第一章《三角形的证明》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

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第一章《三角形的证明》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．C【详解】根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：A选项中，若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题；B选项中，同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；C选项中，两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；D选项中，等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.故选C.2．B【详解】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．故选：B．3．D【详解】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．4．D解：如图，①内部一个，是三角形的中心P，②外面有九个，在直线AP上有三个点，，，满足A=AB，A=AB，B=AB，同理，在直线BP上有三个点，在直线CP上有三个点，满足条件．共有10个点．故选D．5．B【详解】解：∵∠B=70°，AB=AC，∴∠A=180°-2×70°=40°，又∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°．故选：B．6．C【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠POB=15°，∵OD=DP=2，∴∠OPD=∠POB=15°，∴∠PDE=30°，∴PE=PD=1，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，∴PC=PE=1，故选：C．7．A【详解】作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴CF就是EP+CP的最小值，∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短，∴时，CF最小，∵△ABC是等边三角形，∴CF是△ABC的中线，∴CF=AD=4，即EP+CP的最小值为4，故A正确．故选：A．8．B【详解】∵，∴为等腰三角形，．∵CD为中线，∴，即，∵BE为的角平分线．∴，∴．故选B．9．C解：设Rt△PMN的边MP＝c，MN＝b，NP＝a，其中c＞b＞a，则AB＝c，CD＝b，EF＝a，a2+b2＝c2．∵△EFG，△CDG，△ABG为等腰直角三角形，∴FG＝EG＝a，DG＝CG＝b，BG＝AG＝c．∴CF＝＝＝＝c，∵AG＝c，∴CF＝AG．∴A选项正确；∵AB＝c，CD＝b，EF＝a，∴CD2+EF2＝b2+a2，AB2＝c2，∴CD2+EF2＝AB2．∴以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形．∴B选项正确；∵AE+CG＝AC+CE+CG＝AG+EC＝AG+GC﹣GE＝（c+b﹣a），AB＝c，∴AE+CG≠AB．∴C选项错误；∵四边形ABDC的面积＝S△ABG﹣S△GDC＝ BG•AG﹣DG•GC＝×c×c﹣b×b＝ （c2﹣b2）＝，×FG•EG＝＝ a2，∴四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等．∴D选项正确．综上，结论不成立的是：C．故选：C．10．D【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D．11．C【详解】如图，过点D作于点H，∵CD是的平分线，DE⊥BC，∴DH=DE． ∵DF=DG，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴．故选C．12．A【详解】恰好平分，，，，，为等腰三角形，平分，，，所以①②正确；过点作于，如图，平分，，，∴DE=DH，，，平分，，，，所以③正确；在和中，，，，同理可得，，所以④正确．故选：．13．【详解】解：过D作DG⊥AC， ∵DE∥AB，∴∠GED=∠CAB=30°，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD=15°，∴∠EDA=30°-15°=15°，∴AE=ED=2，在Rt△GED中，∠GED=30°，DE=2，∴DG=，∵DF⊥AB，AD是∠CAB的平分线，∴DF=DG=，故答案为：．14．19cm【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴，．∵的周长为13cm，∴，∴，即，∴的周长．故答案为：19cm．15．4【详解】由勾股定理得：，，，，是直角三角形，，，，，，，，故答案为：4．16．30【详解】解：如图，作BF⊥AE于点F，∵CD⊥AE，∴BFE=CDE=90°，∵AE是BC边上的中线，∴BE=CE，在△BEF和△CED中，∴△BEF ≌△CED（AAS），∴FE=DE，BF=CD，∵AB = BD，∴BF= DF，设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m，∴AE=AF＋FE= 3m，∵=DE·BF+12DE·CD=且=10，∴，∴∴=30．故答案为：30．17．（1）（3）（4）（6）．【详解】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，∴AC＝BC，CO＝AO＝BO，∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，CO⊥AO∵∠DOE＝90°，∴∠COD+∠COE＝90°，且∠AOD+∠COD＝90°∴∠COE＝∠AOD，且AO＝CO，∠A＝∠ACO＝45°，∴△ADO≌△CEO（ASA）∴AD＝CE，（1）正确，OD＝OE，（2）错误；∴AC＝AD+CD＝CD+CE，∵，∴（3）正确；同理可得：△CDO≌△BEO∴CD＝BE，∵CD2+CE2＝DE2，∴AD2+BE2＝DE2，∵OD2+OE2＝DE2，OD＝OE，∴（4）正确；∵，当点D与点A重合时，；当⊥AC时，∴长的取值范围是，∵，∴，则（5）错误；当最小时，的面积最大，此时（6）正确；综上所述，真命题有：（1）（3）（4）（6）；故答案为：（1）（3）（4）（6）；18．