人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆学案及答案

第4节 单摆

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一 单摆

将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。

如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比 可以忽略 ，球的直径与线的长度相比也 可以忽略①，这样的装置就叫作单摆。

要点二 单摆的回复力

重力 沿圆弧切线方向的分力 ，正是这个力充当 回复力②，迫使摆球回到平衡位置 。

要点三 单摆的周期

单摆做简谐运动的周期 与摆长 的二次方根成正比，与重力加速度 的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。惠更斯确定了计算单摆周期的公式 ③。

自主思考

①（1）单摆是一种理想化模型，你认为除了细线的质量和球的直径这两点之外，还有什么“可以忽略”？

（2）在制作单摆时，对小球和细线有什么要求？

答案：（1）提示 空气等对小球的阻力与它受到的重力及细线的拉力相比可以忽略。

（2）单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。

②（1）摆球经过平衡位置时，回复力是否为零，合外力是否为零？摆球到达最大位移处时， ，加速度是否等于0?

（2）怎样证明单摆在摆角很小的情况下的运动是简谐运动？

（3）由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？

答案：（1）提示 单摆摆动过程中平衡位置不是平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零。最大位移处速度等于零，但不是静止状态。一般单摆回复力不是摆球所受合外力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不等于零。

（2）单摆的偏角很小时， ,重力的分力提供回复力， ，回复力的大小和位移成正比，回复力的方向和位移方向相反，由此证明单摆的运动是简谐运动。

（3）不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即 ，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由 决定，与摆球的质量无关。

③把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？

答案：提示  两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由 知，应增大摆长，才能使周期不变。

名师点睛

1.单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力。

2.当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）。

3.在同一地点，重力加速度是一定的，摆长相等的单摆具有相同且恒定不变的周期，单摆周期与振幅及摆球质量皆无关。

互动探究·关键能力

探究点一 单摆及其回复力

情境探究

2013年6月20日，中国首位“太空教师”王亚平在“天宫一号”内进行了授课。 形支架上，细绳拴着一颗小球。这是物理课上常见的实验装置——单摆。王亚平将小球拉升至一定高度后放掉，小球像着了魔似的，不像在地面上那样往复摆动，而是悬停在半空中。随后，王亚平用手指轻推小球，小球开始绕着支架的轴心不停地做圆周运动。

试分析原因，并比较与地面上的单摆的受力与运动的区别。

提示 在地面，单摆的运动周期与摆的长度、重力加速度有关。但在失重的状态，没有了回复力，小球就静止在原始位置。这时，细绳并没有给小球拉力。手推小球，相当于给了小球一个初始速度，同时细绳又给小球提供了拉力，细绳拉力提供向心力，小球便绕着支架的轴心做圆周运动。

探究归纳

1. 单摆

（1）单摆是实际摆的理想化模型。

（2）实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略；

②摆线的质量与摆球质量相比可忽略；

③摆球的直径与摆线长度相比可忽略；

④空气等阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可忽略。

2. 单摆的回复力

如图所示，重力 沿圆弧切线方向的分力 是摆球沿运动方向的合力，正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力 。

3. 单摆的运动特点

（1）摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度 ，半径方向都受向心力（最高点其向心力为零）。向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。

（2）摆球在平衡位置附近做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。

4. 单摆做简谐运动的推证

在 很小时， 。 ， 方向与摆球位移方向相反，所以有回复力 。因此，在摆角 很小时，单摆做简谐运动。

探究应用

例 （多选）关于单摆，下列说法中正确的是(      )

A.单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 ，其中 是摆线与竖直方向之间的夹角

B.单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力

C.单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零

D.单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关

答案： ;

解析：单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力 和摆线的拉力 两个力的作用，提供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力 ，而不是重力和摆线拉力的合力， 正确， 错误；摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零， 错误；通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关， 正确。

易错总结

回复力、向心力、合外力的区别与联系

（1）区别

①回复力：使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力；对单摆来说，重力沿圆弧切线方向的分力 提供回复力。

②向心力：使物体做曲线运动且指向圆心的力；对单摆来说，摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。

③合外力：物体所受的合力，它使物体的运动状态发生变化。

（2）联系：回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力，合外力可以为恒力，也可为变力。对单摆来说，回复力与向心力的合力等于合外力。

迁移应用

1.对于单摆振动，以下说法中正确的是(      )

A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零

答案：

解析：单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向方向和径向方向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为 ，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，故应选 。

2.（★）将一个摆长为 的单摆放在一个光滑的、倾角为 的斜面上，其摆角为 ，如图所示，下列说法正确的是(      )

A.摆球做简谐运动的回复力为

B.摆球做简谐运动的回复力为

C.摆球经过平衡位置时合力为零

D.摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为

答案：

解析：摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的分力沿圆弧的切向方向的分力来提供，则回复力为 ，故选项 正确， 错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项 错误；设摆球在平衡位置时速度为 ，由动能定理得 ，由牛顿第二定律得 ，由以上两式可得线的拉力为 ，故选项 错误。

探究点二 单摆的周期

情境探究

惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦力所需的能量由重力势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示。一只冬天很准的摆钟到了夏天却不准了，是走快了还是慢了？怎么调节才能重新准确计时？

答案：提示 由冬天到夏天，摆杆变长，周期变大，摆钟走慢了，应调节螺母上移。

探究归纳

1.单摆的周期

荷兰物理学家惠更斯发现单摆做简谐运动的周期 与摆长 的二次方根成正比，与重力加速度 的二次方根成反比，他确定周期公式为 。

（1）单摆的周期 ，只与摆长 及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。（单摆的等时性就是指单摆的周期与振幅无关）

