第10章概率（单元卷）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

这是一份第10章概率（单元卷）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第10章概率（单元卷）
考试时间：120分钟 满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·全国·高一单元测试）若事件A和B是互斥事件，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由互斥事件间的概率关系可得答案.
【详解】
解：由于事件A和B是互斥事件，则，
又，所以，所以，
故选：A.
2．（2021·全国·高一单元测试）甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（       ）
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
【答案】B
【解析】
【分析】
由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得．
【详解】
所求概率为.故选B.
【点睛】
本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题．
3．（2021·全国·高一单元测试）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(　　)
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
【答案】C
【解析】
【详解】
解：因为抽验一件产品只有三种结果，甲、乙、丙三级．利用对立事件的概率公式可知1-5%-3%=92%,即选择C
4．（2021·全国·高一单元测试）某城市一年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
不大于30





概率P







其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到良或优的概率为（       ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件的和的概率公式求解即可.
【详解】
由表知空气质量为优的概率是，
由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，
所以该城市空气质量达到良或优的概率，
故选：C
5．（2022·全国·高二单元测试）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
6．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三学业考试）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
7．（2021·全国·高一单元测试）甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是一个古典概型，从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球表示从甲袋中取得一个红球且从乙袋中取得一个红球，试验发生的总事件数是，满足条件的事件数是，由古典概型公式得到结果．
【详解】
解：由题意知本题是一个古典概型，
记“从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球”，为事件，
试验发生的总事件数是，
满足条件的事件数是，
由古典概型公式得到（A）.
故选：C
8．（2021·全国·高一单元测试）现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1,2,3,4,5表示命中，6,7,8,9,0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
     807     966     191     925     271     932     812     458     569     683
     489     257     394     027     552     488     730     113     537     741
根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为
A．0.20 B．0.25 C．0.30 D．0.50
【答案】D
【解析】
【详解】
由题意知模拟三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三次射箭恰有两次命中的有：，共组随机数，所求概率为，故选D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是
A．至少有1个红球与都是红球 B．至少有1个红球与至少有1个白球
C．恰有1个红球与恰有2个红球 D．至多有1个红球与恰有2个红球
【答案】CD
【解析】
根据互斥不对立事件的定义辨析即可.
【详解】
根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;
B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;
C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,
D符合题意.
故选：CD
【点睛】
本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.
10．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【答案】ACD
【解析】
分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可.
【详解】
选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题,属于基础题型.
11．（2020·全国·高一单元测试）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下:

A．表中①位置的数据是12
B．表中②位置的数据是0.3
C．在第三､四､五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人
D．在第三､四､五组中用分层抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5
【答案】AB
【解析】
根据频数之和为50可判断A；由频数除以样本容量等于频率可判断B；根据分层抽样的概念可判断C；记“2人中到少有1名是第四组的“为事件A，用列举法可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可判断D.
【详解】
①位置的数据为，A正确；
②位置的数据为，B正确；
由分层随机抽样得，第三､四､五组参加考核的人数分别为3，2，1，C错误；
设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.
记“2人中到少有1名是第四组的“为事件A，则事件A所含的基本事件的种数为9.
所以，故2人中至少有1名是第四组的概率为，D错误.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率计算与频率分布表的运用，是常见的题型，注意加强训练，属于基础题.
12．（2021·全国·高一单元测试）设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”；事件“击中环数大于5”；事件“击中环数大于1且小于6”；事件“击中环数大于0且小于6”，则错误的关系是（       ）
A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互斥 D．A与D互为对立
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念即可判断事件B、C的关系和事件A、D的关系.
【详解】
由题意知，
事件B、C不会同时发生，但可能会同时不发生，
所以事件B与C为互斥事件，但不是对立事件；
事件A、D会同时发生，所以事件A与D既不互斥也不对对立.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））抛掷一枚骰子，记为事件“出现点数是奇数”，为事件“出现点数是3的倍数”，则 _________，__________．
【答案】         
【解析】
【分析】
根据列举法列出所有基本事件，再根据古典概型的概率公式计算可得结果.
【详解】
抛掷一枚骰子，基本事件为出现的点数是1、2、3、4、5、6，
事件包括出现的点数是1、3、5、6这4个基本事件，故；
事件包括出现的点数是3这1个基本事件，故．
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.
14．（2021·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，在前两次取出的是白球的前提下，袋中还有4个红球，4个白球，根据古典概型概率公式计算即可.
【详解】
由题意可知，在前两次取出的是白球的前提下，袋中还有4个红球，4个白球，
故第三次取出红球的概率为.
故答案为.
【点睛】
本题考查条件概率，确定基本事件的个数是解题关键，也可以通过条件概率计算公式求解.
条件概率的求法：
（1）借助古典概型概率公式，先求出事件A发生条件下的基本事件数，再求出事件A发生条件下事件B包含的基本事件数，得；
（2）利用条件概率公式，分别求出和，得.
15．（2021·全国·高二课时练习）在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,则“X=3”表示的试验结果是_____.
【答案】前两次均取到正品,第三次取到次品
【解析】
【详解】
ξ=3表示共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.
点睛：首先要明确随机变量的实际意义，在研究随机变量的结果时，常用以下方法，
（1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
16．（2022·全国·高二）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【答案】②④
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.
【详解】
由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得，故②正确；
,①⑤错；
因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④
故答案为：②④
【点睛】
本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国·高一课时练习）一小袋中有3个红色、3个白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球．
（1）求摸出的3个球都为白球的概率是多少？
（2）求摸出的3个球为2个红球、1个白球的概率是多少？
【答案】（1）（2）
【解析】
先利用列举法求得试验所包含的基本事件的个数，
（1）找出事件｛摸出的3个球为白球｝所包含的基本的事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）找出事件｛摸出的3个球为2个红球、1个白球｝所包含的基本的事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，把3个红色乒乓球标记为，，，3个白色乒乓球标记为1，2，3，
从6个球中随机摸出3个球的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，123，共20个基本事件.
（1）记事件｛摸出的3个球为白球｝，事件包含的样本点1个，即123，则.
（2）记事件｛摸出的3个球为2个红球、1个白球｝，
则事件包含，，，，，，，，，共有9个基本事件，所以概率为.
【点睛】
本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题，解题时要准确理解题意，正确求得试验中包含的基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
18．（2020·宁夏·吴忠中学高一期中）从一批草莓中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频率分布表如下：
分组（重量）









