2023届高考物理（新鲁科版）一轮总复习讲义第七章　机械振动和机械波

【课程标准内容及要求】　机械振动　1.通过实验，认识简谐运动的特征。2.能用公式和图像描述简谐运动。3.通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。

机械波　1.通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波。能用图像描述横波。理解波速、波长和频率的关系。2.知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象。3.通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因。能列举多普勒效应的应用实例。实验九：用单摆测量重力加速度的大小。

第1讲　机械振动

一、简谐运动

1.简谐运动

(1)定义：物体所受回复力的大小与位移大小成正比，方向总是与位移方向相反的运动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

(3)回复力

①定义：使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2.简谐运动的两种模型

【自测】 (多选)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是(　　)

A.简谐运动是匀变速运动

B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量

C.简谐运动的回复力可以是恒力

D.弹簧振子每次经过平衡位置时，动能最大

答案　BD

二、简谐运动的表达式和图像

1.简谐运动的表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。

2.简谐运动的图像

(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图1甲所示。

(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图1乙所示。

图1

三、受迫振动和共振

1.受迫振动

系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。

2.共振

做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图2所示。

图2

命题点一　简谐运动的基本特征及应用

【例1】 如图3，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m，该弹簧振子的周期和振幅分别为(　　)

图3

A.1 s　0.1 m   B.2 s　0.1 m

C.4 s　0.2 m   D.4 s　0.4 m

答案　C

解析　根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4 s，半个周期的路程为s＝0.4 m，一个完整的周期路程为0.8 m，有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m，故C正确。

【针对训练1】 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图4所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点    (　　)

图4

A.7 s   B.14  s 

C.16  s   D. s

答案　C

解析　由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2)s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4)s＝16 s，故选项C正确。

【针对训练2】 (多选)如图5所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin  cm。下列说法正确的是(　　)

图5

A.M、N间距离为5 cm

B.振子的运动周期是0.2 s

C.t＝0时，振子位于N点

D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度

答案　BC

解析　M、N间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5sin  cm可知t＝0时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sin  cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。

命题点二　简谐运动图像的理解和应用

1.由图像可获取的信息

图6

(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图6所示)。

(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。

(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。

(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。

(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。

2.简谐运动的对称性(如图7)

图7

(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。

(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。

【例2】 (2021·德州模拟)如图8甲所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是   (　　)

图8

A.弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动

B.弹簧振子的振动方程为

x＝0.1sin(2πt＋)m

C.图乙中的P点时刻速度方向与加速度方向都沿x轴正方向   

D.弹簧振子在2.5 s内的路程为1 m

答案　D

解析　弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；根据乙图可知，弹簧振子的振幅A＝0.1 m，周期T＝1 s，则圆频率ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振动方程为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.1sin(2πt＋)m，故B错误；简谐运动图像中的P点时刻速度方向为负，振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，故C错误；因周期T＝1 s，则时间2.5 s 和周期的关系为2.5 s＝2T＋，则振子从B点开始振动的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，故D正确。

【针对训练3】 (2021·北京市西城区统一测试)用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图9所示，下列描述正确的是(　　)

图9

A.1～2 s内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大

B.2～3 s内，弹簧的弹性势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大

C.t＝4 s时，小球的动能达到最大值，弹簧的弹性势能达到最小值

D.t＝5 s时，弹簧弹力为正的最大值，小球的加速度为负的最大值

答案　C

解析　由题图可知，1～2 s内小球的位移减小，说明弹性势能转化为动能即速度增大，由a＝－可知，加速度减小，故A错误；2～3 s内小球的位移增大，说明动能转化为弹性势能即弹性势能增大，弹簧弹力逐渐增大，故B错误；t＝4 s时，小球位于平衡位置，此时动能最大，由能量守恒可知，弹簧的弹性势能达到最小值，故C正确；t＝5 s时，小球的位移正向最大，则弹簧弹力为负的最大值，小球的加速度为负的最大值，故D错误。

