天津市新华中学2022届高三下学期统练8数学试题-

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天津市新华中学2022届高三下学期统练8数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设全集，，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的图像的是 （       ）

A． B．

C． D．

4．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，，，．若分数在区间的频数为5，则大于等于60分的人数为（       ）

A．15 B．20 C．35 D．45

5．三个数的大小顺序是

A． B．

C． D．

6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线，抛物线的准线经过的焦点且与交两点，，若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率是（       ）

A． B． C． D．

8．函数，则下列结论正确的有（       ）

①函数的最大值为1；

②函数的对称轴方程为；

③函数在上单调；

④，将图像向右平移单位，再向下平移1个单位可得到的图像

A．①③ B．③④ C．②③ D．①②

9．已知函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（       ）

A．  B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

10．已知复数，则__________．

11．已知过点且倾斜角为的直线与圆相交于两点，则线段的长为__________．

12．在的展开式中，按的升幂排列的第3项为___________.

13．设x，．若，且，则的最大值为___．

14．某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________；至少有一名是女志愿者的概率为__________．

15．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点.则_______ ；若为线段上的一点，且，则的最小值为___________.

16．中，内角，，所对的边分别为，已知的面积为，，．

（1）求和的值；

（2）求的值．

17．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点．

(1)求证：平面

(2)求直线和平面所成的角的正弦值．

(3)求平面与平面夹角的余弦值．

18．设椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，分别过点，作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，已知，的面积为，求直线的方程．

19．已知数列的前n项和为，，．

（1）证明数列是等差数列，并求出；

（2）求；

（3）令，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数存在两个零点，求实数的范围；

(3)当函数有两个零点，且存在极值点，证明：

①；

②．

参考答案：

1．C

【解析】

由已知集合，利用集合的并、补运算求即可.

【详解】

由题意知：，

∴，而，

∴，

故选：C

2．A

【解析】

【分析】

根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.

【详解】

由得，则；

若，，则，但不能推出；

因此“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

3．B

【解析】

首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，再根据的函数值，即可判断；

【详解】

解：因为，所以，解得，故函数的定义域为，故排除AC；

当时，，，所以，故排除D；

故选：B

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4．C

【解析】

【分析】

根据分数在区间的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数.

【详解】

因为分数在区间的频数为5，由频率分布直方图可知，区间对应的频率为，

因此样本容量为，

所以，大于等于60分的人数为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.

5．D

【解析】

【详解】

由题意得，，故选D.

6．A

【解析】

【分析】

根据题意可知若球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，结合球与圆柱的体积公式计算即可得出结果.

【详解】

设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

因为，

所以．

故选：A

7．A

【解析】

【分析】

利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，得，结合题意可得，进而求出a，根据双曲线离心率的定义即可得出结果.

【详解】

抛物线的准线，

双曲线的左焦点，即，

所以，

双曲线的一条渐近线为，即，

抛物线的焦点即为双曲线的右焦点，

则到渐近线的距离为，

所以，代入得，所以.

故选：A

8．B

【解析】

【分析】

先将的解析式化简，然后由三角函数的图像性质和三角函数的图像平移对每一选项进行逐一分析判断，可得答案.

【详解】

①由，可得的最大值为0，

所以函数函数的最大值为0，所以①不正确.

②由可得其对称轴满足：

即，所以②不正确.

③的增区间满足：

即

当时，可得在上单调递增，所以③正确.

④ 将图像向右平移单位,可得的图像.

再向下平移1个单位可得到的图像，所以④正确.

所以③④正确.

故选：B

9．A

【解析】

【分析】

分析函数 的特点，比较准确地画出函数图像，

将原方程转化为直线与函数曲线有两个不同的交点，并构想如何才能有两个交点.

【详解】

对于 ，是对称轴为y轴的开口向上的二次函数；

对于 ，求导得 ，在 时， ，是增函数，

   ， ，

∴在 内必存在零点，考虑 函数图像的特点，

作如下所示示意图：

要使关于x的方程有两个不相等的实数根，

则两函数与的图象有两个交点，

当，由图可知，，即；

当时，相当于与 在 内有两个交点，

即方程 在上有两个解， ，

令，

， ，作 图像如下：

；

故选：A.

10．##

【解析】

【分析】

根据复数的乘、除法运算可得，结合共轭复数的概念即可得出结果.

