浙江省绍兴市春晖中学2022届高三下学期5月高考适应性考试数学试题

浙江省绍兴市春晖中学2022届高三下学期5月高考适应性考试数学试题

第I卷（选择题）

1．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．若复数(为虚数单位)，则（       ）

A． B．

C． D．

3．若实数，满足，则的最小值是

A． B． C． D．

4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．在下列条件中，可得出 的是（     ）

A． B．

C． D．

5．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

6．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （       ）

A． B． C． D．

7．设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（       ）

A．是等差数列

B．或是等差数列

C．和都是等差数列

D．和都是等差数列，且公差相同

8．设，为双曲线:的左右焦点，点为双曲线的一条渐近线上的点，记直线，，的斜率分别为，，．若关于轴对称的直线与垂直，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为

A． B． C． D．

10．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（     ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

11．双曲线的离心率是___________，渐近线方程___________.

12．某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是___________，体积是___________.

13．二项式的展开式中共有11项，则___________，常数项的值为___________.

14．在中，，，，的面积等于，则___________，的角平分线的长等于___________.

15．设，则的最小值为______.

16．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.

17．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.

18．已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.

（1）求和的值；

（2）若，求的值.

19．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为.

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知数列满足，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.

21．抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，

(1)若的面积为，求的值及圆的方程

(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.

22．函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明：.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

解指数不等式得到，进而求出交集.

【详解】

因为，所以，所以，

所以.

故选：B

2．A

【解析】

根据复数运算性质，化简求值，并计算模.

【详解】

，∴.

故选:A.

3．C

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的约束条件，画出可行域，再判断目标函数在哪个点处取得最小值，代入求得结果.

【详解】

根据题意，能够判断出约束条件所对应的可行域就是三条直线所围成的三角形区域，

能够判断出目标函数在点处取得最小值，代入求得最小值为，

故选：C.

4．B

【解析】

【分析】

根据面面垂直的判定定理，结合平行线的性质，线面平行的性质，面面平行的判定，对每个选项逐一判断即可.

【详解】

A：当时，平面可以平行，故本选项不符合题意；

B：因为，所以存在平面，因此有，而，所以，又因为，所以，而，因此，故本选项符合题意；

C：当时，也能满足成立，故本选项不符合题意；

D：，故本选项不符合题意.

故选：B

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查了面面平行的判定，考查了线面平行的性质和平行线的性质，考查了推理论证能力.

5．C

【解析】

【分析】

先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可.

【详解】

解：函数的定义域为，，

所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，

因为当时，，

所以当时，，时，，故排除D，

当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，

故选：C

6．B

【解析】

【分析】

依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望．

【详解】

解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球，

从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，

的可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

的分布列为：

．

故选：B．

7．D

【解析】

【分析】

根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.

【详解】

根据题意：，为等差数列，

故为定值，故为定值.

则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.

故选：.

【点睛】

本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

8．B

【解析】

【分析】

用直线的倾斜角的正切表示斜率，注意到的倾斜角的和为，故可得的倾斜角的正切值，从而得到双曲线的离心率.

【详解】

设为渐近线上的点且在第一象限内，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，所以，即，

故，，故选B.

【点睛】

圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．

9．B

【解析】

【分析】

取的中点，的中点为，则折叠后有平面，在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，可用的三角函数表示的正切值，利用导数可求其最大值．

【详解】

取的中点，的中点为，因为为等腰三角形，

故，同理， ，所以有平面．

因为平面，故平面平面．

在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接．

因为，平面，平面平面，故平面．

因为平面，故，

又，，故平面，

又平面，故，所以为二面角的平面角．

设，则，，

，

所以，其中．

令，则，令且，

当时，；当时，；

所以，故，故选B．

【点睛】

二面角的平面角的大小或最值的计算，应先构造二面角的平面角，然后在可解的三角形（最好是直角三角形）中讨论该角．注意最值的计算可以通过目标函数的单调性讨论得到．

10．D

【解析】

【分析】

将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.

【详解】

由，

化简得：，

设，，则原不等式即为.

若，则当时，，，

原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.

∵，，∴.

当，即时，设，

则.

设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，

∴当时，，∴在上为减函数，

即，

∴当时，不等式恒成立，

原不等式的解集中没有大于2的整数.

要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，

则，即，

解得.

则实数的取值范围为.

故选：D

【点睛】

已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.