题型自我感悟

1.简谐运动的图像能较好的反映运动的对称性，可以从图像直接得到的物理量有哪些？图像是物体的运动轨迹吗？

提示　可以直接得到振幅、周期以及质点在某一个时刻的位移；图像不是物体的运动轨迹，反映了质点的位移随时间的变化规律。

2.位移x是分析简谐运动特征的关键物理量，从位移x出发，可以按照动力学和能量思路分析各量的变化，请你具体来分析。

提示　根据F回＝ －kx＝ma可知，x增大时，F回增大，a增大，v减小；反之

F回减小，a减小，v增大。x增大时，弹性势能增大，根据机械能守恒，动能减小；反之，x减小时，弹性势能减小，根据机械能守恒，动能增大。

命题点三　单摆及其周期公式

1.单摆的受力特征

(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。

(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝T－mgcos θ。

(3)两点说明

①当摆球在最高点时，F向＝＝0，T＝mgcos θ。

②当摆球在最低点时，F向＝m，F向最大，T＝mg＋m。

2.周期公式T＝2π的两点说明

(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。

(2)g为当地重力加速度。

【例3】 (2021·山东烟台市5月模拟)如图10甲所示，细线下端悬挂一个去除了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为(　　)

图10

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足T＝，单摆周期公式为T＝2π，联立解得该单摆的等效摆长为l＝，B正确。

【针对训练4】 (2021·北京顺义区统练)如图11甲所示，O点为单摆的固定悬点，在此处将力传感器与摆线相连(图甲中未画出)。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，图乙中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)

图11

A.单摆的摆长为2.5 m

B.摆球的质量为0.049 8 kg

C.单摆的振动周期为0.8π s

D.摆球运动过程中的最大速度为 m/s

答案　C

解析　根据乙图，周期为T＝0.8π s，故C正确；根据周期公式T＝2π，整理得l＝＝1.6 m，故A错误；由于在最低点时的拉力大小为F＝0.504 N，根据牛顿第二定律有F－mg＝m，设在A点时，摆线与竖直方向夹角为θ，在最高点时的拉力为F′＝mgcos θ＝0.498 N，由最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有mgl(1－cos θ)＝mv2，联立可得m＝0.05 kg，v＝ m/s，故B、D错误。

命题点四　受迫振动和共振

1.简谐运动、受迫振动和共振的关系比较

2.对共振的理解

(1)共振曲线：如图12所示，f与f固越接近，振幅A越大；当f＝f固时，振幅A最大。

图12

(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

【例4】 (2021·天津河西区期末质量调查)如图13甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是(　　)

图13

A.小球振动的固有频率是4 Hz

B.小球做受迫振动时周期一定是4 s

C.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大

D.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小

答案　C

解析　小球振动的固有周期T固＝4 s，则其固有频率为f固＝＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。

【针对训练5】 下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则(　　)

A.f固＝60 Hz B.60 Hz＜f固＜70 Hz

C.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三个都不对

答案　C

解析　从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在50～60 Hz 范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正确。

对点练 简谐运动的基本特征及应用

1.(2021·江西调研)如图1所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点。现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中    (　　)

图1

A.小物块运动到M点时回复力与位移方向相同

B.小物块每次运动到N点时的加速度一定相同

C.小物块从O点向M点运动过程中做加速运动

D.小物块从O点向N点运动过程中机械能增加

答案　B

解析　根据F＝－kx可知小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，故A错误；根据a＝－可知小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，故B正确；小物块从O点向M点运动过程中加速度方向与速度方向相反，做减速运动，故C错误；小物块从O点向N点运动过程中弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减少，故D错误。

2.(2021·福建泉州模拟)如图2，一弹簧上端固定，下端拴接一质量为m的物体，物体受到推力F1作用保持静止，弹簧处于压缩状态。现撤去F1，在物体向下运动至最低点的过程中，弹簧的弹力大小F和物体的加速度大小a随物体位移s变化的关系图像可能正确的是(　　)

图2

答案　D

解析　撤去推力后物体做简谐运动，当物体运动到最低点时F和a的方向竖直向上且达到最大值，根据简谐运动的对称性可知，此时a的大小与释放物体时a的大小相同且与位移s为一次函数关系，故A、C错误，D正确；F与s为一次函数关系，图线不可能为曲线，故B错误。

