2022年江西省中考数学试卷（含解析）

2022年江西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列各数中，负数是

A.  B.  C.  D.

2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是
    

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 将字母“”，“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是

A.  B.  C.  D.

5. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为

A.
B.
C.
D.
 

6. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是

A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 因式分解：______．
8. 正五边形的外角和为______度．
9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
10. 甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样人，甲采样人所用时间与乙采样人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为______．
11. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形如图所示，则长方形的对角线长为______．

12. 已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为，则的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 计算：；
    解不等式组：．
14. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：

上面的运算过程中第______步出现了错误；
请你写出完整的解答过程．

15. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
    “随机抽取人，甲恰好被抽中”是______事件；
    A.不可能
    B.必然
    C.随机
    若需从这名护士中随机抽取人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
    在图中作的角平分线；
    在图中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．

17. 如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．
    求证：∽；
    当，时，求的长．

18. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在反比例函数的图象上，点落在轴正半轴上，且．
    点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______用含的式子表示；
    求的值和直线的表达式．

19. 课本再现
    在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心与的位置关系进行分类．图是其中一种情况，请你在图和图中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
    
    知识应用
    如图，若的半径为，，分别与相切于点，，，求的长．
20. 图是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图所示的示意图，已知，，，，四点在同一直线上，测得，，结果保留小数点后一位
    求证：四边形为平行四边形；
    求雕塑的高即点到的距离．
    参考数据：，，

21. 在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”，根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图：
    整理描述
    表：“双减”前后报班情况统计表第一组

根据表，的值为______，的值为______；
分析处理
请你汇总表和图中的数据，求出“双减”后报班数为的学生人数所占的百分比；
“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图如图请依据以上图表中的信息回答以下问题：
本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为______，“双减”后学生报班个数的众数为______；
请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析用一句话来概括．

22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分如图中实线部分所示，落地点在着陆坡如图中虚线部分所示上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
    的值为______；
    若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
    若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为______；
    若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．

23. 综合与实践
    问题提出
    某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况已知正方形边长为．
    操作发现
    如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为______；当与垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______；
    类比探究
    若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．
    如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；
    如图，当时，求重叠部分四边形的面积结果保留根号；
    拓展应用
    若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为设，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值分别用含的式子表示．
    参考数据：，，

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是负数，，是正数，既不是正数也不是负数，
故选：．
根据负数的定义即可得出答案．
本题考查了实数，掌握在正数前面添加“”得到负数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：根据数轴得：，，故C选项符合题意，，，选项不符合题意；
故选：．
根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据去括号法则判断选项；根据单项式乘多项式判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
故选：．
列举每个图形中的个数，找到规律即可得出答案．
本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多个是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，它的俯视图为：

故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
 

6.【答案】

【解析】解：由图象可知，、、都正确，
当温度为时，甲、乙的溶解度都为，故D错误，
故选：．
利用函数图象的意义可得答案．
本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：正五边形的外角和为度，
故答案为：．
根据多边形外角和等于即可解决问题．
本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式 ，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 值．
【解答】
解： 关于 的方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ．
故答案为 ．   

10.【答案】

【解析】解：设甲每小时采样人，则乙每小时采样人，根据题意得：
．
故答案为：．
由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为，
长方形的宽是正方形对角线的一半为，
则长方形的对角线长．
故答案为：．
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为，长方形的宽是正方形对角线的一半为，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

12.【答案】或或

【解析】解：当时，；
当时，；
当时，设，，
，
，
解得：，，
或，
或；
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式，
．

解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．

【解析】根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：第步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：；
原式，
，
，
，
．
故答案为：．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：随机抽取人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：；
从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用表示，其余人均是共产党员用表示．从这名护士中随机抽取人，所有可能出现的结果共有种，如图所示：

它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的记为事件的结果有种，
则，
根据随机事件的定义即可解决问题；
从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用表示，其余人均是共产党员用表示．从这名护士中随机抽取人，所有可能出现的结果共有种，然后利用树状图即可解决问题．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】连接，取的中点，作射线即可；
利用是相结合的射线画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，
，
．

【解析】根据两角相等可得两三角形相似；
根据中的相似列比例式可得结论．
本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：由题意得：，，
由平移可知：线段向下平移个单位，再向右平移个单位，
点，
，
故答案为：，，；
点和点在反比例函数的图象上，
，
，
，，
，
设直线的表达式为：，
，
解得：，
直线的表达式为：．
根据可得点的坐标，根据可得点的坐标为，由平移规律可得点的坐标；
根据点和的坐标列方程可得的值，从而得的值，再利用待定系数法可得直线的解析式．
此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据和的长得出平移的规律是解题关键．
 

19.【答案】解：如图，连接，并延长交于点，

，
，，
，，
，
；
如图，连接，并延长交于点，

，
，，
，，
，
；
如图，连接，，，

，
，
，分别与相切于点，，
，，
，
，
．

【解析】如图，当点在的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；如图，当在的外部时，作直径，同理可理结论；
如图，先根据中的结论可得，由切线的性质可得，可得，从而得的长．
本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
解：如图，过点作于，

四边形为平行四边形，
，
，
，
中，，
，
．
答：雕塑的高为．

【解析】根据平行四边形的定义可得结论；
过点作于，计算的长，利用的正弦可得结论．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．
 

21.【答案】     

【解析】解：，
，
，
故答案为：；；
汇总表和图可得：

，
答：“双减”后报班数为的学生人数所占的百分比为；
“双减”前共调查个数据，从小到大排列后，第个和第个数据均为，
“双减”前学生报班个数的中位数为，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是，
“双减”后学生报班个数的众数为，
故答案为：；；
从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
将表中“双减前”各个数据求和确定的值，然后再计算求得值，从而求解；
通过汇总表和图求得“双减后”报班数为的学生人数，从而求解百分比；
根据中位数和众数的概念分析求解；
根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：起跳台的高度为，
，
把代入得：
，
故答案为：；
，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
，
，
运动员落地点要超过点，
时，，
即，
解得，
故答案为：；
他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点．
根据起跳台的高度为，即可得；
由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；
运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；
当与垂直时，，重叠部分的面积正方形的面积；
一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为
理由：如图中，设交于点，交于点，过点作于点，于点．

是正方形的中心，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
≌，
，
，

故答案为：，，

如图中，结论：是等边三角形．

理由：过点作，
是正方形的中心，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；

如图中，连接，过点作于点．

，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
．

如图中，过点作于点，当时，的面积最小，即最小．

在中，，
，
．

如图中，当时，最大．

同法可证≌，
，
，
，
，
，
．
如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；当与垂直时，，重叠部分的面积正方形的面积；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为利用全等三角形的性质证明即可；
结论：是等边三角形．证明，可得结论；
如图中，连接，过点作于点证明≌，推出，解直角三角形求出，即可解决问题；
如图中，过点作于点，当时，的面积最小，即最小．如图中，当时，最大．分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．