（2）单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立（偏角为 时，由周期公式算出的周期和精确值相差 ）。

（3）单摆周期公式中的 为单摆所在处的重力加速度，它会随地理位置的改变而改变。 为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度， ， 为摆线长， 为摆球直径。

2.计算单摆的周期的方法

（1）用单摆的周期公式 计算，计算的关键是正确确定摆长。

（2）根据 计算。这是粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于 和 ，但可以利用该方法计算周期，它会受到时间 和振动次数 测量的准确性的影响。

3.等效单摆

如图是一半径为 的光滑凹槽，现将一半径为 的小球从稍稍偏离最低点的位置释放，小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方向的分力，其运动与摆长为 的单摆等效，故其周期 。

探究应用

例 有一单摆，其摆长 ，摆球的质量 ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次所用时间 ，求：

（1）当地的重力加速度的大小；

（2）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少。

答案：（1） （2）缩短 

解析：（1）当单摆做简谐运动时，其周期公式 ，由此可得 ，只要求出 值代入即可

因为

所以

（2）秒摆的周期是 ，设其摆长为 ，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有

故有

其摆长要缩短，缩短量

规律总结

1.注意秒摆是周期为 的单摆，不是一秒；其摆长约为 。

2.单摆振动周期改变的途径

（1）改变单摆的摆长；

（2）改变单摆所在处的重力加速度（改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重）。

迁移应用

1.如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自 点由静止开始滑下，到达最低点 时的速度为 ，用时为 ；第二次自 点由静止开始滑下，到达最低点 时的速度为 ，用时为 ，下列关系正确的是(      )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

答案：

解析：小球从 、 点由静止开始下滑均做等效单摆的运动， ， ， 为球面半径，故 ； 点离平衡位置远些，与平衡位置的高度差较大，由机械能守恒定律可知从 点下滑到达平衡位置 时的速度较大，即 。故 正确。

2.（★）如图所示，三根细线在 点处打结， 、 端固定在同一水平面上相距为 的两点上，使 ， ，已知 线长是 ，下端 点系着一个小球（可视为质点且做小角度摆动）。重力加速度为 。让小球在纸面内振动，周期 。让小球在垂直纸面内振动，周期 。

答案： ;

解析：让小球在纸面内振动，在偏角很小时，小球做简谐运动，摆长为 ，周期 ；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，小球做简谐运动，摆长为 ，周期 。

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想条件是(      )

A.摆线质量不计

B.摆线长度不伸缩

C.摆球的直径比摆线长度小得多

D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动

答案： ; ;

解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩， 、 、 项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动， 错误。

2.（多选）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(      )

A. 时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零

B. 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

C. 时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大

D. 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

答案： ;

解析：由题图读出 时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故 错误； 时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故 错误； 时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，故 正确； 时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故 正确。

3.把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动(      )

A.变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长

B.变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长

C.变快了，要使它恢复准确，应增加摆长

D.变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长

答案：

解析：把调准的摆钟从北京移到赤道上，重力加速度 变小，则周期 ，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了。要使它恢复准确，应缩短摆长， 项正确。

4.（多选）图示为甲、乙两单摆的振动图像，则(      )

A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比

B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比

C.若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比

D.若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比

答案： ;

解析：由图像可知 ，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为 ；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为 。

素养视角

科学思维

单摆模型的综合问题

一、利用单摆求所处位置

通过单摆周期公式求所在处的重力加速度，然后应用万有引力等知识求所在高度、深度、纬度等。

二、等效摆长和等效重力加速度

1.等效摆长问题

等效摆长为摆球运动轨迹所在圆弧的圆心到摆球球心间的距离。如图甲、乙所示，忽略摆球直径且摆球在垂直纸面的竖直平面内做小角度的摆动，则其等效摆长分别为 ，周期分别为 ， 。

2.等效重力加速度问题

等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力 （相当于视重）与摆球质量的比值，即 。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出 等就可以求出对应的周期。

（1）摆球为带电小球，摆线为轻质绝缘细线，竖直方向有电场的单摆。

如图丙所示，电场方向竖直向下，摆球带正电，单摆处于静止状态时摆线的拉力 ，其等效重力加速度为 ，所以单摆的周期为 。同理可得，如果电场方向竖直向上且 ，则单摆的周期为 。

丙

（2）摆线一端固定在光滑斜面上，另一端连接摆球，摆球在光滑斜面上小角度摆动的单摆。

如图丁所示，在斜面上摆球静止时摆线的拉力 ，所以 ，在斜面上该单摆的周期为 。

丁

素养演练

1.如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：图（1）中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面方向的分力 等效为重力，即单摆等效的重力加速度 ；图（2）中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；图（3）为标准单摆；图（4）摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度 。由单摆振动的周期公式 ，故 ，选项 正确。

2.有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是 ，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为 ，求该气球此时离海平面的高度 。（把地球看作质量均匀分布的半径为 的球体）

答案：

解析：设摆长为 ，海平面处和离海平面的高度为 处的重力加速度分别是 和

根据单摆周期公式得 ，

故

根据万有引力公式有 （ 为地球质量）

得 ，同理得 ，则

由以上结论可得

，则

3.如图，一可视为质点的小球用长为 的细线系于与水平面成 角的光滑斜面上，小球处于平衡状态。若使细线偏离平衡位置，且偏角小于 ，然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间至少为多少？

答案：3.

解析：此单摆做简谐运动，将其与竖直平面内振动的单摆比较可以发现，其等效重力加速度为 ，故其振动周期 ，小球到达最低点所需的时间至少为 。