对点练 简谐运动图像的理解和应用

3.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图3所示，下列描述正确的是(　　)

图3

A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

答案　A

解析　当t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；当t＝2 s时，振子位于平衡位置并向负向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；当t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；当t＝4 s时，振子位于平衡位置并向正向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误。

4.(多选)如图4甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法正确的是(　　)

图4

A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大

B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置

C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动

D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能

答案　BC

解析　在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误。

5.(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图5所示，则可知(　　)

图5

A.两弹簧振子完全相同   

B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1

C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大

D.两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2

答案　CD

解析　从图像中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，则频率之比f甲∶f乙＝1∶2，选项D正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧的劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，选项A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，选项B错误；从图像中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，速度为零，振子乙恰好到达平衡位置，速度最大，选项C正确。

对点练 单摆及周期公式

6.做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的(　　)

A.频率、振幅都不变 B.频率、振幅都改变

C.频率不变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变

答案　C

7.(多选)(2020·浙江选考模拟)如图6甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)

图6

A.单摆振动的周期是6 s

B.t＝2 s时，摆球的速度最大

C.球摆开的角度增大，周期越大

D.该单摆的摆长约为16 m

答案　BD

解析　由图像知，单摆的周期8 s，A错误；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2π，周期与角度无关，C错误；代入T＝2π得摆长l≈16 m，D正确。

对点练 受迫振动和共振

8.(2021·北京丰台区模拟)如图7所示，在一根张紧的水平绳上挂a、b、c、d四个摆，其中摆长关系为lc＜la＝ld＜lb，让d先摆动起来后，其他各摆随后也跟着摆动起来。下列说法正确的是(　　)

图7

A.稳定后四个摆的周期大小Tc＜Ta＝Td＜Tb

B.稳定后四个摆的振幅一样大

C.稳定后a摆的振幅最大

D.d摆摆动过程中振幅保持不变

答案　C

解析　让d先摆动起来后，其他各摆随后也跟着摆动起来做受迫振动，稳定后四个摆的周期均等于d摆的振动周期，A错误；由于a摆的摆长与d摆的摆长相等，二者的固有频率相同，二者发生共振，则稳定后a摆的振幅最大，B错误，C正确；d摆摆动过程中，有阻力做负功，由能量守恒定律可知，d摆的振幅变小，D错误。

9.(多选)关于某物体受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是(　　)

图8

A.物体的固有频率等于f固

B.物体做受迫振动时的频率等于f固

C.物体做受迫振动时振幅相同则频率必相同

D.为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f固

答案　AD

解析　由题图可知，物体的固有频率等于f固，选项A正确；物体做受迫振动时，只有当发生共振时频率才是f固，即物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率不一定等于f固，选项B错误；物体做受迫振动时振幅相同，频率不一定相同，选项C错误；根据产生共振的条件可知，为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f固，选项D正确。

10.把秋千看成单摆模型，图9为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(　　)

图9

A.小王荡秋千时，其周期大于6.28 s

B.图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零

C.小明荡到图中对应的b点时，动能最小

D.该秋千的绳子长度约为10 m

答案　D

解析　小王荡秋千时，根据T＝2π可知做单摆运动的物体的周期与质量无关，其周期等于6.28 s，故A错误；图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力最大，故B错误；小明荡到图中对应的b点时，b点为平衡位置，速度最大，动能最大，故C错误；根据T＝2π，计算得l≈10 m，故D正确。

11.弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。

(1)求弹簧振子的振动周期T；

(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程；

(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。

答案　(1)1 s　(2)200 cm   (3)x＝12.5sin(2πt) cm　图像见解析

解析　(1)画出弹簧振子简谐运动示意图如图所示。

由对称性可得T＝0.5×2 s＝1 s。

(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm

振子4 s内通过的路程

s＝×4×12.5 cm＝200 cm。

(3)由于A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s

根据x＝Asin ωt

得x＝12.5sin(2πt) cm

振动图像如图所示。