第二章《相交线与平行线》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

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第二章《相交线与平行线》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．C
【解析】
【分析】
根据对顶角的定义解决此题．
【详解】
解：根据对顶角的定义（具有共同顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解决本题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据所学的相关知识,逐一判断即可．
【详解】
解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：．
【点睛】
本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质定理可得∠ACD=130°，再根据题图求解即可．
【详解】
解：∵ABCD，∠A＝50°，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝130°，
∵∠ECD＝110°，
∴∠ECA＝360°﹣∠ECD﹣∠ACD＝360°﹣110°﹣130°＝120°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
4．B
【解析】
【分析】
根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图
【详解】
根据尺规作图的定义，指用没有刻度的直尺和圆规作图，
A用量角器画出的平分线，借助了量角器，不符合题意
B借助直尺和圆规作，使,符合题意；
C画线段，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意；
D. 用三角尺过点作的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
过点作，根据平行线的性质可得，，即可求解
【详解】
解：过点作，则，
∴，，
由题意可得：，
∴，

故选：D
【点睛】
本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．
6．C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠AEF的度数，再根据∠2与∠AEF互余，可得∠2的度数．
【详解】
解：∵，，
∴，
又∵EF⊥BD，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的性质和余角的性质，熟练运用平行线的性质是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
由EG⊥AB得到∠AEG=90°，又∠FEG=25°，求得∠AEF的度数，再利用两直线平行，同旁内角互补得到∠CFE的度数．
【详解】
解：∵EG⊥AB
∴∠AEG=90°
∵∠FEG=25°
∴∠AEF=∠AEG－∠FEG=65°
∵ABCD
∴∠CFE=180°－∠AEF=115°
故选：D
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
8．B
【解析】
【分析】
（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】
(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】
本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠BOC=∠AOC，结合垂线的定义可得∠COD+∠BOC=90°，进而可判定D选项正确．
【详解】
解：∠BOD与∠COD不一定相等，故选项A不正确，不符合题意；
∵OD⊥OA，
∴∠COD+∠AOC=90°，即∠COD与∠AOC互余，
∵∠BOD与∠COD不一定相等，
∴∠AOC与∠BOD不一定互余，故选项B不正确，不符合题意；
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC，
∴∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOB与∠BOC不一定互补，故选项C不正确，不符合题意；
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC，
∵OD⊥OA，
∴∠COD+∠AOC=90°，
∴∠COD+∠BOC=90°，
即∠BOC与∠COD互余，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线，角平分线的定义，余角和补角，掌握角平分线的定义，垂线的定义是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选D．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
11．C
【解析】
【分析】
由补角的定义可求得∠EOF+∠COD＝180°，结合平角的定义可求得∠COD＝∠AOE+∠BOF，根据角平分线的定义可求得∠COE+∠DOF＝∠COD，进而可求解∠COD的度数，即可求解．
【详解】
解：∵∠EOD和∠COF互补，
∴∠EOD+∠COF＝180°，
∴∠EOF+∠COD＝180°，
∵∠EOF+∠AOE+∠BOF＝180°，
∴∠COD＝∠AOE+∠BOF，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE，∠BOF＝∠DOF，
∴∠COE+∠DOF＝∠COD，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，求解∠COD＝∠AOE+∠BOF是解题的关键．
12．D
【解析】
【详解】
试题分析：延长TS，

∵OP∥QR∥ST，
∴∠2=∠4，
∵∠3与∠ESR互补，
∴∠ESR=180°﹣∠3，
∵∠4是△FSR的外角，
∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，
∴∠2+∠3﹣∠1=180°．
故选D．
考点：平行线的性质．
13．内错角
【解析】
【分析】
根据两条直线被第三条直线所截，在被截线之间，截线两侧的一对角叫内错角即可填空．
【详解】
∵∠ADC与∠BCD的公共边为CD，
∴直线CD为截线．
∵∠ADC与∠BCD在直线BC、AC之间，在直线CD两侧，
∴∠ADC与∠BCD互为内错角．
即∠ADC与∠BCD是直线AB和直线BC被直线CD所截形成的内错角．
故答案为：内错角．
【点睛】
本题考查内错角的定义．熟记内错角的定义是解题关键．
14．①②③⑤
【解析】
【分析】
根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误；
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误；
在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确；
过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解．
15．15°
【解析】
【分析】
由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CEF的度数，结合∠DEF=45°及∠CED=∠CEF−∠DEF，即可求出∠CED的度数，此题得解．
【详解】
解：根据题意，得：∠ACB=60°，∠DEF=45°，
∵，
∴∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠CED=∠CEF−∠DEF=60°−45°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
16．52°##52度
【解析】
【分析】
由平行线的性质，角平分线的定义，得到，然后由补角的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：52°；
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，补角的定义，熟练掌握这些性质及快速找到角度的关系是解出本题的关键．
17．##20度
【解析】
【分析】
过点P作 ，则，可得，根据，可求．
【详解】
解：如图，过点P作

∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是做出辅助线，熟练运用平行线的性质．
18．     ABC     DCB     两直线平行，内错角相等     BE平分∠ABC     ∠ABC     ∠DCB     内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得出∠ABC=∠DCB，求出∠EBC=∠FCB，根据平行线的判定得出即可．
【详解】
∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）．
∵BE平分∠ABC（已知），∴∠EBC∠ABC（角平分线的定义）
同理：∠FCB∠DCB，∴∠FBC=∠FCB（等式性质），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为ABC；DCB；两直线平行，内错角相等；BE平分∠ABC；∠ABC；∠DCB；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键．
19．(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据画一个角等于已知角的方法即可在∠AOB内部作∠BOC＝∠α；
（2）结合（1）根据角平分线定义即可解决问题．
(1)
解：如图，∠BOC即为所求；

(2)
解：∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝20°，
∵OD平分∠AOC．
∴∠COD＝＝10°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．
【点睛】
本题考查尺规作图和角的度数计算．根据图形得到角之间的和差倍分关系是解题的关键．
20．20°
【解析】
【分析】
推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【详解】
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB＋∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
21．（1）150°；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，同位角相等可得，再根据角平分线的定义求出，然后根据平角等于列式进行计算即可得解；
（2）先求出，再根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义即可得解．
【详解】
解：（1），
，
平分，
，
；
（2），
，
，
，
，
平分．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．
22．（1）详见解析；（2）70°．
【解析】
【分析】
（1）求出DF∥AB，推出∠3=∠AEF，求出∠B=∠AEF，得出FE∥BC，根据平行线性质求出即可；
（2）求出∠FED=80°-45°=35°，根据平行线性质求出∠BCE=∠FED=35°，求出∠ACB=2∠BCE=70°，根据平行线性质求出即可．
【详解】
解：(1)因为∠1＋∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
所以∠2＝∠FDE，
所以DF∥AB，
所以∠3＝∠AEF．
因为∠3＝∠B，
所以∠B＝∠AEF，
所以FE∥BC，
所以∠AFE＝∠ACB．
(2)因为∠1＝80°，
所以∠FDE＝180°－∠1＝100°．
因为∠3＋∠FDE＋∠FED＝180°，
所以∠FED＝180°－∠FDE－∠3＝35°．
因为EF∥BC，
所以∠BCE＝∠FED＝35°．
因为CE平分∠ACB，
所以∠ACB＝2∠BCE＝70°，
所以∠AFE＝∠ACB＝70°．
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定与性质．
23．(1)∠ABE的度数为30°
(2)∠ABE的度数为30°
(3)∠PHQ的度数为30°
【解析】
【分析】
（1）过点E作ERAB，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得ERCD，再根据平行线的性质和已知∠DCF＝25°，∠E＝20°，即可求∠ABE的度数；
（2）根据平行线的性质和∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，即可求∠ABE的度数；
（3）根据（2）的条件，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HNPK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，即可求∠PHQ的度数．
(1)
解：如图1，过点E作ERAB，

∵ABCD，
∴ERCD，
∴∠CER＝∠DCE，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度数为30°．
(2)
解：如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，

∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，
设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，
∴∠ABE＝3α，
∴∠BET＝∠ABE＝3α，
设∠CEB＝β，
则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，
∵CF平分∠ECD，
∴，
∴，∠BFL＝∠ABF＝α，
∴，
∴，
∴，
∴∠ABE＝30°．
答：∠ABE的度数为30°．
(3)
解：如图3，过点P作PJAB，

