2023年高考数学(文数)一轮复习课时46《双曲线》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up10(→))=2eq \(AF,\s\up10(→))，且|eq \(BF,\s\up10(→))|=4，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)=1 C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1
直线l：x－2y－5=0过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)=1 C.eq \f(x2,4)－y2=1 D.x2－eq \f(y2,4)=1
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)=1有公共焦点，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)=1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=1 C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)=1
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B.1＋eq \r(3) C.2＋eq \r(3) D.4＋2eq \r(3)
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))－y2=1 B.x2－eq \f(y2,3)=1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)=1 D.eq \f(x2,\f(2,3))－eq \f(y2,\f(3,2))=1
已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C.(1,2) D.(2，＋∞)
已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)的最小值为( )
A.6 B.3 C.eq \r(6) D.eq \r(3)
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))最小值的取值范围是[－eq \f(3,4)c2,－eq \f(1,2)c2]，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A.(1，eq \r(2)] B.[eq \r(2)，2] C.(0，eq \r(2)] D.[2，＋∞)
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2=6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)=1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)=1
已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为eq \r(2)，且eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))>0，则点P的横坐标的取值范围为( )
A.(-∞,- eq \f(\r(17),3))∪(eq \f(\r(17),3),+∞)
B.(- eq \f(\r(17),3),eq \f(\r(17),3))
C.(-∞,- eq \f(\r(17),3))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(17),3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(17),3)，\f(2\r(17),3)))
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(7),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，＋∞))
二、填空题
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq \f(1,4)，则该双曲线的离心率为__________.
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1(a＞0)和抛物线y2=8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________.
F1(－4,0)，F2(4,0)是双曲线C：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,4)＝1(m＞0)的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为________.
已知双曲线eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)=1，过双曲线的上焦点F1作圆O：x2＋y2=25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则△MOT的外接圆的周长为________.
\s 0 答案解析
答案为：D；
解析：不妨设B(0，b)，由eq \(BA,\s\up10(→))=2eq \(AF,\s\up10(→))，F(c，0)，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，
代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)=1，即eq \f(4,9)·eq \f(a2＋b2,a2)=eq \f(10,9)，所以eq \f(b2,a2)=eq \f(3,2)，①
又|eq \(BF,\s\up10(→))|=eq \r(b2＋c2)=4，c2=a2＋b2，所以a2＋2b2=16，②
由①②可得，a2=4，b2=6，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1，故选D.
答案为：A.
解析：根据题意，令y=0，则x=5，即c=5.又eq \f(b,a)=eq \f(1,2)，所以a2=20，b2=5，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)=1.]
答案为：B；
解析：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=k(k＞0)，即eq \f(x2,4k)－eq \f(y2,5k)=1，
∵双曲线与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)=1有公共焦点，∴4k＋5k=12－3，解得k=1，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=1，故选B.
答案为：C.
解析：由渐近线互相垂直可知（- eq \f(b,a)=）·eq \f(b,a)=－1，即a2=b2，即c2=2a2，即c=eq \r(2)a，所以e=eq \r(2).]
答案为：B
解析：∠PQF＝60°，因为|PQ|＝2|QF|，所以∠PFQ＝90°，设双曲线的左焦点为F1，
连接F1P，F1Q，由对称性可知，四边形F1PFQ为矩形，且|F1F|＝2|QF|，|QF1|＝eq \r(3)|QF|，
故e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F|,|QF1|－|QF|)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1.
答案为：B；
解析：由题意得，eq \f(b,a)=tan 60°=eq \r(3)，因为双曲线C过点(eq \r(2)，eq \r(3))，
所以eq \f(（\r(2)）2,a2)－eq \f(（\r(3)）2,b2)=1，联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\r(3)，,\f(2,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3，))
所以双曲线C的标准方程是x2－eq \f(y2,3)=1.故选B.
答案为：A；
解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，
即bx±ay=0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2=0可化为(x－a)2＋y2=eq \f(1,4)a2，
圆心C2的坐标为(a,0)，半径r=eq \f(1,2)a，
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))＜eq \f(1,2)a，
即c＞2b，即c2＞4b2，
又知b2=c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜eq \f(4,3)a2，所以e=eq \f(c,a)＜eq \f(2\r(3),3)，
又知e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，故选A.
答案为：A；
解析：设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，
依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a,|PF1|－|PF2|＝2a′))，2a=2a′＋4c，
所以eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)=eq \f(2a,c)＋eq \f(c,\a\vs4\al(2a′))=eq \f(2a′＋4c,c)＋eq \f(c,\a\vs4\al(2a′))=eq \f(2a′,c)＋eq \f(c,\a\vs4\al(2a′))＋4≥2＋4=6，
当且仅当c=2a′时取“=”，故选A.
