上海市2022届高三下学期5月高考冲刺模拟数学试卷一（Word版含答案）

上海市2022届高三下学期5月高考冲刺模拟数学试卷一

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.若关于的不等式（）的解集为，则        ．

2.行列式 中元素的代数余子式的值为        ．                         

3.若向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是__________.

4.双曲线的右焦点到其渐近线得距离为__________.

5.函数的最小正周期为        ．

6.若，则的最小值为        ．

7.从1~10十个自然数中选出4个不同的数字，则恰有三个数连续的概率为        ．

8.若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一点过点        ．

9.已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿、、三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为       .

10.已知，则的取值范围为__________.

11.若是上的单调函数，且对任意的实数，均有，则       .

12.已知数列，对任意满足，且，已知，

设的最小项为，则的最大值为___________.

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13.已知复数满足（是虚数单位），若在复平面内复数对应的点为Z，则点Z的轨迹为（     ）

（A）双曲线       （B）双曲线的一支       （C）一条射线       （D）两条射线 

14.若，则“”是“”的（     ）条件.

（A）充分不必要   （B）必要不充分    （C）充要    （D）既非充分也非必要

15.设正项等差数列，其前项和为，若数列也为等差数列且，则的值为（     ）

（A）4           （B）               （C）           （D）

16.若二次方程的解为，则，展开对比等式两边得：。再根据，当时，二次方程有重根。同理，对于三次方程，设其解为，则。展开得：。再根据的情况，判断三次方程是否有重根。根据上述材料，判断下列方程中，哪些有重根（     ）

①；②；③；④

（A）①②          （B）①④           （C）②③        （D）②④

三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+16+18=76分）

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在三棱锥中，，，为的中点，，且为等边三角形．

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到面的距离．

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数，其中常数；

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函

数的图像，区间（且）满足：在上至少含有4个

零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.

19.（本题满分14分）

现有流量均为300的两条河流会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从股流入股100水，经混合后，又从股流入股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若给定椭圆：和点，则称直线：为椭圆C的“伴随直线”，

（1）若在椭圆外，判断椭圆与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆

的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交)，并说明理由；

（2）命题：“若点在椭圆的内部，则直线与椭圆必相离.”写出这个命题的

逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

（3）若在椭圆的内部，过点任意作一条直线，交椭圆于，交于

点(异于)，设，，问是否为定值？说明理由.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

函数的定义域为，若对任意，存在，使成立，则称是“增函数”。

（1）判断下列函数是否为“增函数”：①；②。

（2）已知是定义域为的奇函数，当时，，若是“2增函数”，求的取值范围。

（3）命题：已知函数的定义域为，若对任意，，

在上恒成立，则是单调递增函数。命题是否是真命题，请说明理由。

上海市2022届高三下学期5月高考冲刺模拟数学试卷一

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.若关于的不等式（）的解集为，则        ．

【答案】由的解集为易知，，所以

2.行列式 中元素的代数余子式的值为        ．                         

【答案】11

3.若向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是__________.

【答案】，解得或；又由共线且反向可得，所以的范围是

4.双曲线的右焦点到其渐近线得距离为__________.

【答案】用点到直线的距离公式求焦点到渐近线的距离为

5.函数的最小正周期为        ．

【答案】，

所以最小正周期为

6.若，则的最小值为        ．

【答案】根据得，又由，当且仅当，即时取等，所以的最小值为

7.从1~10十个自然数中选出4个不同的数字，则恰有三个数连续的概率为        ．

【答案】恰有三个数连续的可能性为6*2+6*5=42种，总的选取方式有种，

8.若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一点过点        ．

【答案】易得过点，则过点，在时，

=，所以过点

9.已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿、、三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为       .

【答案】，根据题意该几何体为正四面体，设棱长为，其展开图是有四个与全等的正三角形组合而成的边长为的大正三角形，即可求解。

10.已知，则的取值范围为__________.

【答案】特殊的双变量函数形式，往数形结合中点到点的距离转化，找到几何意义，才能求出范围；A点的参数方程为，化为标方，即为圆C的上半圆，B点的参数方程为，化为标方为即为下半椭圆，问题转化为求AB两点距离的平方的取值范围，数形结合利用三边关系

，可得，平方得答案.