(1)50°(2)6(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=50°．故答案为：50°；(2)∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN， ∴BN+CN=AN+CN=AC，∵AB=AC=10，∴BN+CN=10，∵△NBC的周长是16．∴BC=16-10=6．故答案为：6．19．(1)∵ADBE，∴∠A＝∠B，在△ACD和△BEC中，∵，∴△ACD≌△BEC（SAS），(2)如图，△ACD≌△BEC,(3)∵△ACD≌△BEC，∴CD＝CE，又∵CF⊥DE，∴CF平分∠DCE．20．(1)（0，0）(2)△ABC是直角三角形，理由见详解．(3)(1)解： B的坐标是（0，0）故答案为：（0，0）(2)解：∵AC2=22+12=5，BC2=22+42=20，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．(3)如图1所示：作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC．∵点C与点C′关于x轴对称，∴PC=P．∴AP+PC=AP+P．∴当A，P，在一条直线上时，AP+PC有最小值，最小值为A的长．∵A==．∴AP+PC的最小值为．故答案为：21．(1)AC＝8(2)斜边AB上的高为(3)①16﹣2t；②．(4)t的值为1.4或2或2.5或11(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8；(2)设边AB上的高为h则，∴，∴，答：斜边AB上的高为；(3)①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t＝．故答案为：①16﹣2t；②．(4)由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，则CP＝BC＝6，∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2，∴10+8+6﹣2t＝24﹣2t＝2∴t＝11；②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH＝，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH＝＝＝＝3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ＝×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ//AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ＝×AC＝×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝＝5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5或11．22．(1)①155°；②25°；(2)∠ACD＝∠ABE或∠ABE+∠ACD＝180°．(1)解：①如图1， ∵点A关于直线CD的对称点E，∴CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝90°﹣∠ACE，∵AC＝BC，∴BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣∠BCE，∴∠AEB＝∠AEC+∠BEC＝90°﹣∠ACE+90°﹣∠BCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣25°＝155°；②如图2， 同理可得，AC＝BC＝CE，∴∠CEA＝90°﹣∠ACE，∠CEB＝90°﹣∠ECB，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CEA＝（90°﹣∠ECB）﹣（90°﹣∠ACE）＝（∠ACE﹣∠ECB）＝∠ACB＝25°．(2)①当AD＜BD时，如图1中，设∠ACD＝x，∠ABE＝y，由轴对称的性质可得出∠ECD＝x，∴∠BCE＝α﹣2x，∵AC＝BC，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵CE＝CB，∴∠CEB＝∠CBE，在△BCE中，∠BCE+2∠CBE＝180°，∴α﹣2x+2（90°﹣α+y）＝180°，∴x＝y，即∠ACD＝∠ABE；②当AD＞BD时，设∠ACD＝x，如图2，∠BCD＝α﹣x，由轴对称的性质可得出∠ACD＝∠ECD，∴∠ECB＝2x﹣α，   ∵CA＝CB，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠CBE＝（180°﹣2x+α）＝90°﹣x+α，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°﹣α+（90°﹣x+α）＝180°﹣x，即∠ABE+∠ACD＝180°．综上所述，∠ACD与∠ABE的数量关系为∠ACD＝∠ABE或∠ABE+∠ACD＝180°．23．(1)解：①连接．，为的中点，，平分，，．，，，，．又，，．，；②如图1，过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，；过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，，直线交于点；过点作轴于点，，，，，，，，，，即点的坐标为，故答案为：；(2)解：如图2，过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，．由题可得，，点，点的坐标为，点的坐标为，，．在和中，，，，，点的坐标为；(3)解：如图3，若，时，且点在下方，过点作，过点作，，，，且，，，，，，点，若，时，且点在上方，同理可求点，若，时，点在上方，同理可求点，综上所述，点的坐标为或或．