人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和教学设计

等比数列的前n项和

【教学目标】

1．会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的

中知道三个数求另外两个数的一些简单问题

2．提高分析、解决问题能力。

【教学重难点】

教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。

教学难点：灵活使用公式解决问题

【课时安排】

1课时

【教    具】

多媒体、实物投影仪

【教学过程】

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）

2．等比数列的通项公式：

，

3．｛｝成等比数列=q（，q≠0）

  “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。

5．等比中项：G为a与b的等比中项。  即G=±（a，b同号）。

6．性质：若m+n=p+q，

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：当q>1， >0或0<q<1， <0时， {}是递增数列；当q>1， <0，或0<q<1， >0时， {}是递减数列；当q=1时， {}是常数列；当q<0时， {}是摆动数列；

9．等比数列的前n项和公式：

   ∴当时， ①   或  ②

当q=1时，

当已知， q， n 时用公式①；当已知， q， 时，用公式②。

10.是等比数列的前n项和，

①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列。

②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列

二、例题讲解

例1 已知等差数列{}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第项按原来的顺序排成一个新数列{}，求数列{}的通项公式和前项和公式

  解：∵ ， 解得＝5， d＝3，

∴ ＝3n＋2， ＝＝3×＋2，

  ＝（3×2＋2）＋ （3×＋2）＋ （3×＋2）＋……＋（3×＋2）

    ＝3·＋2n＝7·－6．（分组求和法）

例2 设数列为求此数列前项的和

      解：（用错项相消法）

         ①

          ②

      ①②，

      当时，

      当时，

例3等比数列前项和与积分别为S和T，数列的前项和为，

   求证：

证：当时，，，，

    ∴，（成立）

当时，

∵，

∴，（成立）

综上所述：命题成立

例4设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列

   解：由题意

       代入（1）， ，得：，从而，

       ∴递增，∴前项中数值最大的项应为第项

       ∴

∴，

       ∴，

∴此数列为

例5求和：（x+（其中x≠0，x≠1，y≠1）

分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。

解：当x≠0，x≠1，y≠1时，

（x+

三、练习：

设数列前项之和为，若且，问：数列成等比数列吗？

    解：∵，

∴，即

       即：，∴成等比数列

       又：，

       ∴不成等比数列，但当时成，

即：

四、小结

 本节课学习了以下内容：熟练求和公式的应用

【作业布置】

1．三数成等比数列，若将第三数减去32，则成等差数列，若将该等差数列中项减去4，以成等比数列，求原三数（2，10，50或）

    2．一个等比数列前项的和为前项之和，求（63）

    3．在等比数列中，已知：，求  

【板书设计】

【教学反思】