2023年高考数学(文数)一轮复习课时57《几何概型》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(π,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(π,4)
在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－eq \f(5,4)k=0相切的概率等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )
某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8) C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于eq \f(6,5)的概率是( )
A.eq \f(12,25) B.eq \f(16,25) C.eq \f(17,25) D.eq \f(18,25)
在区间[- eq \f(1,2),eq \f(1,2)]上随机取一个数x，则cs πx的值介于eq \f(\r(2),2)与eq \f(\r(3),2)之间的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)

中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.
如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若cs2∠BAE=eq \f(7,25)，则在正方形ABCD内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH内的概率为( )
A.eq \f(24,25) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,25)
若函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，0≤x＜1，,ln x＋e，1≤x≤e))在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是( )
A.eq \f(1,e) B.1－eq \f(1,e) C.eq \f(e,1＋e) D.eq \f(1,1＋e)
如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq \f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq \f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq \f(1,2)”的概率，则( )
A.p1 如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在圆内的豆子个数为M，则估计圆周率π的值为( )
A.eq \r(\f(2\r(3)M,N)) B.eq \r(\f(3M,N)) C.eq \f(3M,N) D.eq \f(2\r(3)M,N)
二、填空题
有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，
在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________.
一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________.
某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________.
如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .
\s 0 答案解析
答案为：B
解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形=4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑=S白=eq \f(1,2)S圆=eq \f(π,2)，
所以由几何概型知所求概率P=eq \f(S黑,S正方形)=eq \f(\f(π,2),4)=eq \f(π,8).故选B.
答案为：A；
解析：依题意
作出图象如图，则P(y≤2x)=eq \f(S阴影,S正方形)=eq \f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)=eq \f(1,4).
答案为：D
解析：由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，
所以－1＜k＜0，故所求概率为eq \f(1,6).故选D.
答案为：A
解析：A游戏盘的中奖概率为eq \f(3,8)，B游戏盘的中奖概率为eq \f(1,3)，C游戏盘的中奖概率为eq \f(2r2－πr2,2r2)=eq \f(4－π,4)(其中r为圆的半径)，D游戏盘的中奖概率为eq \f(r2,πr2)=eq \f(1,π)(其中r为圆的半径)，故A游戏盘的中奖概率最大.故选A.
答案为：B
解析：记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝eq \f(25,40)＝eq \f(5,8).
答案为：C；
解析：设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤1，,0≤y≤1))
确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,x＋y<\f(6,5)))
确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，
阴影部分的面积是1－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2=eq \f(17,25)，所以这两个数之和小于eq \f(6,5)的概率是eq \f(17,25).
答案为：D
解析：区间[- eq \f(1,2),eq \f(1,2)]的长度为1，满足cs πx的值介于eq \f(\r(2),2)与eq \f(\r(3),2)之间的
x∈（- eq \f(1,4)，- eq \f(1,6)）∪（eq \f(1,6)，eq \f(1,4)），区间长度为eq \f(1,6)，由几何概型概率公式得P＝eq \f(\f(1,6),1)＝eq \f(1,6).
答案为：D.
解析：如题图所示，正方形EFGH的边长为AE－AH=a－b，正方形ABCD的边长为eq \r(a2＋b2).
由题意知cs2∠BAE=2cs2∠BAE－1=2×eq \f(a2,a2＋b2)－1=eq \f(7,25)，解得9a2=16b2，即a=eq \f(4,3)b，
则该点恰好在正方形EFGH内的概率为eq \f(a－b2,a2＋b2)=eq \f(\f(1,9)b2,\f(25,9)b2)=eq \f(1,25).故选D.
答案为：B.
解析：当0≤x＜1时，恒有f(x)=ex＜e，不满足题意.
当1≤x≤e时，f(x)=ln x＋e.由ln x＋e≥e，得1≤x≤e.
∴所求事件的概率P=eq \f(e－1,e)=1－eq \f(1,e).]
答案为：C.
解析：设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC=1，则BG=CG，∠BGC=120°，
在△BCG中，由余弦定理得1=BG2＋BG2－2BG2cs120°，得BG=eq \f(\r(3),3)，
所以S△BCG=eq \f(1,2)×BG×BG×sin120°=eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(3),12)，
因为S六边形ABCDEF=S△BOC×6=eq \f(1,2)×1×1×sin60°×6=eq \f(3\r(3),2)，
所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－eq \f(6S△BCG,S六边形ABCDEF)=eq \f(2,3).
答案为：B；
答案为：D
解析：设圆的半径为r，则根据几何概型的概率公式，
可得eq \f(M,N)=eq \f(πr2,6×\f(\r(3),4)×\f(2,\r(3))·r2)，故π=eq \f(2\r(3)M,N)，选D.
二、填空题
答案为：eq \f(5,9).
解析：由题意知，所求的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)×13))÷(π×12×3)=eq \f(5,9).
答案为：eq \f(π,15).
解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为eq \f(1,2)×5×12＝30，
阴影部分的面积为eq \f(1,2)×π×22＝2π，所以其概率为eq \f(2π,30)＝eq \f(π,15).
答案为：eq \f(21,25).
解析：设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0≤x≤5,0≤y≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x－y|≤3，做出图形如图所示，
根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率
P=1－eq \f(2×\f(1,2)×2×2,5×5)=eq \f(21,25).
答案为：eq \f(2,e2)；
解析：因为y=ex与y=ln x互为反函数，故直线y=x两侧的阴影部分面积相等，
所以S阴影=2·eq \i\in(0,1,)(e－ex)dx=2(ex－ex)|eq \\al(1,0)=2，又S正方形=e2，故P=eq \f(S阴影,S正方形)=eq \f(2,e2).