,b2)))x2＋eq \f(2a4c,b2)x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a4c2,b2)＋a2b2))=0，由x1x2=eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a4c2,b2)＋a2b2)),b2－\f(a4,b2))＜0，得b4＞a4，
所以b2=c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞eq \r(2).
已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|=3eq \r(2)的直线l有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案解析】答案为：C；
解析：由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(－eq \r(5)，0)，易得过F1且斜率不存在的直线为x=－eq \r(5)，该直线与双曲线的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(5)，\f(3\r(2),2)))，(－eq \r(5)，－eq \f(3\r(2),2))，则|AB|=3eq \r(2)，
又双曲线的两顶点分别为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，所以实轴长为2eq \r(2)，2eq \r(2)＜3eq \r(2)，
结合图象，由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条，故共有3条直线满足条件.
二、填空题
过抛物线C：y2=8x的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点Q(－2，2)，则直线l的方程为________.
【答案解析】答案为：2x－y－4=0.
解析：易得抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l：my=x－2，联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(my＝x－2，,y2＝8x，))
消去x，得y2－8my－16=0，其中Δ=64m2＋64＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2=8m，y1y2=－16，依题意得eq \(QA,\s\up6(→))=(x1＋2，y1－2)，eq \(QB,\s\up6(→))=(x2＋2，y2－2)，
则eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))=(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)=(my1＋4)(my2＋4)＋(y1－2)(y2－2)
=(m2＋1)y1y2＋(4m－2)(y1＋y2)＋20=－16(m2＋1)＋(4m－2)×8m＋20=4(2m－1)2，
易知eq \(QA,\s\up6(→))⊥eq \(QB,\s\up6(→))，则eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))=0，即4(2m－1)2=0，解得m=eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为2x－y－4=0.
设抛物线C：y2=2px(p＞0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|= .
【答案解析】答案为：0；
解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,y2＝2px))得到Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，
易知Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，\f(kp,2)))，P，Q的坐标由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))得到，消去x，
得eq \f(ky2,2p)－y－eq \f(kp,2)=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2=－p2，
根据弦长公式，|FP|·|FQ|=eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1|·eq \r(1＋\f(1,k2))·|y2|=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))|y1y2|=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))p2，
而|OA|·|OB|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,k2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,k)))2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kp,2)))2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))p2，
所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|=0.
已知直线MN过椭圆eq \f(x2,2)＋y2=1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点.直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则eq \f(|PQ|2,|MN|)=________.
【答案解析】答案为：2eq \r(2).
解析：法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my＋1，
则直线PQ的方程为x=my.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1))⇒(m2＋2)y2＋2my－1=0⇒y1＋y2=－eq \f(2m,m2＋2)，y1y2=－eq \f(1,m2＋2).
∴|MN|=eq \r(1＋m2)|y1－y2|=2eq \r(2)·eq \f(m2＋1,m2＋2).
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my，,\f(x2,2)＋y2＝1))⇒(m2＋2)y2－2=0⇒y3＋y4=0，y3y4=－eq \f(2,m2＋2).
∴|PQ|=eq \r(1＋m2)|y3－y4|=2eq \r(2) eq \r(\f(m2＋1,m2＋2)).故eq \f(|PQ|2,|MN|)=2eq \r(2).
法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|=eq \f(2b2,a)=eq \r(2)，|PQ|=2b=2，
则eq \f(|PQ|2,|MN|)=2eq \r(2).
已知P(1,1)为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________.
【答案解析】答案为：x＋2y－3＝0
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),2)＝1，① eq \f(x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,2),2)＝1，②
①－②得eq \f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq \f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2).
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.