【详解】

由题意，

，

所以.

故答案为：.

11．

【解析】

【分析】

根据直线的点斜式方程求出直线的一般式方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合垂径定理计算即可得出结果.

【详解】

由题意可知，直线方程为，即．

则圆心到直线的距离．

所以弦长．

故答案为：.

12．

【解析】

【分析】

易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，，故按的升幂排列，第三项为含项，结合展开式的通项可求解．

【详解】

解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项．

整个式子中项可由，的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到，其中展开式的通项为，展开式的通项为；

故所求为：．

故答案为：．

13．##1.5

【解析】

【分析】

由化简得，再由基本不等式可求得，从而确定最大值．

【详解】

，

，，

，，

，

，

当且仅当时即 取等号，

，解得，

故，

故的最大值为，

故答案为：．

14．         

【解析】

【分析】

①利用条件概率公式即可求解；②“至少有一名是女志愿者”的对立事件是“全是男志愿者”，间接求解即可

【详解】

解：记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件，则，

故，

记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件A互为对立事件，则

故答案为：．

15．         

【解析】

【分析】

由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；

由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.

【详解】

解：因为平行四边形的面积为，

所以，得，

所以，

如图，连接，则,

所以

因为三点共线，

所以，得，

所以，

所以

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：；

【点睛】

此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题.

16．（1）；；（2）．

【解析】

【分析】

（1）先利用平方关系求出，结合面积公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；

（2）先求解，利用倍角公式可得，，结合和角公式可求的值．

【详解】

（1）在中，由，可得，

的面积为，可得：，可得．

又，解得：，或，（舍去），

，，

∴，

∴，

又，解得；

所以；；

（2）由（1）知：，所以，

所以，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值问题，倍角公式及和角公式的熟练应用是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

17．(1)证明见解析

(2)

(3)

【解析】

【分析】

以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角

(1)

以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

依题意，得，

，设面的法向量，

，所以，取，得

因为，

所以．所以．

又面．

所以面．

(2)

，

设面的法向量，

，所以，

取，得．

因为，

所以．

所以直线和平面所成的角的正弦值为．

(3)

由（1）､（2）可得，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用题设条件可以列出一组关于，，的方程，解出，，即得所求

（2）分情况讨论，当直线的斜率不存在时，易求直线的方程是，此时，与题设不符；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用题设条件可得一组关于，，解之即得所求

(1)

设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以．①

又椭圆经过点，所以．②

结合，③由①②③，解得．

故椭圆的标准方程是．

(2)

①当直线的斜率不存在时，不妨设，

根据对称性知两平行线的交点在轴上，又交点刚好在椭圆上，

所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是．

此时点或；

直线的斜率不存在不成立

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

则，

，

．

不妨设两平行线的交点为点，则，故点的坐标为．

因为点刚好在椭圆上，所以，

即．

此时，

则．

设点到直线的距离为，则．

所以，

即，解之得：或，

当时，，当时，（舍），

所以，直线的方程

19．（1）证明见解析；；（2）；（3）.

【解析】

（1）由可得即即可求证；

（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减即可求；

（3），计算，可判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解.

【详解】

（1）证明：，，       

可得即，

可得数列是首项和公差均为的等差数列，

所以，

可得，即；       

（2），

，

相减可得，

化简可得；       

（3），

，

当时，；时，；即，

当时，，即，

则时，的最大值为，不等式恒成立，

可得，即为，解得或．

则m的取值范围是.

【点睛】

易错点睛：解决函数与数列的综合问题应该注意的事项：

(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

20．(1)

(2)

(3)①证明见解析 ；②证明见解析

【解析】

【分析】

（1）当时，求得，得到和，进而求得切线方程；

（2）求得，令，求得解得，得到函数的单调性和最小值，得到在上单调递增，结合，即可求解；

（3）（i）由，且，得到；

（ii）由上知，进而得到，结合，转化为，进而证得.

(1)

解：当时，，则，

所以，而，

所以曲线在点处的切线方程为．

(2)

解：由题意，函数，可得，

因为，

令，即，可得，解得，

所以在递减，递增，

又有两个零点，所以，

令，则在上单调递增，

又，所以时，，故.

(3)

解：（i）因为，

而，所以，

（ii）由上知，

而，即，

所以，即

又因为，

所以，

所以，即，

又由，所以，即，

所以.