频数（个）









已知从个草莓中随机抽取一个，抽到重量在的草莓的概率为．
（1）求出，的值；
（2）用分层抽样的方法从重量在和的草莓中共抽取个，再从这个草莓中任取个，求重量在和中各有个的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）抽到重量在的草莓的概率为，，从而求出两个值；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，利用古典概型的概率计算公式计算求值．
【详解】
（1）依题意可得，，从而得．
（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的草莓中共抽取5个，则重量在的个数为；记为，，
在的个数为；记为，，，
从抽出的5个草莓中，任取个共有，，，，，，，，，10种情况．
其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有，，，，，6种．
设事件表示“抽出的5个草莓中，任取个，重量在和中各有一个”，则．
答：从抽出的5个草莓中，任取个，重量在和中各有一个的概率为．
考点：1、频率分布表的应用；2、利用古典概型求随机事件的概率．
19．（2020·全国·高一课时练习）公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩（单位：分）如下：
男：165   166   168   172   173   174   175   176   177   182   184   185   193   194
女：168   177   178   185   186   192
公司规定：成绩在180分以上（包括180分）者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数．
（2）如果用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
【答案】（1）中位数是175.5，平均数181；（2）.
【解析】
（1）根据中位数的计算方法，可求得男生成绩的中位数，再由平均数的计算公式，可得女生成绩的平均数；
（2）先利用分层随机抽样的方法，求得从“甲部门”抽取2人选，在“乙部门”抽取3，再结合古典概型的概率的计算公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，男生共有14人，将男生成绩按从小到大的顺序排列，中间两个成绩175和176，根据中位数的计算方法，可得男生成绩的中位数是，
由平均数的计算公式，可得女生成绩的平均数.
（2）用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选共20人中抽取5人，
所以每个人被抽中的概率是.
由题意可知，“甲部门”共有8人，“乙部门”共有12人，
所以选取的“甲部门”的人选有（人），
“乙部门”的人选有（人），
记选中的“甲部门”的人选为，，选中的“乙部门”的人选为，，，
从这5人中选2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10个基本事件，
其中事件“至少有一人是“甲部门”人选”包含，，，，，，，共有7个基本事件，
所概率为.
【点睛】
本题主要考查了中位数、平均数的计算，以及抽样方法和古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，利用中位数、平均数和古典概型的概率计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
20．（2020·广西·象州县中学高一阶段练习）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：

(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185cm的概率；
(3)从样本中身高在180～190cm的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm的概率．
【答案】（Ⅰ）400
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出样本中男生人数，再由分层抽样比例，估计全校男生人数；（2）由统计图计算出样本中身高在170～185cm之间的学生数，根据样本数据计算对应的概率；（3）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率
试题解析：（Ⅰ）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率为，
故可估计该校学生身高在170~185cm之间的概率为；
（Ⅲ）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：

故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率
考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
21．（2021·全国·高一课时练习）为弘扬中华传统文化，某单位举行了诗词大赛，经过初赛，最终甲乙两人进行决赛，争夺冠亚军，决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.
已知甲、乙各参加了三场初赛，答题情况统计如下表：

第一场
第二场
第三场
甲
8对2错
7对3错
9对1错
乙
7对3错
10对0错
8对2错

以甲、乙初赛三场答题的平均正确率作为他们决赛答题正确的概率，且他们每次答题的结果相互独立，
（1）若甲先答题，求甲获得冠军的概率；
（2）若甲先答题，求甲获得冠军的概率；
（3）甲获得冠军是否与谁先答题有关？（不要求写过程）
【答案】（1） ;（2） ;   （3）有关系
【解析】
【详解】
甲的正确率为，乙的正确率为，设A：“甲答题正确”，B：“乙答题正确”
则，
（1）设C：“甲3:0获冠军”
则
所以甲先答题，以3:0获得冠军的概率为 .                  
（2）甲3:0获得冠军的概率，
甲3:1获得冠军的概率
甲3:2获得冠军的概率
                                   

甲获得冠军的概率为                                      （3）有关系
22．（2020·全国·高一单元测试）某校设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关,第二关,第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆,10个学豆,20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲第一关,第二关,第三关闯关成功的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功与否互不影响.
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;
(2)求该选手所得学豆总个数不少于15的概率.
【答案】(1)   (2)
【解析】
（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥，由此利用互斥事件概率加法公式能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（2）该选手所得学豆总个数可能为0，5，15，35，先用相互独立事件同时发生的概率公式计算出总个数为15和35时所对应的概率，再相加即可.
【详解】
(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥.
，，，
所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
(2)由题意得该选手所得学豆总个数可能为0，5，15，35，
且“该选手所得学豆总个数为15”的概率为，
“该选手所得学豆总个数为35”的概率为.
所以“该选手所得学豆总个数不少于15”的概率为.
【点睛】
本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于中档题.