专题03 乘法公式与因式分解

专题03 乘法公式与因式分解

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：故答案是C．

2．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：−2ab•a2＝−2a3b．故选：C．

3．若，则的值是（    ）

A．6 B．4 C．2 D．

【答案】A

【解析】∵(x+2)(2x−n)=2x2+mx+2 而(x+2)(2x−n)=2x2-nx+4x-2n∴2x2-nx+4x-2n=2x2+mx+2 ∴-2n=2，-n+4=m，

解得m=5，n=-1∴m−n =5-(-1)=6；故选:A.

4．如果的结果中不含x的一次项，那么a、b应满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解： ，∵的结果中不含x的一次项，∴，故选：D．

5．如果多项式是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（    ）

A．6 B． C．10或 D．6或

【答案】C

【解析】解：∵，∴，∴，

∴或，∴或．故选择：C．

6．下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】解：①原式＝2x3−x2＋x，故①错误；②原式＝a2−2ab＋b2，故②错误；

③原式＝x2−8x＋16，故③错误；④原式＝−（5a−1）（5a＋1）＝1−25a2，故④错误；

⑤原式，故⑤正确．故选：A．

7．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是（    ）

A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1

【答案】B

【解析】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；故选：B.

8．已知8个长为a，宽为b的小长方形（如图1），不重叠无空隙地摆放（如图2），在长方形中，，当的长度变化时，左上角阴影面积与右下角阴影面积的差没有变化，在a，b之间的关系应满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵S1−S2＝3b（AD−a）−a（AD−5b），整理，得：S1−S2＝（3b−a）AD＋2ab，

∵若AB长度不变，BC（即AD）的长度变化，而S1−S2的值总保持不变，

∴3b−a＝0，解得：3b＝a．故选：C．

9．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，；

已知，则m的值是（ ）

A．40 B．-70 C．-40 D．-20

【答案】C

【解析】利用题中的新定义计算可知=（x+2）（x-1）+（x+3）（x-2）+（x+4）（x-3）+（x+5）（x-4）=，整理得：==，则m=-40．故选C

二、填空题

10．计算(2x2y)2·xy的结果是_____．

【答案】4x5y3

【解析】(2x2y)2·xy=4x4y2•xy=4x5y3，故答案为4x5y3.

11．已知，则_______．

【答案】5

【解析】解：∵a≠0，∴，∴．

=5．故答案为：5．

12．若(x＋2y)(2x＋ny)＝2x2－mxy－6y2，则m＝_______，n＝_______．

【答案】－1    －3   

【解析】∵(x+2y)(2x+ny)= 2x2－mxy－6y2，∴2x2+nxy+4xy+2ny2=2x2−mxy−6y2，

则，解得：，故答案为：−1，−3.

13．若代数式可化为，其中a、b为实数，则的值是_____．

【答案】19，

【解析】由题意得x2-10x+b=(x-a)2-1，将(x-a)2运用完全平方公式展开，得x2-10x+b=(x2-2ax+a2)-1，整理，得(2a-10)x+b-a2+1=0，①

由题意可知，①式应该对于任意的实数x均成立，即x的取值不影响①式的成立，故①式中含有x的项的系数应该为零：2a-10=0，②在这种情况下，为了保证①式的成立还应该满足：b-a2+1=0，③联立②和③，得

，解之，得，

∴b-a=24-5=19.故本题应填19.

14．对于任何实数，，，，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为________．

【答案】1

【解析】∵，∴，∵ ，∴

=(x+1)(x-1)-3x(x-2)= x2-1-3x2+6x=-2x2+6x-1=-2(x2-3x)-1=-2×(-1)-1=1.故答案为1.

三、解答题

15．计算：

(1)      (2) -52017×0.22017×（-1）2017

(3)  20122-2011×2013         （4）[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)](2b)

【答案】（1）-4；（2）1；（3）1；（4）6a+5b.

【解析】（1）=1+4-1-8 =-4；

(2) -52017×0.22017×（-1）2017=-〔5×0.2×（-1）〕2017=-(-1) 2017=1；

(3)  20122-2011×2013=20122-(2012-1) ×(2012+1)=20122-(20122-1) =20122-20122+1=1；

（4）[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)](2b)=(4a2+12ab+9b2-4a2+b2) (2b)=(12ab+10b2) (2b)

=6a+5b.

16．因式分解：

（1）a2﹣3ab+3b2 ；              （2）﹣2x2y+16xy﹣32y

（3）        （4）（x2+4）2﹣16x2

【答案】（1）；（2）﹣2y（x﹣4）2；（3）；（4）（x+2）2（x﹣2）2．

【解析】（1）原式= ＝

（2）原式==﹣2y（x﹣4）2

（3）原式＝＝

（4）原式=（x2+4）2﹣16x2=（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）=（x+2）2（x﹣2）2．

17．先化简，再求值：，其中．

【答案】，．

【解析】=，当时，原式．

18．(1)先化简，再求值：(x－5y)(－x－5y)－(－x＋5y)2，其中x＝0.5，y＝－1；

(2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值．

【答案】（1）－2x2＋10xy；－5；（2）2.

【解析】(1)原式＝25y2－x2－x2＋10xy－25y2＝－2x2＋10xy，当x＝0.5，y＝－1时，原式＝－5；(2)因为x－y＝1，xy＝2，所以原式＝xy(x2-2xy+y2)=xy(x－y)2＝2.

19．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了(2m＋n)(m＋n)＝2m2＋3mn＋n2．

（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平方为四块小长方形，然后再拼成一个正方形，请你观察图形，写出三个代数式(m＋n)2、(m－n)2、mn关系的等式：          ；

（2）若已知x＋y＝7、xy＝10，则(x－y) 2＝       ；

（3）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞，则(a＋2b)2－8ab的值为       ．

【答案】（1）；（2）9；（3）4．

【解析】解：（1）由图形的面积可得出：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（2）∵x+y=7、xy=10，则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣4×10=9．

故答案为：9；（3）∵（a+2b）2﹣8ab=（a﹣2b）2=22=4（cm2），∴（a+2b）2﹣8ab的值为4cm2．故答案为：4cm2．

20．你能化简(x－1)(x99＋x98＋x97＋……＋x＋1）吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．

分别计算下列各式的值：

①(x－1)(x＋1）＝x2－1；

②(x－1)(x2＋x＋1）＝x3－1；；

③(x－1)(x3＋x2+x＋1）＝x4－1；；……

由此我们可以得到：(x－1）(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）＝________________；

请你利用上面的结论，完成下面两题的计算，并写出计算过程：

(1) 299＋298＋297＋……＋2＋1；

(2)(－2)50＋(－2)49＋(－2)48＋……＋（－2）＋1

【答案】；（1）；（2）

【解析】根据题意：（1）（x-1）（x+1）=x2-1；（2）（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（3）（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，故（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100-1故答案为x100-1；

根据以上分析：（1）299+298+297+…+2+1=（2-1）（299+298+297+…+2+1）=2100-1；

（2）（-2）50+（-2）49+（-2）48+…（-2）+1=-（-2-1）[（-2）50+（-2）49+（-2）48+…（-2）+1]=-（-251-1）=．