高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，课时安排，教 具，教材分析，教学过程，作业布置，板书设计等内容，欢迎下载使用。


【教学目标】
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路。
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
【教学重难点】
教学重点：等比数列的前n项和公式推导
教学难点：灵活应用公式解决有关问题
授课类型：新授课
【课时安排】
1课时
【教 具】
多媒体、实物投影仪
【教材分析】
本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件。也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法
【教学过程】
一、复习引入：
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
2．等比数列的通项公式：
，
3．｛｝成等比数列=q（，q≠0）
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。
5．等比中项：G为a与b的等比中项。 即G=±（a，b同号）。
6．性质：若m+n=p+q，
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
8．等比数列的增减性：当q>1， >0或01， <0，或00时， {}是递减数列；当q=1时， {}是常数列；当q<0时， {}是摆动数列；
二、讲解新课：
例如求数列1，2，4，…262，263的各项和
等比数列的前n项和公式：
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：
①
2 ②
由②—①可得：
这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得

∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式。
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
三、例题讲解
例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
解：由
，
从第5项到第10项的和为-=1008
例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列
则：一天内获知此信息的人数为：
例3 已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求。
分析：要求，需知，q，而已知条件为和。能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？
当时 ＝a ①
＝＝＝b ②
②/①得 ③
将③代入①，得
∴＝＝＝
以下再化简即可。
这样处理问题很巧妙。没有分别求得与q的值，而改为求与的值，这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备？
第①式就有问题，附加了条件q≠1．而对q=1情况没有考虑。
使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即
q=1时，=n；当时， 或
（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）
解法1：设等比数列{}的公比为q。
若q=1（此时数列为常数列），则=n=a，=b，
从而有2a=b ∴（或）
若q≠1（即2a≠b），由已知
＝a ① ＝b ②
又ab0， ②/①得 ， ③
将③代入①，得
∴＝＝＝
＝
解法2：由，－，－成等比数列（练习中证此结论），
即a，b-a， －b成等比，所以a（－b）=（ b-a）
从而有 ＝ （包含了q=1的情况）
四、练习：
是等比数列，是其前n项和，数列 （）是否仍成等比数列？
解：设首项是，公比为q，
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列。
∵此时， =0.
例如：数列1，－1，1，－1，…是公比为－1的等比数列，S2=0，
②当q≠－1或k为奇数时，
＝
＝
＝
（）成等比数列
评述：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件。
五、小结
1． 等比数列求和公式：当q=1时，
当时， 或 ；
2．是等比数列的前n项和，
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列。
②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列
3．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识。
【作业布置】
已知数列是等比数列，是其前n项的和，求证，－，－成等比数列。
解：（1）①当q=1时，=7，=14，
－=14－7=7，－=21－14a1=7
∴，－，－为以7为首项，1为公比的等比数列。
②当q≠1时，=
∴=
∴，－，－成等比数列。
这一过程也可如下证明：
－=－
===
同理，－==
∴，－，－为等比数列。
【板书设计】
【教学反思】