∵ABCD，
∴PJCD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HNPK，
∴∠NHP＝x，
设∠MHN＝y，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度数为30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角，角平分线的定义，解决本题的关键是作已知直线的平行线．
24．（1）见解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，证明见解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由见解析；②50°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得AB∥CD∥EF，然后由两直线平行内错角相等可得结论；
（3）①根据∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，DF平分∠EDC，可得出2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，即可导出角的关系；
②先根据∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°得出∠DEP=2∠F=90°，再根据∠DEA-∠PEA=∠DEB，求出∠AED=50°，即可得出∠EPD的度数．
【详解】
解：（1）证明：AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，理由如下：
如图2，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF，∠CDE=∠DEF
即∠FEA+∠FED=∠CDE+∠BAE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED；
（3）①∠AED-∠FDC=45°；
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，
∴∠AEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，
∵DF平分∠EDC
∠DEC=2∠FDC
∴∠DEC=90°-2∠FDC，
∴2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，
∴∠AED-∠FDC=45°，
故答案为：∠AED-∠FDC=45°；
②如图3，

∵∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°，
∴∠F=45°，
∴∠DEP=2∠F=90°，
∵∠DEA-∠PEA=∠DEB=∠DEA，
∴∠PEA=∠AED，
∴∠DEP=∠PEA+∠AED=∠AED=90°，
∴∠AED=70°，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠DEC+2∠AED=180°，
∴∠DEC=40°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=40°，
在△PDE中，∠EPD=180°-∠DEP-∠AED=50°，
即∠EPD=50°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点是解题的关键．
25．(1)∠BME+∠END＝∠E；
(2)∠AMG＝40°；
(3)∠F：∠E＝；
(4)
【解析】
【分析】
（1）过点E作EF//AB，由平行线的传递性可得AB//EF//CD，再由平行线的性质可得答案；
（2）设∠CNG=∠ENG=α，∠AMF=∠GMF=β，由角平分线的定义、（1）的结论及已知条件∠G+∠E=60°，可得β的只，则问题可解；
（3）过点E作EG//AB，设∠ABE=2x，∠CDE=2y，由平行线的传递性得EG∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠E=2x-2y，∠F=∠CDF-∠ABF=x-y，则∠F：∠E的值可得；
（4）设∠ABM=x，则∠ABE=（n+1）x，设∠CDN=y，则∠CDE=（n+1）y，由（3）的结论可得∠E=（n+1）（x-y），∠F=∠CDF-∠ABF=x-y，则的值可得．
(1)
过点E作EF//AB，如图：

∵AB//CD，
∴AB//EF//CD，
∴∠BME＝∠MEF，∠DNE＝∠NEF，
∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝∠BME+∠DNE，即∠MEN＝∠BME+∠DNE，
故答案为：∠BME+∠END＝∠E；
(2)
∵GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，设∠CNG＝∠ENG＝α，∠AMF＝∠GMF＝β，
∴∠E＝∠DNE+∠BME＝180°﹣2α+β，∠G＝α﹣2β，
∵，
∴∠AMG＝2β＝40°；
(3)
如图，过点E作EG//AB，

设∠ABE＝2x，∠CDE＝2y，
∵AB//CD，
∴EG//AB//CD，
∴∠GEB+∠ABE＝180°，∠CDE+∠GED＝180°，
∴∠GEB+∠ABE＝∠CDE+∠GED，
∴∠E＝∠GED﹣∠GEB＝∠ABE﹣∠CDE＝2x﹣2y，
同理可得：∠F＝∠CDF﹣∠ABF＝（180°﹣y）﹣（180°﹣x）＝x﹣y，
∴∠F：∠E＝；
(4)
设∠ABM＝x，则∠ABE＝（n+1）x，设∠CDN＝y，则∠CDE＝（n+1）y，
由（3）可知∠E＝∠ABE﹣∠CDE＝（n+1）（x﹣y），
∠F＝∠CDF﹣∠ABF＝（180°﹣y）﹣（180°﹣x）＝x﹣y，
∴＝．
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行线的性质在角的计算及角与角之间的数量关系探究中的应用，明确平行线的性质并数形结合是解题的关键．