高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理学案

平面向量基本定理

【学习目标】

1．通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理。

2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法。能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

3．了解向量的夹角与垂直的概念。

【学习重难点】

 重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。

 难点：平面向量基本定理的运用。

【学习过程】

一、自主学习

引子：在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算。而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和。将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？

问题：如图，设、是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究与、之间的关系。

请完成：

给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2。

由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量，那么

  平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢？

由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量、表示出来。当、确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便。

由此可得：

平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1．λ2，使=λ1+λ2。

定理说明

（1）我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不唯一，关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式唯一、

提出问题

平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

已知两个非零向量和 （如图），作=，=，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角。

    显然，当θ=0°时， 与同向；当θ=180°时， 与反向。因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内。

如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作⊥。

对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

二、合作学习

例1．已知向量、 （如图），求作向量-2．5+3。

练习：

1．设、是同一平面内的两个向量，则有（  ）

A． 、一定平行   B． 、的模相等  C．同一平面内的任一向量都有 ＝λ+μ （λ、μ∈R）

D．若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u （λ、u∈R）

2．已知向量 ＝-2， ＝2+，其中、不共线，则+与 ＝6-2的关系（　）

A．不共线          B．共线      C．相等        D．无法确定

3．已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与                      ，与                        。（填“共线”或“不共线”）。

4．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是（    ）

A．①②                B．②③                  C．①③                D．①②③

5．设与是两个不共线向量， =3+4，=-2+5，若实数λ、μ满足λ+μ=5-，求λ、μ的值。

6．已知G为△ABC的重心，设=，=，试用、表示向量。

【学习小结】

1．回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，

2．总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图。