11.若是上的单调函数，且对任意的实数，均有，则       .

【答案】，是上的单调函数，所以对于任意实数，的值为一个常数，设，则，，有单调性易得有唯一解， ，带入求值即可

12.已知数列，对任意满足，且，已知，

设的最小项为，则的最大值为___________.

【答案】由题意得，设，则是一个单调递增且各项均为整数的数列，且，所以

因为是最小项，并设是第一个最小项，

所以

则，

，

所以要使最大，则与要同时尽量小，

当时，，此时最大，为。

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13.已知复数满足（是虚数单位），若在复平面内复数对应的点为Z，则点Z的轨迹为（     ）

（A）双曲线       （B）双曲线的一支       （C）一条射线       （D）两条射线 

【答案】C

14.若，则“”是“”的（     ）条件.

（A）充分不必要   （B）必要不充分    （C）充要    （D）既非充分也非必要

【答案】点，说明点在半径为的圆上或圆外，说明点在直线上或直线右边。所以前面范围大，后面范围小，所以是必要非充分。

15.设正项等差数列，其前项和为，若数列也为等差数列且，则的值为（     ）

（A）4           （B）               （C）           （D）

【答案】设正项等差数列为，则，因为也为等差数列，所以，即。所以，，

，所以，所以

16.若二次方程的解为，则，展开对比等式两边得：。再根据，当时，二次方程有重根。同理，对于三次方程，设其解为，则。展开得：。再根据的情况，判断三次方程是否有重根。根据上述材料，判断下列方程中，哪些有重根（     ）

①；②；③；④

（A）①②          （B）①④           （C）②③        （D）②④

【解析】代入计算即可，等于0为有重根的方程，故选C.

三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+16+18=76分）

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在三棱锥中，，，为的中点，，且为等边三角形．

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到面的距离．

【答案】（1）因为为等边三角形，所以，

又因为为的中点，所以，因为，

所以，又因为，所以，

所以，又因为，所以平面。

（2）等体积法， ，求出

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数，其中常数；

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函

的图像，区间（且）满足：在上至少含有4个零点，

在所有满足上述条件的中，求的最小值.

【答案】（1）由题意得，，解出即可

（2）解得

，对赋值得根不是均匀分布，所以

19.（本题满分14分）

现有流量均为300的两条河流会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从股流入股100水，经混合后，又从股流入股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？

【答案】本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难．

为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．则＝2，＝0.2，

且．（*）

由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．

由（*）可得：

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，．

由题，令< 0.01，得．所以，．

由得，所以，．

即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若给定椭圆：和点，则称直线：为椭圆C的“伴随直线”，

（1）若在椭圆外，判断椭圆与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆

的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；

（2）命题：“若点在椭圆的内部，则直线与椭圆必相离.”写出这个命题的

逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

（3）若在椭圆的内部，过点任意作一条直线，交椭圆于，交于

点（异于），设，，问是否为定值？说明理由.

【解析】（1）因为N点再椭圆外，所以,联立

得

，

所以，直线与椭圆相交；

（2）点N在椭圆内时， ，由（1）得，此时判别式小于零，即直线和椭圆没有交点，所以相离，逆命题正确；

（3）易得，一正一负，可以猜测

设点M在直线l上，，M在椭圆外，

由定比分点公式得

A,B两点均在椭圆上，带入化简得

为实系数一元二次方程

的两个根 ,

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

函数的定义域为，若对任意，存在，使成立，则称是“增函数”。

（1）判断下列函数是否为“增函数”：①；②。

（2）已知是定义域为的奇函数，当时，，若是“2增函数”，求的取值范围。

（3）命题：已知函数的定义域为，若对任意，，

在上恒成立，则是单调递增函数。命题是否是真命题，请说明理由。

【解析】（1）①不恒大于0，所以不是“增函数”。

②当时，，所以是“增函数”。

（2）当时，

①当时，在上恒成立，，所以

②当时，在上恒成立，所以，所以

③当时，

在上恒成立，所以，所以

综上所述，

（3）命题是假命题。例如，满足对任意，，在上恒成立，但不是单调递增函数。