11．         

【解析】

【分析】

根据题意可得，结合求，分别代入离心率、渐近线计算求解．

【详解】

根据方程可得，则

∴双曲线的离心率，渐近线

故答案为：；．

12．          ##

【解析】

【分析】

先换元直观图，再求出圆锥的高，求出两个半圆锥的侧面积之和，从而求出此几何体的表面积和体积.

【详解】

该几何体为两个底面半径为1，母线长为2的半圆锥拼接而成，

设圆锥的高为，由勾股定理得：，

则两个半圆锥的侧面积之和为，

如图，，，且，

所以四边形的面积为，

该几何体的表面积为，

该几何体的体积为

故答案为：，

13．         

【解析】

【分析】

根据二项式展开式的性质求出，再写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得；

【详解】

解：因为二项式的展开式中共有11项，所以，

则展开式的通项为，

令，解得，所以展开式的常数项为

故答案为：；

14．         

【解析】

【分析】

由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立解得：，根据余弦定理可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，利用等面积法求出．

【详解】

解：，，的面积等于，

解得：，①

由余弦定理，可得：，

解得：，②

由①②联立解得：（由于，舍去）或．

，可得：，

为的角平分线，所以，

所以，即

即，解得

故答案为：；．

15．

【解析】

【分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

16．

【解析】

【分析】

分个位、十位和百位上的数字为3个偶数和1个偶数2个奇数两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；

【详解】

解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；

当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，

根据分类计数原理得到共有个．

故答案为：．

17．.

【解析】

【分析】

由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.

【详解】

如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.

，

得即故.

【点睛】

本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

18．（1），；（2）．

【解析】

（1）根据对称轴和周期可求和的值．

（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．

【详解】

（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，

所以，故．

又图象关于直线，故，

所以，因为，故．

（2）由（1）得，

因为，故，

因为，故，故．

又

．

【点睛】

方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

19．(1)证明过程见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作出辅助线，由余弦定理求出PB，从而由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而证明线面垂直，得到面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

(1)

连接PE，BE，

因为为AD中点，

所以PE⊥AD，

因为，E为AD中点，

所以BE⊥AD，

因为，

所以AD⊥平面PBE，

因为平面PBE，

所以AD⊥PB，

因为，E为AD中点，

所以，由勾股定理得：，

因为，

由勾股定理逆定理可得：，

所以，

因为BE⊥AD，PE⊥AD，

所以即为二面角的平面角，

所以=.

在三角形PEB中，由余弦定理得：，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以平面ABCD，

因为平面PBC，

所以平面PBC⊥平面ABCD

(2)

由（1）证明可知：BP，BD和BA两两垂直，

以B为坐标原点，BD所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面PBC的法向量为，

则，

解得：，令得：，

所以，

设直线与平面所成角为，

则

20．(1)

(2)1349

【解析】

【分析】

（1）根据可得，两式相减可推得的奇数项和偶数项各自成等差数列，由此求得答案；

（2）利用（1）写出的表达式，继而可得。由其为整数可求得，结合区间确定m的值，可求得答案.

(1)

因为，

所以当 时，，

故两式相减得： ，即的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且，

所以奇数项 ，则为奇数时， ，

偶数项，则为偶数时， ，

故数列的通项公式为；

(2)

由（1）可得，，

所以，

设,故 ，

令，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5，

故区间内所有“幸福数"的和为

.

21．(1)，圆的方程为

(2)

【解析】

【分析】

（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出.

(1)

由对称性可知：，

设，由焦半径可得：，

，

解得：

圆的方程为：

(2)

由题意得：直线的斜率一定存在，其中，

设关于直线的对称点为，

则，解得：，

联立与得：，

设，

则，

则，

则

，

解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，

所以

，

【点睛】

圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.

22．（1）（1）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时,在上是增函数；（iii）当时，在是上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）详见试题分析．

【解析】

【详解】

试题分析：（1）首先求函数的定义域，的导数：，再分，，三种情况，讨论函数的单调性；（2）先在（1）的基础上，当时，由的单调性得．同理当时，由的单调性得．下面再用数学归纳法证明．

（1）的定义域为．

（1）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．

（2）当时,成立当且仅当在上是增函数．

（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．

（2）由（1）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（1）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．

（1）当时，由已知，故结论成立；

（2）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（1）、（2）知对任何结论都成立．

考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用数学归纳法证明数列不等式．