答案为：B 设P(x0，y0)，
则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)=xeq \\al(2,0)－c2＋yeq \\al(2,0)=a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(y\\al(2,0),b2)))－c2＋yeq \\al(2,0)，
上式当y0=0时取得最小值a2－c2，根据已知－eq \f(3,4)c2≤a2－c2≤－eq \f(1,2)c2，
所以eq \f(1,4)c2≤a2≤eq \f(1,2)c2，即2≤eq \f(c2,a2)≤4，即eq \r(2)≤eq \f(c,a)≤2，
所以所求双曲线的离心率的取值范围是[eq \r(2)，2].
答案为：C.
解析：如图，不妨设A在B的上方，则A(c，eq \f(b2,a))，B(c，－eq \f(b2,a)).
其中的一条渐近线为bx－ay=0，则d1＋d2=eq \f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))=eq \f(2bc,c)=2b=6，∴b=3.
又由e=eq \f(c,a)=2，知a2＋b2=4a2，∴a=eq \r(3). ∴双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)=1. 故选C.]
答案为：A.
解析：由题易知四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线OA：bx－y=0，OB：bx＋y=0.设点P(m，n)，则直线PB的方程为y－n=b(x－m)，且点P到渐近线OB的距离为d=eq \f(|bm＋n|,\r(1＋b2)).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－n＝bx－m，,bx＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(bm－n,2b)，,y＝\f(n－bm,2)，))∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bm－n,2b)，\f(n－bm,2)))，
∴|OB|=eq \r(\f(bm－n2,4b2)＋\f(n－bm2,4))=eq \f(\r(1＋b2),2b)|bm－n|，
∴S▱PAOB=|OB|·d=eq \f(|b2m2－n2|,2b).又∵m2－eq \f(n2,b2)=1，∴b2m2－n2=b2，∴S▱PAOB=eq \f(1,2)b.
又S▱PAOB=eq \r(2)，∴b=2eq \r(2).∴双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,8)=1，
∴c=3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)，
∴eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又∵m2－eq \f(n2,8)=1，
∴m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>eq \f(\r(17),3)或m<－eq \f(\r(17),3)，
∴点P的横坐标的取值范围为－∞，－eq \f(\r(17),3)∪(eq \f(\r(17),3),+∞)，故选A.
答案为：C；
解析：由条件得|OP|2=2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.
又∵c2=a2＋b2≥a2＋eq \f(a2,4)=eq \f(5,4)a2，∴e=eq \f(c,a)≥eq \f(\r(5),2).∴双曲线离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)).
二、填空题
答案为：eq \f(2\r(3),3).
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay=0，一个焦点坐标为(c,0).
由题意得eq \f(|bc－a×0|,\r(b2＋a2))=eq \f(1,4)×2c.所以c=2b，a=eq \r(c2－b2)=eq \r(3)b，所以e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(3))=eq \f(2\r(3),3).
答案为：eq \r(2).
解析：易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，所以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1的焦点为(2,0)，
则a2＋2=22，即a=eq \r(2)，所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2).
答案为：4eq \r(3)
解析：因为F1(－4,0)，F2(4,0)是双曲线C：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,4)＝1(m＞0)的两个焦点，
所以m＋4＝16，所以m＝12，设|MF1|＝m′，|MF2|＝n，因为点M是双曲线上一点，
且∠F1MF2＝60°，所以|m′－n|＝4eq \r(3)①，m′2＋n2－2m′ncs 60°＝64②，
由②－①2得m′n＝16，所以△F1MF2的面积S＝eq \f(1,2) m′n sin 60°＝4eq \r(3).
答案为：eq \f(37,7)π.
解析：如图，∵F1M为圆的切线，∴OM⊥F1M，在直角三角形OMF1中，|OM|=5.
设双曲线的下焦点为F2，连接NF2，∴OT为△F1F2N的中位线，∴2|OT|=|NF2|.
设|OT|=x，则|NF2|=2x，又|NF1|－|NF2|=10，∴|NF1|=|NF2|＋10=2x＋10，
∴|TF1|=x＋5.由勾股定理得|F1M|2=|OF1|2－|OM|2=132－52=144，|F1M|=12，
∴|MT|=|x－7|，在直角三角形OMT中，|OT|2－|MT|2=|OM|2，
即x2－(x－7)2=52，∴x=eq \f(37,7).又△OMT是直角三角形，故其外接圆的直径为|OT|=eq \f(37,7)，
∴△MOT的外接圆的周长为eq \f(37,7)π.