高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程学案设计

圆的一般方程

【学习目标】

1．掌握圆的一般方程及其特点。

2．会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小。

3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程。

【学法指导】

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，提高探索、发现及分析、解决问题的能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养运用配方法和待定系数法解决实际问题的能力。

【学习过程】

一、填一填、练一练：

1．对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为                    ；当D2＋E2－4F<0时，方程                               ；当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为       ，它的圆心坐标为              ，半径等于                           ，上述方程称为圆的                     。

2．圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数                ，没有xy的二次项。

探索新知

[问题情境]

在直线的方程中，有直线方程的一般式，那么，在圆的方程中，有没有圆的一般方程？

探究点一　圆的一般方程

问题1　圆的标准方程是什么？

问题2　把圆的标准方程展开，并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，这是一个二元二次方程。这个方程与一般的二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0比较有什么不同？

问题3　一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

问题4　圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？

问题5　求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？

小结：                                                            

二、理解应用

圆的标准方程与一般方程的互化

例1　将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：

（1）x2＋y2＋4x－6y－12＝0；

（2）4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0.

圆的一般方程的应用

例2　求过三点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程

例3　已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。

练习应用

跟踪训练1　将下列方程互化，并写出圆心和半径：

（1）(x－3)2＋(y－2)2＝13；

（2）2x2＋2y2－4x＋8y＋5＝0.

跟踪训练2　求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

跟踪训练3　如图，过点M(－6，0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A．B两点，求线段AB的中点P的轨迹。

三、当堂检测

1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是                  (　　)

A．x＋y－1＝0      B．x＋y＋3＝0

C．x－y＋1＝0      D．x－y＋3＝0

2．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为

(　　)

A．和     B． (3，2)和

C．和    D．和

3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为

(　　)

A．2    B．    C．1    D．