第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

这是一份第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版），共18页。试卷主要包含了直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的性质定理，与线面垂直有关的重要结论，两平面垂直的定义，两平面垂直的判定定理，两平面垂直的性质定理等内容，欢迎下载使用。
第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4．与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．5．两平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．6．两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．7．两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．8.空间角(1)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，]．  (2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．
 ②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角．                                 9.垂直关系的转化判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理转化：面面垂直用图形表示为： 
 同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行考点一 : 垂直问题有关的命题判定例1　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________．①若m⊥n，n∥α，则m⊥α②若m∥β，β⊥α则m⊥α③若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α变式训练  已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；   ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；   ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是________．考点二 ： 线面垂直的判定与性质例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.       考点三 ： 面面垂直的判定和性质例3　如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．   (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．       变式训练  如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．  (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．          题组A  基础过关练一、单选题1．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（       ）①，则；②，则；③，则.A．1 B．2 C．3 D．02．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（       ）①平面；②平面；③平面平面.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）在空间中，下列命题正确的是（       ）A．经过三个点确定一个平面 B．平行于同一直线的两个平面平行C．四边形确定一个平面 D．垂直于同一平面的两条直线平行4．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（       ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则二、多选题5．（2021·全国·高一专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（       ）A．，，B．，，C．，，D．，6．（2021·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，在三棱锥中，，下列结论正确的是（       ）A．平面平面ABC B．平面平面ABCC．平面平面VBC D．平面平面VBC7．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）两条异面直线与同一平面所成的角可能是（       ）A．均为锐角 B．一个0度，一个90度 C．均为0度 D．均为90度8．（2021·全国·高一课时练习）在平行六面体中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，，则有（       ） A． B．C．面 D．面三、概念填空9．（2022·全国·高一课时练习）（1）直线与平面垂直的定义定义一般地，如果直线l与平面内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法_____________有关概念直线l叫做平面的__________，平面叫做直线l的__________，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做___________画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边__________图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与___________间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的__________叫做这个点到该平面的距离 （2）直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的___________垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言，，，，__________图形语言 10．（2022·全国·高一课时练习）空间中直线l和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(      )A．平行       B．垂直       C．相交       D．不确定11．（2022·全国·高一课时练习）直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与平面__________，但不与这个平面_________，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的________做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引________，过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的____________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是____________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是____________．直线与平面所成的角的取值范围是____________ 12．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(      )（2）若直线l与平面内的无数条直线垂直，则．(      )（3）若，，则．(      )13．（2022·全国·高一课时练习）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是_____________．14．（2022·全国·高一课时练习）体积为6的正四棱锥的底面正方形的边长为2，则顶点P到底面的距离为______．四、解答题15．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.(1)求证：DE 平面ABC；(2)求证：B1C⊥平面BDE.      16．（2022·湖南·高一课时练习）长方体的棱，，．(1)求点B和点之间的距离；(2)求直线CD和平面的距离；(3)求点到平面的距离．     17．（2022·湖南·高一课时练习）如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．18．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面平面，侧棱，底面是直角梯形，其中是上一点.(1)若平面，求；(2)求证：平面平面.  19．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）已知正方体.(1)证明：平面；(2)求异面直线与BD所成的角.     20．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，且面，、分别是棱、的中点.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.     题组B  能力提升练一、单选题1．（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，给出下列判断：（1）直线平面（2）平面（3）异面直线与所成角的范围是（4）三棱锥的体积不变其中正确的命题是（       ）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（4）2．（2021·全国·高一课时练习）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB的体积等于.其中正确的是（ ）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④3．（2021·全国·高一单元测试）如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（　　）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN4．（2021·广西·钦州市第四中学高一阶段练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（　　）A．不存在 B．2条C．4条 D．无数条5．（2021·全国·高一课前预习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（       ）A． B． C． D．二、多选题6．（2021·全国·高一课时练习）在正方体中，已知点在直线上运动，下列结论中正确的是（       ）A．三棱锥的体积为定值；B．；C．当为的中点时，与平面所成角的余弦值为；D．设正方体的棱长为2，则的最小值为7．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）已知m、n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（       ）A．若，则B．若，则C．若m、n是异面直线，，则D．若，则8．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（       ）A．在棱上存在点，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面三、填空题9．（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为__________.10．（2021·全国·高一专题练习）如图，在中，，，，点是边（端点除外）上的一动点.若将沿直线翻折，能使点在平面内的射影落在的内部（不包含边界），且.设，则t的取值范围是________________.11．（2021·全国·高一专题练习）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，与底面成角，是平面内任意一点，则的最小值是________.12．（2021·湖南·怀化市第三中学高一期中）已知三棱锥的顶点P在底面的射影O为的垂心，若的面积，的面积，的面积，满足，且三棱锥的外接球半径为3，则的面积之和的最大值为_________．四、解答题13．（2021·广东·化州市第三中学高一期末）在五面体EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形 ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．(1)求证：AC⊥BF；(2)若三棱锥A﹣BCE的体积为，求线段AB的长．  14．（2022·湖南·高一课时练习）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4．P是正方体的其余四个顶点中的一个，求点P到平面的距离的可能值．15．（2022·湖南·高一课时练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．求：(1)四棱锥的体积；(2)三棱锥的体积．    16．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．(1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论；(2)求证：平面平面ABCD．      17．（2022·湖南·高一课时练习）如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点．(1)求证：平面平面；(2)设平面与平面的交线为l，求证：．    18．（2022·湖南·高一课时练习）如图，EA和DC都垂直于平面ABC，，F，G分别是EB和AB的中点．求证：(1)平面ABC；(2)平面ABC．  19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在圆锥PO中，已知，的直径，C是上一点（异于A，B），D为AC的中点．求证：平面平面PAC．   20．（2022·湖南·高一课时练习）用一个平面去截长方体，截面的形状将会是什么样的？若想看到截面的样子，可以用一个长方体的盒子，内装一定量的液体，以不同的方向角度倾斜．观察液体表面的变化，我们看到：液面可以是三角形、四边形、五边形或六边形．观察并思考下列问题：(1)液面不会是七边形，为什么？(2)当液面是三角形时，一定是锐角三角形，为什么？(3)当液面是四边形时，这个四边形有什么特点？(4)设长方体有公共顶点的三条棱长分别为a，b，c（），液面会是正方形吗？(5)液面不会是正五边形，为什么？(6)在什么条件下，液面呈正六边形？(7)当液面是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？(8)当液面是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？    21．（2021·广西·钦州市第四中学高一阶段练习）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的正方形，ACC1A1是菱形，，且平面BB1C1C垂直平面ACC1A1，M为A1C1中点．（1）求证：平面MBC⊥平面A1B1C1；（2）求点C1到平面MB1C的距离