2023年高考数学(文数)一轮复习课时45《椭圆》达标练习（2份，答案版+教师版）

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、选择题
如图所示，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A.20 B.10 C.2eq \r(5) D.4eq \r(5)
若直线x－2y＋2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2=1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)=1 C.eq \f(x2,5)＋y2=1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)=1 D. 以上答案都不对
若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为eq \f(1,2)，则eq \f(m,n)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(3,4)或eq \f(4,3)
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B.1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
已知点P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.2
与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)=1 B.x2＋eq \f(y2,6)=1 C.eq \f(x2,6)＋y2=1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)=1
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,16)a2=0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),2)
已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A.[eq \f(2,3),1) B.[eq \f(1,3),eq \f(\r(2),2)] C.[eq \f(1,3),1) D.(0,eq \f(1,3)]
已知直线l：y=kx＋2过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2=4截得的弦长为L.若L≥eq \f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2 \r(5),5))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3 \r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4 \r(5),5)))
已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(eq \f(\r(2),2),1) B.(eq \f(1,2),1) C.(0,eq \f(\r(2),2)) D.(0,eq \f(1,2))
斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B.eq \f(4\r(5),5) C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
、填空题
已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2eq \r(3))且a=2b，则椭圆的标准方程为________.
设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为 .
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为________.
已知点M(－4，0)，椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1(0＜b＜2)的左焦点为F，过F作直线l(l的斜率存在)交椭圆于A，B两点.若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为________.
\s 0 2023年高考数学(文数)一轮复习课时45《椭圆》达标练习（含详解）答案解析
、选择题
答案为：D
解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,4)＝1，))得N(c，eq \f(4,a))，∴H(0，eq \f(2,a))，M(－2c，－eq \f(2,a)).把点M的坐标代入椭圆方程得eq \f(4c2,a2)＋eq \f(－\f(2,a)2,4)＝1，化简得c2＝eq \f(a2－1,4)，又c2＝a2－4，∴eq \f(a2－1,4)＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝eq \r(5).由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4eq \r(5)，故选D.
答案为：C.
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c=2，b=1，
∴a2=5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2=1.当焦点在y轴上时，b=2，c=1，∴a2=5，
所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)=1.]
答案为：D
解析：若焦点在x轴上，则方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，依题意得eq \f(\f(1,m)－\f(1,n),\f(1,m))＝eq \f(1,4)，所以eq \f(m,n)＝eq \f(3,4)；
若焦点在y轴上，则方程化为eq \f(y2,\f(1,n))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1，同理可得eq \f(m,n)＝eq \f(4,3).所以所求值为eq \f(3,4)或eq \f(4,3).
答案为：A；
解析：因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为eq \f(bc,a)，即OC=eq \f(bc,a)，
因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，
代入椭圆方程得eq \f(（a＋c）2,4a2)＋eq \f(c2b2,a2b2)=1，所以5e2＋2e－3=0，又0＜e＜1，所以e=eq \f(3,5).故选A.
答案为：D；
解析：不妨设A点在B点上方，
由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1中，
可得A点纵坐标为eq \f(3,2)，故|AB|=3，
所以内切圆半径r=eq \f(2S,C)=eq \f(6,8)=eq \f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，故选D.
答案为：D；
解析：设内切圆的半径为r，因为S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2，
所以S△MPF1＋S△MPF2=λS△MF1F2；
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，所以ar=λcr，c=eq \r(a2－b2)，
所以λ=eq \f(a,\r(a2－b2))=2.
答案为：B；
解析：椭圆9x2＋4y2=36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)=1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)=1(a＞b＞0)，则c=eq \r(5).
又2b=2，即b=1，所以a2=b2＋c2=6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)=1.
答案为：B；
解析：由已知可得圆D：(x－a)2＋y2=eq \f(13,16)a2，圆心D(a，0)，
则菱形OADB对角线的交点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))，将x=eq \f(a,2)代入圆D的方程得y=±eq \f(3a,4)，
不妨设点A在x轴上方，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(3a,4)))，代入椭圆C的方程可得eq \f(1,4)＋eq \f(9a2,16b2)=1，
所以eq \f(3,4)a2=b2=a2－c2，解得a=2c，所以椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
答案为：C；
解析：如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|=|F1F2|=2c，
即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.∴a－c≤2c≤a＋c.∴e=eq \f(c,a)∈[eq \f(1,3),1).
答案为：B
解析：由题意知b=2，kc=2. 设圆心到直线l的距离为d，
则L=2eq \r(4－d2)≥eq \f(4 \r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5).
又因为d=eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4).
于是e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(c2,b2＋c2)=eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，解得0＜e≤eq \f(2 \r(5),5).故选B.
答案为：A.
解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1上存在点P使∠F1PF2为钝角，所以b＜c，则a2=b2＋c2＜2c2，
所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)＞eq \f(\r(2),2).又因为e＜1，所以e的取值范围为(eq \f(\r(2),2),1) ，故选A.]
答案为：C；
解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y=x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝x＋t，))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)=0，
则x1＋x2=－eq \f(8,5)t，x1x2=eq \f(4t2－1,5).
∴|AB|=eq \r(1＋k2)|x1－x2|
=eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)=eq \r(2)· eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))=eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t=0时，|AB|max=eq \f(4\r(10),5).
、填空题
答案为：eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)=1.
解析：[∵c=2eq \r(3)，a2=4b2，∴a2－b2=3b2=c2=12，b2=4，a2=16.
又焦点在y轴上，∴标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)=1.]
答案为：-5；
解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，
由椭圆的定义可得|PF1|=2a－|PF2|，
∴|PM|－|PF1|=|PM|－(2a－|PF2|)=|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|=eq \r(6－32＋4－02)=5,2a=10，∴|PM|－|PF1|≥5－10=－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
答案为：eq \f(3,5).
解析：[∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为eq \f(bc,a)，即OC=eq \f(bc,a)，
∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，
代入椭圆方程得eq \f(a＋c2,4a2)＋eq \f(c2b2,a2b2)=1，∴5e2＋2e－3=0，又0＜e＜1，∴e=eq \f(3,5).]
答案为：eq \f(1,2).
解析：如图，作点B关于x轴的对称点C，则点C在直线AM上.
设l：y=k(x＋c)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x＋c），,\f(x2,4)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去y得(4k2＋b2)x2＋8k2cx＋4k2c2－4b2=0，则x1＋x2=eq \f(－8k2c,4k2＋b2)，x1x2=eq \f(4k2c2－4b2,4k2＋b2)，
由角平分线的性质定理知eq \f(|MA|,|MB|)=eq \f(|AF|,|BF|)，所以eq \f(x1＋4,x2＋4)=eq \f(x1＋c,－x2－c)(*)，
可得2x1x2＋(4＋c)(x1＋x2)＋8c=0，故8b2(c－1)=0，所以c=1，故离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).